第01讲 空间向量及其线性运算（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其线性运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解空间向量的概念； 2．掌握空间向量的加减数乘运算； 3．掌握空间向量的运算律； 4．了解共线向量和共面向量定理. 知识点 1 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 知识点 2 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）几何意义：当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （3）运算律：分配律：；结合律：． 知识点 3 共线向量 1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 知识点4 共面向量 1、定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2、向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 3、向量共面证明思路 （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 考点一：空间向量的概念辨析 例1．（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-1】（23-24高二上·山东聊城·月考）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1-2】（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式1-3】（23-24高二上·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 考点二：空间向量的线性运算 例2. （23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·河南·月考）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·江苏扬州·月考）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·广东佛山·月考）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 考点三：空间向量共线的判定 例3. （23-24高二上·全国·练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【变式3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式3-3】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 考点四：由空间向量共线求参数 例4.（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【变式4-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 考点五：向量（四点）共面的判定 例5. （23-24高二下·江苏泰州·月考）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·福建·月考）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【变式5-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点六：由向量（四点）共面求参数 例6. （23-24高二下·江苏·月考）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【变式6-1】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·湖南常德·入学考）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 一、单选题 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 6．（22-23高二下·江苏宿迁·月考）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 二、多选题 7．（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 三、填空题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是三个不共面向量，已知向量则 . 10．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 11．（23-24高二上·河北沧州·月考）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 13．（23-24高二上·四川泸县·月考）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其线性运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解空间向量的概念； 2．掌握空间向量的加减数乘运算； 3．掌握空间向量的运算律； 4．了解共线向量和共面向量定理. 知识点 1 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． （2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模． （3）表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或． 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行． （2）单位向量：长度为1的空间向量，即． （3）相等向量：方向相同且模相等的向量． （4）相反向量：方向相反但模相等的向量． （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 知识点 2 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）几何意义：当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （3）运算律：分配律：；结合律：． 知识点 3 共线向量 1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 知识点4 共面向量 1、定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2、向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 3、向量共面证明思路 （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 考点一：空间向量的概念辨析 例1．（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等， 所以D错误；故选：A. 【变式1-1】（23-24高二上·山东聊城·月考）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行， 故④错误. 综上所述，②③正确.故选：B． 【变式1-2】（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 【变式1-3】（23-24高二上·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【解析】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量， 而这两个向量所在的直线相交于此点， 两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确．故选：ACD 考点二：空间向量的线性运算 例2. （23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知：.故选：D 【变式2-1】（23-24高二下·河南·月考）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,故选:A    【变式2-2】（23-24高二下·江苏扬州·月考）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， . 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二下·广东佛山·月考）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 考点三：空间向量共线的判定 例3. （23-24高二上·全国·练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得，所以共线， 同理，由，，得， 所以共线，所以共线，即.故选：B. 【变式3-1】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解析】对于，当时，，，所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ，即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即，所以点在棱上，故正确； 对于，当时，所以，， 所以，即，即， 所以点在线段上，故正确．故选：． 【变式3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式3-3】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 ，，， ， ， 因为、无公共点，故. 考点四：由空间向量共线求参数 例4.（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【解析】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以.故选：C. 【变式4-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故.故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：.故选：A. 【变式4-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得，所以实数的值为. 考点五：向量（四点）共面的判定 例5. （23-24高二下·江苏泰州·月考）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 可化简为：，即 ， 由于，，，四点共面，则，解得：；故选：C 【变式5-1】（23-24高二上·福建·月考）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错.故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】 由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【变式5-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】对于A中，设，可得，解得， 所以向量共面，不符合题意； 对于B中，设，可得，解得 所以向量共面，不符合题意； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量不共面，符合题意； 对于D中，设，可得，解得 所以向量共面，不符合题意；故选：C. 考点六：由向量（四点）共面求参数 例6. （23-24高二下·江苏·月考）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为共面，所以存在实数，使得，所以， 解得.故选：A. 【变式6-1】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.故选:C． 【变式6-2】（23-24高二下·湖南常德·入学考）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得．故选：C． 【变式6-3】（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以.故选：B. 一、单选题 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 3．（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知.故选：D 4．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 5．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【解析】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 6．（22-23高二下·江苏宿迁·月考）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 二、多选题 7．（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【解析】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同， 而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，故选：BCD． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【解析】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 三、填空题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是三个不共面向量，已知向量则 . 【答案】 【解析】， ， 故答案为： 10．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【解析】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得.故答案为： 11．（23-24高二上·河北沧州·月考）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【解析】四点共面且任意三点不共线，， ，．故答案为： 四、解答题 12．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 13．（23-24高二上·四川泸县·月考）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)，．；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$