1.2空间向量基本定理课件（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过对比向量共线定理、平面向量基本定理与空间向量基本定理，构建从1到3个基向量的知识脉络，以表格形式呈现表述形式、基向量个数等差异，搭建从二维到三维的学习支架。 其亮点在于结合“数学思维”的推理能力和“数学语言”的表达规范，如例1通过反证法判断基底、例2用基底表示向量，总结基向量法解决长度、垂直等问题的步骤，帮助学生发展空间观念，教师可系统落实核心素养教学，提升学生抽象与应用能力。

第一章 空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理（2） ·人教A版选择性必修第一册· 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，下面我们来对比一下这三个定理： 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 空间向量基本定理 题型一 题型探究 【例1】(1)若 为空间向量的一个基底,则下列各项中,能作为空间向量的一个基底 的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于,即共面,故 不能作 为空间向量的一个基底,A错误; 对于,即共面,故 不能作为空间向量的一个基底,B错误; 对于C,假设,共面,则存在实数 ,使 ,则 ,则共面,这与 为空间向量的一个基底矛盾,故不共面, 则 可作为空间向量的一个基底,C正确; 对于,故共面,故 不能作为 空间向量的一个基底,D错误.故选C. C 【例1】(2)若 是空间的一个基底,且向量 不能构成空间的一个基底,则 ( ) A. -1 B. 1 C. 0 D. -2 [解析] 由于所以 不共线, 由于不能构成空间的一个基底,所以存在使得, 即 , 所以解得 故选B. B 提分笔记 判断基底的基本思路 （1）若向量中存在零向量,则不能构成基底;若存在一个向量可以用另 外的向量线性表示,则不能构成基底. （2）假设,运用空间向量基本定理,联立关于 的方程,若 有解,则共面,不能构成基底;若无解,则不共面,能构成基底. 【例2】如图,在平行六面体中,设 分别 是 的中点. (1)用基底表示, ; (2)若,求实数 的值. [解析](1) 在平行六面体 中, 由分别是 的中点, 得 (2) 所以 解题感悟 用基底表示向量的步骤 例1 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中, AB＝4,AD＝4, AA1＝5, ∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°, ∠DAA1＝60°, M,N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证 ：MN⊥AC1． A C D B C1 D1 B1 A1 N M 证线线垂直(向量数量积为0) 空间向量基本定理的应用 题型二 题型探究 课本练习 练习：如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO. 求证：AO⊥CD'. B D C A′ B′ C′ D′ A O 例2： 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 证明线线平行(共线定理) 例2： 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 求异面直线所成角(向量夹角) 【练习1】如图,在正方体中,是 与的中点,构建空间的一个正交 基底,证明: 平面 O1 证明：设,则 是空间的一个正交基底, , 设线段的中点为,连接 ,如图,则 , 所以,,是共线向量,且 不共线, 所以 , 又平面平面 , 所以平面 【练习2】如图,三棱锥 的棱的长度分别为1,2,3,并且 ,则直线与直线 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. [解析] 设, 所以 , 所以, , 所以直线OC与直线AB所成角的余弦值为 . A 【例3】如图所示,在平行四边形 中,平面 ,求线段 的长. [解析] 以,, 作为空间的一个基底, 则 , ,即线段 的长为7. 空间向量基本定理及其应用 题型二 题型探究 解题感悟 1.求空间线段长度（两点间距离）的步骤 （1）选取基向量,将以线段两端点为起点和终点的向量用基向量线性表示; （2）利用空间向量的数量积运算求该向量的模,从而求得线段的长度. 2.求线线角的方法: 由数量积的定义可得 ,求出的大小,进而求得线线角. 课堂小结 空间向量基本定理 基 底 基向量 单位正交基底 正交分解 4.最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角. 基向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤 1.设出基向量． 2.用基向量表示出直线的方向向量 3.①用||＝求长度， ②用＝λ ⇔∥， ③用·＝0⇔⊥， ④用cos θ＝||||(·)求夹角． $