精品解析：福建省福州市福清市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期八年级校内期末质量检测 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 友情提醒：所有答案必须写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式化简后与能合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 5，8，10 C. ，，2 D. 7，24，25 4. 下列图象中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 将直线向下平移3个单位长度后得到的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 初二（2）班某小组6名同学的身高（单位：）分别为165，170，173，163，165，169，则这6名同学身高的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知点，，都在正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 我们已经学过两种全等变换：平移和轴对称，通过变换可以把两条分散的线段拼接在一起．请借助变换解决下面问题：如图，四边形中，，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在菱形中，若∠A＋∠C＝140°，则______． 12. 已知，为整数，则可以是______．（写出一个即可） 13. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 14. 在一次演讲比赛中，小丽的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则小丽的综合成绩为______． 项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果 成绩 90 90 80 15. 如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则______． 16. 如图是函数的图象，则下列结论正确的有______．①当时，随的增大而减小；②若点在该图象上，则点必在该图象上；③点，在该函数图象上，若，则；④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在菱形中，于点，于点．求证：． 19. 如图，从电线杆离地面5米的点处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电线杆底部的距离．（，结果精确到米） 20. 已知一次函数． （1）画出该函数的图象； （2）根据图象，直接写出当时的取值范围． 21. 某校举办国学知识竞赛，分为初赛和决赛，设定满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组各5名同学，每组同学的号数分别记为号，他们的成绩（单位：分）如折线图所示，成绩的平均数和方差如表所示： 组别 平均数 方差 甲 8 乙 （1）求出乙组得分的平均数与方差； （2）从小组的平均成绩和稳定性角度分析，应选择哪个小组参加决赛？请说明理由． 22. 如图，在中，是对角线上一点，连接，． （1）尺规作图：过点作交于点，连接；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，求证：四边形是矩形． 23. 某中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆／分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为， 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆／分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆／分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为______；与的函数关系式为______． （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，请设计该路段8时至20时的可变车道方案，并说明理由． 24. 如图，直线：与轴，轴分别交于点，，与直线：交于点． （1）求的长及点的坐标； （2）点在直线上，且位于下方，的面积为． ①求点的坐标； ②求证：． 25. 如图，在正方形中，点在边上，连接，点关于的对称点为，连接并延长交于点，交延长线于点，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）求的度数，并探究线段，的数量关系； （3）如图2，连接，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期八年级校内期末质量检测 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 友情提醒：所有答案必须写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 故选：C． 2. 下列二次根式化简后与能合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，然后根据能合并的二次根式为同类二次根式作出判断． 【详解】解：A．，能与合并，故本选项正确； B．，不能与合并，故本选项错误； C．，不能与合并，故本选项错误； D．，不能与合并，故本选项错误； 故选：A． 3. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 5，8，10 C. ，，2 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形． 根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 4. 下列图象中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是函数的定义，解题关键是熟练掌握函数的定义． 根据函数的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，对的每一个值，的值不唯一，故不是函数关系，不符合题意，选项错误； 选项，对的每一个值，的值不唯一，故不是函数关系，不符合题意，选项错误； 选项，对的每一个值，的值不唯一，故不是函数关系，不符合题意，选项错误； 选项，对的每一个值，都有唯一、确定的值与其对应，故是函数关系，符合题意，选项正确． 故选：． 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理进行逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，不能判定四边形是平行四边形，故A符合题意； 添加条件，结合条件，可以通过两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； 添加条件，由，可得，进而可得，则，可以通过两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，可以通过一组对边相等且平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 6. 将直线向下平移3个单位长度后得到的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的平移，根据题意以及解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：∵向下平移3个单位， ∴． 故选：B． 7. 初二（2）班某小组6名同学的身高（单位：）分别为165，170，173，163，165，169，则这6名同学身高的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：6名同学的身高从小到大排列：163，165，165，169，170，173， 因为165出现的次数最多， 所以众数是：； 因为最中间的数是165和169， 所以中位数是：． 故选：D． 8. 已知点，，都在正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据可得，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵点，，都在正比例函数的图象上，， ∴可得，随的增大而减小， ∴. 故选：B． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 10. 我们已经学过两种全等变换：平移和轴对称，通过变换可以把两条分散的线段拼接在一起．请借助变换解决下面问题：如图，四边形中，，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理．平移至的位置，连接，，则，此时，即的最小值为的长，可证得四边形是平行四边形，从而得到，再由勾股定理求出的长，即可． 【详解】解：如图，平移至的位置，连接，，则，此时，即的最小值为的长， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在菱形中，若∠A＋∠C＝140°，则______． 【答案】70° 【解析】 【分析】由菱形的对角相等，再结合条件可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A＋∠C＝140°， ∴2∠C＝140°，解得∠C＝70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角相等是解题的关键． 12. 已知，为整数，则可以是______．（写出一个即可） 【答案】10（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．运用算术平方根知识进行估算即可得解． 【详解】解：， ， 可以是大于9并且小于16的任意整数， 故答案为：10（答案不唯一）． 13. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点， ， 则点表示的数为， 故答案为：． 14. 在一次演讲比赛中，小丽的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则小丽的综合成绩为______． 项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果 成绩 90 90 80 【答案】89 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：小丽的综合成绩为(分)， 故答案为：89． 15. 如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查中位线定理及性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据题意得出，，进而得出． 【详解】解：∵分别为、的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 16. 如图是函数的图象，则下列结论正确的有______．①当时，随的增大而减小；②若点在该图象上，则点必在该图象上；③点，在该函数图象上，若，则；④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：①由函数的图象可知，当时，随的增大而减小，故选项结论正确； ②函数的图象关于对称，点在该图象上，且点与点也关于对称，所以点必在该图象上，故选项结论正确； ③要使，即，解得，故选项结论不正确； ④要使方程都有解，即与有交点，所以无论为何值，方程都有解，所以的取值范围是，故选项结论正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并及二次根式的乘除法则． （1）先进行二次根式的除法运算，将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）运用完全平方公式进行计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在菱形中，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，， ，， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，根据菱形的性质可得，，再由，，得到，由此即可证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，从电线杆离地面5米的点处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电线杆底部的距离．（，结果精确到米） 【答案】地面钢缆固定点到电线杆底部的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是找到钢缆，电杆和线段AB构成的直角三角形，根据勾股定理可求出解． 根据电线杆与地面垂直得，由题意得米、米，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：， ， 在中，由勾股定理得：， （米）． 答：地面钢缆固定点到电线杆底部的距离约为米． 20. 已知一次函数． （1）画出该函数的图象； （2）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是熟练掌握相关知识． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出图象与轴和轴交点的坐标，描点、连线，即可画出函数的图象； （2）观察函数图象，即可得解． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， 该函数的图象如图： 【小问2详解】 解：观察函数图象，可知：当时，． 21. 某校举办国学知识竞赛，分为初赛和决赛，设定满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组各5名同学，每组同学的号数分别记为号，他们的成绩（单位：分）如折线图所示，成绩的平均数和方差如表所示： 组别 平均数 方差 甲 8 乙 （1）求出乙组得分的平均数与方差； （2）从小组的平均成绩和稳定性角度分析，应选择哪个小组参加决赛？请说明理由． 【答案】（1）， （2）选甲组参赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差，利用方差进行决策等知识，熟练掌握平均数，方差，利用方差进行决策是解题的关键 （1）根据平均数，方差的计算公式计算求解即可； （2）由甲、乙两组的平均水平相同，，可知甲组成绩更稳定． 【小问1详解】 解：由题意知，（分）， ∴． ∴，； 【小问2详解】 解：选甲组参赛，理由如下； ， 甲、乙两组的平均水平相同． ， 甲组成绩更稳定． 选甲组参赛． 22. 如图，在中，是对角线上一点，连接，． （1）尺规作图：过点作交于点，连接；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以为边作，交于即可；做法不唯一； （2）连接，交于点，证明，得到，从而可得四边形是平行四边形，再证明，利用勾股定理的逆定理得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 连接，交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ，． 在与中， ． 又， 四边形是平行四边形， ． ， ， 由勾股定理的逆定理得，， 是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，矩形的证明，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理． 23. 某中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆／分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为， 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆／分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆／分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为______；与的函数关系式为______． （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，请设计该路段8时至20时的可变车道方案，并说明理由． 【答案】（1），； （2）自西向东更堵 （3）8时至15时，可变车道设置为自东向西；15时至20时，可变车道设置为自西向东 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．理解并应用拥堵度解决问题是解决本题的关键． （1）设，取表格中任意两组数值代入可得k，b；m，n的值，即可求得相应的函数解析式； （2）取，求得相应的和的值，进而求得和的值，比较后即可得到哪个方向的车道更拥堵； （3）分别假设，时，求出x的值，即可得到可变车道的设计方案． 【小问1详解】 解：设， ∴， 解得：， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴自西向东更堵； 【小问3详解】 解：由已知可知： 当时，， 解得：， 即 当时，， 解得：， 即 答：8时至15时，可变车道设置为自东向西；15时至20时，可变车道设置为自西向东． 24. 如图，直线：与轴，轴分别交于点，，与直线：交于点． （1）求的长及点的坐标； （2）点在直线上，且位于下方，的面积为． ①求点的坐标； ②求证：． 【答案】（1）； （2）①，②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，勾股定理： （1）分别令，即可得出A，B的坐标，联立直线解析式，即可得出C的坐标； （2）①过点作轴，交于点，设，则，根据的面积为，可得，再将代入，即可求解；②过点作，根据的面积为，可得，从而得到，再由，可得，即可求证． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， ． 当时，，解得， ． ，． ． 联立，解得， ． 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点，设，则， ， 解得， 将代入得：， ． ②过点作， ，， ， ， ， ， ， ， 直线：交轴于点，交轴于点， ，又， ， ， 即． 25. 如图，在正方形中，点在边上，连接，点关于的对称点为，连接并延长交于点，交延长线于点，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）求的度数，并探究线段，的数量关系； （3）如图2，连接，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，．根据，运用等腰三角形的性质得出，证出，从而证明，即可证明． （2）连接，，设．根据垂直平分，得出，，．再根据，得出．．过点作于点，过点作于点．证明，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即可得出，再根据等腰三角形的性质即可得出，即可得出． （3）当时，由（2）知点、重合，根据为等腰直角三角形，得出，即，，，，勾股定理得出．连接并延长，交于点，连接．证明，得出，．再证明，，得出．设，则，，在中，由勾股定理解出，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，． ， ． ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接，，设． 点、关于对称， 即垂直平分， ， ， ． ， ． ． 过点作于点，过点作于点． ， ， ∴， ，， ， ， ， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． 【小问3详解】 解：当时，由（2）知点、重合， 为等腰直角三角形， ， 即， ，，， ． 连接并延长，交于点，连接． 在对称轴上， ，，， ， ， ，． ， ， ． ，且， ， ， ． 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $