第19讲 双曲线及其标准方程（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第19讲 双曲线及其标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．结合教材实例掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程； 3．通过双曲线概念的引人和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. 知识点 1 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、要点辨析 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点 2 双曲线的标准方程 1、双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 3、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 知识点 3 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。 考点一：双曲线的定义及辨析 例1．（23-24高二上·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式1-1】（23-24高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【变式1-3】（23-24高二下·四川广安·月考）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 考点二：求双曲线的标准方程 例2.（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·湖北武汉·月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·山东青岛·月考）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点三：双曲线方程的参数问题 例3.（23-24高二下·安徽芜湖·月考）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·天津静海·月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【变式3-2】（23-24高二上·江西新余·月考）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 【变式3-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 考点四：利用定义解决焦三角问题 例4.（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 【变式4-1】（23-24高二上·山东泰安·月考）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 【变式4-2】（23-24高二上·福建漳州·月考）若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 【变式4-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 考点五：利用定义解决最值问题 例5.（22-23高二下·宁夏石嘴山·月考）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式5-2】（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式5-3】（23-24高二上·浙江金华·月考）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点六：与双曲线有关的轨迹问题 例6.（23-24高二上·湖南常德·月考）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【变式6-1】（23-24高二上·河北沧州·月考）已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【变式6-3】（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D．6 2．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北张家口·月考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 5．（23-24高二下·上海·月考）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A．两条直线 B．圆 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 8．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 三、填空题 9．（23-24高二上·福建厦门·月考）若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 . 10．（23-24高二下·广西·月考）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 四、解答题 12．（2023高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 13．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 双曲线及其标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．结合教材实例掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程； 3．通过双曲线概念的引人和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. 知识点 1 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、要点辨析 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点 2 双曲线的标准方程 1、双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 3、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 知识点 3 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。 考点一：双曲线的定义及辨析 例1．（23-24高二上·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为P为双曲线右支上一点，所以.故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则由已知得， 即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数，又，且， 所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线. 设双曲线方程为：，则，所以， 所以，所以双曲线方程为， 即化简方程的结果是.故选：D. 【变式1-2】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【答案】B 【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B 【变式1-3】（23-24高二下·四川广安·月考）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】BCD 【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误； 对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确； 对于选项：设，由，可得， 化简得，表示一条直线，故C正确； 对于选项D：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.故选：BCD. 考点二：求双曲线的标准方程 例2.（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，所以， 所以双曲线的方程为.故选：D. 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选:A. 【变式2-2】（23-24高二上·湖北武汉·月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程可知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 所以双曲线的顶点为，，焦点为，，， 所以双曲线方程为.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·山东青岛·月考）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知 所以， 所以所求双曲线的标准方程为.故选：C. 考点三：双曲线方程的参数问题 例3.（23-24高二下·安徽芜湖·月考）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得.故选：A. 【变式3-1】（23-24高二上·天津静海·月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由变形得到， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得， 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高二上·江西新余·月考）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由方程表示双曲线，则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【解析】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为.故选：A 考点四：利用定义解决焦三角问题 例4.（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 【答案】36 【解析】由题意得，则， 所以的周长为． 故答案为：36. 【变式4-1】（23-24高二上·山东泰安·月考）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【解析】由双曲线，可得，则， 因为是该双曲线上一点，且，可得， 即， 在中，可得， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高二上·福建漳州·月考）若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 【答案】32 【解析】由，得，即， 所以，即 ， 根据已知条件做出图形如图所示 设， 则由双曲线的定义知，①，②， 由余弦定理得③， 联立①②③，得 ，即， 又，所以，，所以，即. 所以为直角三角形， 所以，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点坐标为， 由题意可知，，， 则，，，. 在中，由余弦定理可得： ， 即，解得． 因为，则． 因为， 所以，解得． 又因为点P在双曲线，所以， 则.故选：A 考点五：利用定义解决最值问题 例5.（22-23高二下·宁夏石嘴山·月考）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立.故选：D 【变式5-1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立.故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在.故选：A 【变式5-3】（23-24高二上·浙江金华·月考）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上，， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为.故选：D. 考点六：与双曲线有关的轨迹问题 例6.（23-24高二上·湖南常德·月考）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【解析】由圆可知，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径， 因此圆心距，所以两圆相离， 设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为， 则满足，所以， 即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离， 根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支， 即圆心在双曲线的一支上.故选：B. 【变式6-1】（23-24高二上·河北沧州·月考）已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为，故选：A． 【变式6-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【解析】连接、，如图所示： 因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.故选：C. 【变式6-3】（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内， 所以，，所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，，所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是.故选：C 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】D 【解析】双曲线的方程为：， 可得，，所以， 所以双曲线的焦距长为：.故选：D. 2．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为.故选：A 3．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆；故选：B. 4．（23-24高二上·河北张家口·月考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由题意得，解得.故选：B. 5．（23-24高二下·上海·月考）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【解析】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立．故选：B． 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 再由圆与圆、圆都外切，设圆的半径为， 则，，所以， 因此，由双曲线的定义可得圆心的轨迹为双曲线的右支， 且该双曲线的焦距为，实轴长为， 所以，故， 所以所求圆的圆心的轨迹方程.故选：D. 二、多选题 7．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A．两条直线 B．圆 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 【答案】ABC 【解析】对A，因为，所以可取， 则有或，表示两条直线，A正确； 对B，因为，所以可取，则有，表示圆，B正确； 对C，因为，所以可取，则有，表示焦点在轴的椭圆，C正确； 对D，因为，所以该曲线方程不可能为焦点在轴的双曲线，D错误；故选:ABC. 8．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【答案】AD 【解析】由题知，，则．因为在第一象限，所以． 在中，因为， 所以，A正确； 且，可得，B错误； 所以，C错误； 因为，所以， 故的周长为，D正确．故选：AD. 三、填空题 9．（23-24高二上·福建厦门·月考）若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 . 【答案】5或13 【解析】设双曲线的半焦距为，则， 因为，解得或， 经检验均符合题意；所以或13. 故答案为：5或13. 10．（23-24高二下·广西·月考）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【解析】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值，即有最小值. 故答案为：. 四、解答题 12．（2023高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）由已知得，，即，∵，∴， ∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是； （2）设双曲线的方程为，则，所以， ∴双曲线方程为； （3）设双曲线方程为， 将两点代入可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （4）设椭圆的半焦距为，则，∴， 所以椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点坐标为，， 设所求双曲线的标准方程为，则， 故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上， ∴代入有，化简得，解得或； 当时， ，不合题意，舍去； ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. 13．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），得，，所以双曲线． （2）设，则， 在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）， 故，故． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$