专题 二次函数的综合题专训之等腰三角形的存在性问题（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（三） ---等腰三角形的存在性问题 ●●解决二次函数等腰三角形存在性问题的方法： 1、弄清题意，若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，则有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况； 2、借助动点所在图形的解析式，表示出动点坐标； 3、按分类的情况，利用几何知识建立方程（组），求出动点坐标，注意舍去不符合题意的点. 问题 分情况 找点 画图 解法 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形 以AB为腰 分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P3，P4即为所求 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标 以AB为底 作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P5即为所求 1．（2024•莲湖区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知点A（﹣4，0），B（2，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点E，使得△ECD是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点E的坐标． 2．（2023•雁塔区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F，当线段EF最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024•蒲城县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l：x＝1． （1）求b、c的值； （2）将抛物线L1向下平移m个单位长度（m＞0）得到新抛物线L2新抛物线L2的顶点为P，抛物线L2与y轴交于点Q，如果△CPQ是等腰三角形，求抛物线L2的函数表达式． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，其顶点为（1，﹣4），直接y＝x﹣2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）若PE＝3EF，求m的值； （3）连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023秋•东湖区校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点P仅在线段AO上运动，求线段MN的最大值； ②若点P在x轴上运动，当△CMN为等腰三角形时，写出所有满足条件的点P的坐标． 7．（2024•会东县二模）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的﹣点（包括端点）．其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由； （3）如图②，连接CD，抛物线上是否存在点Q，使得△CDQ是以CD为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 8．（2023秋•长海县期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求△BCD的面积； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023秋•头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接AC、BC，求S△ABC； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024•西峰区校级一模）如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 11．（2023秋•招远市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点分别为A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，点M是线段OA上，不与点O、A重合的一个动点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交AC于点E，其对称轴与x轴交于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）在点M的运动过程中，能否使线段DE＝CE？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024•泸州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并与x轴交于另一点B． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）求点B坐标； （3）设P（x，y）是抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N． ①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰△BPC的面积． 13．（2024•达州）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求点A，B，D的坐标． （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标． （3）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大？试求出最大面积． 16．如图，抛物线yx2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接PB，PC． （1）求抛物线的对称轴及b，c的值； （2）当四边形OBPC的面积等于11时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 17．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值； （3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 18．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A、B两点，过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点C，与y轴交于点D． （1）求△ABC的面积； （2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）将抛物线沿射线AC的方向平移个单位长度，平移后的顶点记作M，原抛物线的顶点关于新抛物线的对称轴的对称点记作N，E为直线AC上的动点，是否存在点E，使得以M、N、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2024•永川区校级模拟）如图1，点A为直线l：yx与抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上的一个交点，点B（m，﹣2）为直线l：yx上一点，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C． （1）求△ABC的面积； （2）点P是直线l上方的抛物线上一点，过P作PE∥x轴交直线l于E，P作PF∥y轴交直线l于F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线y＝﹣x2+2x+3向右平移2个单位得到新抛物线y′，平移后的抛物线y′与原抛物线交于点Q，点M是新抛物线y′的对称轴上一点．若△AQM是以AQ为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 20．（2024•山亭区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求PM+2BH的最大值； （4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（三） ---等腰三角形的存在性问题 ●●解决二次函数等腰三角形存在性问题的方法： 1、弄清题意，若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，则有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况； 2、借助动点所在图形的解析式，表示出动点坐标； 3、按分类的情况，利用几何知识建立方程（组），求出动点坐标，注意舍去不符合题意的点. 问题 分情况 找点 画图 解法 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形 以AB为腰 分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P3，P4即为所求 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标 以AB为底 作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P5即为所求 1．（2024•莲湖区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知点A（﹣4，0），B（2，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点E，使得△ECD是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点E的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由CD＝CE或CD＝DE，列出等式即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8）＝ax2+bx+8， 即﹣8a＝8， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1， 故点D（﹣1，0），设点E（﹣1，m）， 由点C、D、E的坐标得，CD2＝65，CE2＝（m﹣8）2+1，DE2＝m2， 当CD＝CE或CD＝DE时， 即（m﹣8）2+1＝65或m2＝65， 解得：m＝0（舍去）或16或±， 故点E的坐标为：（﹣1，16）或（﹣1，）或（﹣1，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键． 2．（2023•雁塔区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F，当线段EF最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解； （2）求出直线AC的解析式，设F（t，t2+2t﹣3），则E（t，﹣t﹣3），则EF＝﹣（t）2，根据题意可求E（，），BE，分两种情况讨论：①当BE＝BP时，BP，P点坐标为（1，0）或（1，0）；②当BE＝EP时，P点与B点关于直线EF对称，∴P点坐标为（﹣4，0）． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）存在点P，以EB为腰的等腰三角形△EBP，理由如下： 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣x﹣3， 设F（t，t2+2t﹣3），则E（t，﹣t﹣3）， ∴EF＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2， 当t时，EF的最大值为， 此时E（，）， ∴BE， ①当BE＝BP时，BP， ∴P点坐标为（1，0）或（1，0）； ②当BE＝EP时，P点与B点关于直线EF对称， ∴P点坐标为（﹣4，0）； 综上所述：P点的坐标为（1，0）或（1，0）或（﹣4，0）． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先由直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，求出点B和点C的坐标，再将点B、点C的坐标代入y＝x2+bx+c列方程组求出b、c的值即可； （2）存在以C，P，M顶点的等腰三角形，先由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按CM或PC或PM为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出PM的长即可求得点M的坐标． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3，当y＝0时，由﹣x+3＝0得，x＝3；当x＝0时，y＝3， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B（3，0）、C（0，3）代入y＝x2+bx+c， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3． （2）存在， 理由：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该抛物线的顶点为P（2，﹣1），对称轴为直线x＝2， 设M（2，n）， 如图1，等腰三角形CPM以CM为底边，则PM＝PC2， 由|n+1|＝2得，n＝21或n＝﹣21， ∴M（2，21），M′（2，﹣21）； 如图2，等腰三角形CPM以PM为底边，作CD⊥PM于点D，则D（2，3）， ∵CM＝CP， ∴DM＝DP＝3+1＝4， ∴n＝3+4＝7， ∴M（2，7）； 如图3，等腰三角形CPM以PC为底边，作CD⊥PM，交直线PM于点D，则D（2，3）， ∴PD＝3+1＝4， ∵∠PDC＝90°， ∴DM2+CD2＝CM2， ∵DM＝4﹣PM，CM＝PM， ∴（4﹣PM）2+22＝PM2， 解得，PM， ∴n＝﹣1， ∴M（2，）， 综上所述，点M的坐标为（2，21）或（2，﹣21）或（2，7）或（2，）． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，在解第（2）题时，应注意分类讨论，此题难度较大，属于考试压轴题． 4．（2024•蒲城县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l：x＝1． （1）求b、c的值； （2）将抛物线L1向下平移m个单位长度（m＞0）得到新抛物线L2新抛物线L2的顶点为P，抛物线L2与y轴交于点Q，如果△CPQ是等腰三角形，求抛物线L2的函数表达式． 【分析】（1）根据对称轴求得b＝4，代入（﹣1，0），进而求得c＝6； （2）由（1）可得抛物线L1的函数表达式为 y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，进而得出抛物线L2的函数表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+8﹣m则抛物线L2的顶点为P（1，8﹣m），点Q的坐标为（0，6﹣m）．勾股定理求得CP2，CQ2，PQ2进而分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得， ∴b＝4． 将（﹣1，0）代入 y＝﹣2x2+4x+c中， 得﹣2﹣4+c＝0， 解得c＝6． （2）由（1）可得抛物线L1的函数表达式为 y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8， ∴C（0，6）． 由题意可知抛物线L2的函数表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+8﹣m其中 m＞0， 则抛物线L2的顶点为P（1，8﹣m），点Q的坐标为（0，6﹣m）． ∴CP2＝1+（8﹣m﹣6）2，CQ2＝m2，PQ2＝1+22＝5， 如图，分情况讨论： ①如图1，当CP＝PQ时，1+（8﹣m﹣6）2＝5， 解得m＝4或m＝0（舍去）． ∴抛物线 L2的函数表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+4； ②如图2，当CP＝CQ时，1+（8﹣m﹣6）2＝m2， 解得 ， ∴抛物线 L2的函数表达式为 ， ③如图3，当CQ＝PQ时，m2＝5 解得 （舍去）， ∴抛物线 L2的函数表达式为 ． 综上，抛物线L2的表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+4或 或 ． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的平移，等腰三角形的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，其顶点为（1，﹣4），直接y＝x﹣2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）若PE＝3EF，求m的值； （3）连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入，可得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出PE、EF，再列出绝对值方程，然后求解即可； （3）根据直线解析式求出直线CD与y轴的夹角为45°，然后根据∠PCE＝90°，表示出PC的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的顶点为（1，﹣4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把A（﹣1，0）代入，可得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4 （或y＝x2﹣2x﹣3）； （2）设点P的横坐标是m，则P（m，m2﹣2m﹣3），E（m，m﹣2），F（m，0）， PE＝|yE﹣yP|＝|（m﹣2）﹣（m2﹣2m﹣3）|＝|﹣m2+3m+1|， EF＝|﹣m+2|， 由题意PE＝3EF，即：|﹣m2+3m+1|＝3|﹣m+2|， ①若﹣m2+3m+1＝3（﹣m+2）， 整理得：m2﹣6m+5＝0， 解得：m＝1或m＝5， ∵P在x轴下方， ∴﹣1＜m＜3， ∴m＝5不合题意，舍去， ∴m＝1； ②若﹣m2+3m+1＝﹣3（﹣m+2）， 整理得：m2﹣7＝0， 解得：m或m， ∵P在x轴下方， ∴﹣1＜m＜3，m不合题意，舍去， ∴m， 综上所述，m＝1或m； （3）存在，m的值为或． 理由：直线y＝x﹣2与y轴的夹角为45°，∠PEC＝45°， 当△PCE是以PE为底边的等腰三角形时，∠PCE＝90°， 故直线PC的解析式为y＝﹣x﹣2， 联立， 消掉y得，x2﹣x﹣1＝0， 解得x或， 所以点P的横坐标m或． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，难点在于判断出直线CD与y轴的夹角为45°并得到直线PC的解析式． 6．（2023秋•东湖区校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点P仅在线段AO上运动，求线段MN的最大值； ②若点P在x轴上运动，当△CMN为等腰三角形时，写出所有满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可． （2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． ②当MN＝CM时，列出等式，即可求解；当MN＝CN、CM＝CN时，同理可解． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得： ，解得：， ∴y＝x2+2x﹣3． （2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得： ，解得：， ∴y＝﹣x﹣3， ∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴． ∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3）， ∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∵a＝﹣1＜0， ∴此函数有最大值． 又∵点P在线段OA上运动，且﹣30， ∴当m时，MN有最大值； ②设点P（m，0），则点M（m，﹣m﹣3）、点N（m，m2+2m﹣3）， 由点M、N、C的坐标得，MN2＝（m2+3m）2，CM2＝m2+m2＝2m2，CN2＝m2+（m2+2m）2， 当MN＝CM时，即（m2+3m）2＝2m2， 解得：m＝0（舍去）或﹣3， 则点P的坐标为：（﹣3，0）或（﹣3，0）； 当MN＝CN时，则（m2+3m）2＝m2+（m2+2m）2， 解得：m＝0（舍去）或﹣2， 即点P（﹣2，0）； 当CM＝CN时，则2m2＝m2+（m2+2m）2， 解得：m＝0（舍去）或﹣3（舍去）或﹣1， 即点P（﹣1，0）； 综上，点P的坐标为：（﹣3，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质，等腰三角形和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 7．（2024•会东县二模）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的﹣点（包括端点）．其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由； （3）如图②，连接CD，抛物线上是否存在点Q，使得△CDQ是以CD为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接CD，MC，MD，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F，先求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，进而得到直线AB于直线CD平行，则点M在运动过程中FG的长保持不变，故要使△MAB的面积最大，则MG最大，即要使MF最大，进一步推出当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大，求出M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），则ME＝﹣m2+4m，求出S△CDM＝S△CME+S△DME4（﹣m2+4m）＝﹣2（m﹣2）2+8，据此求解即可； （3）设Q（t，﹣t2+3t+4），根据勾股定理得到CQ2＝t2+（﹣t2+3t）2，DQ2＝（t﹣4）2+（﹣t2+3t+4）2，根据等腰三角形的性质得到CQ2＝DO2，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）把C（0，4），D（4，0）代入抛物线解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）如图，连接CD，MC，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F， ∵直线CD过点（4，0），（0，4）， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4． ∵AB∥CD，MG⊥AB， ∴MG⊥CD， ∴点M在运动过程中FG的长保持不变，要使△MAB的面积最大， 则MG最大，即MF最大， ∵， ∴当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4）， ∴S△CDM＝S△CME+S△DME4（﹣m2+4m）＝﹣2（m﹣2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴当m＝2时，S△CDM最大，即此时△MAB的面积最大； （3）设Q（t，﹣t2+3t+4）， ∴CQ2＝t2+（﹣t2+3t）2，DQ2＝（t﹣4）2+（﹣t2+3t+4）2， ∵△CDQ是以CD为底的等腰三角形， ∴CQ2＝DO2， ∴t2+（﹣t2+3t）2＝（t﹣4）2+（﹣t2+3t+4）2， 解得：t1＝1，t2＝1， ∴Q（1，1）或（1，1）． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2023秋•长海县期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求△BCD的面积； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进证明△BCD是直角三角形，然后利用三角形的面积计算公式解答即可； （3）若△PDC是等腰三角形则分两种情况，即以CD为腰，以CD为底，分别求出P点的坐标即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图： 由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4）， ∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B， 令y＝0，﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴CD， BC3， BD2， ∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴S△BCDBC•CD33； （3）在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得△PDC为等腰三角形；理由如下： ①若以CD为底边，则PD＝PC，点P在对称轴右侧的抛物线上，如图2， 设P点坐标为（x，y）， 根据勾股定理，得x2+（y﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2， 即y＝4﹣x， 又∵点P（x，y）在抛物线上， ∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即x2﹣3x+1＝0， 解得x或（舍去）． ∴y＝4﹣x， ∴点P的坐标为（，）； ②若以CD为腰，点P在对称轴右侧的抛物线上，如图3， ∴由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P的坐标为（2，3）， ∴符合条件的点P的坐标为（，）或（2，3）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是解答本题的关键． 9．（2023秋•头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接AC、BC，求S△ABC； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出D（﹣1，2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4）， ∴4＝3+m， ∴m＝1， ∴y＝﹣x+1， ∴B（0，1）， 二次函数解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2， 顶点坐标为C（﹣1，0）； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函数对称轴为x＝﹣1， ∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点D（﹣1，y）， ∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2， ∴D（﹣1，2）， ∴△ABC的面积＝S△ACD+S△BCD； （3）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形． ∵顶点坐标为C（﹣1，0）， ∴对称轴为x＝﹣1， 过点A作AE⊥CD于点E， 在Rt△ACE中，． ①当AQ＝CQ时，设CQ＝m， 在Rt△AEQ中，AE2+EQ2＝AQ2 ∴22+（4﹣m）2＝m2 解之得 ∴； ②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE＝QE＝4， ∴CE＝2CE＝8， ∴Q2（﹣1，8）； ③当CA＝CQ时，， ∴，． 综上所述：点Q的坐标为或（﹣1，8）或或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 10．（2024•西峰区校级一模）如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入yx2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式； （2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP＝DC时，易得P2（，），P3（，）； （3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为yx+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，x+2）（0≤x≤4），则F（x，x2x+2），则FEx2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF＝S△BEF+S△CEF4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD，所以S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入yx2+mx+n得，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+2； （2）存在． 抛物线的对称轴为直线x， 则D（，0）， ∴CD， 如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）； 当DP＝DC时，则P2（，），P3（，）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，）； （3）当y＝0时，x2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（4，0），C（0，2）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为yx+2， 设E（x，x+2）（0≤x≤4），则F（x，x2x+2）， ∴FEx2x+2﹣（x+2）x2+2x， ∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF4×EF＝2（x2+2x）＝﹣x2+4x， 而S△BCD2×（4）， ∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD ＝﹣x2+4x（0≤x≤4）， ＝﹣（x﹣2）2 当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题． 11．（2023秋•招远市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点分别为A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC、BC，点M是线段OA上，不与点O、A重合的一个动点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交AC于点E，其对称轴与x轴交于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）在点M的运动过程中，能否使线段DE＝CE？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）DE＝（x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝x2﹣3x，而直线AC和x轴的夹角为45°，则CEx＝DE＝x2﹣3x，即可求解； （3）当PH＝HC时，列出等式，即可求解；当PH＝PC或HC＝PC时，同理可解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）， 则﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）能，理由： 由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，直线AC和x轴的夹角为45°， 设点D（x，﹣x2﹣2x﹣3），则点E（x，x+3）， 则DE＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， ∵直线AC和x轴的夹角为45°， 则CEx＝DE＝﹣x2﹣3x， 解得：x3， 即点M的坐标为：（3，0）； （3）存在，理由： 设点P（﹣1，m），而点H（﹣1，0）， 则PH2＝m2，HC2＝10，PC2＝1+（m﹣3）2， 当PH＝HC时， 则m2＝10， 解得：m＝±； 当PH＝PC或HC＝PC时， 同理可得：10＝1+（m﹣3）2或1+（m﹣3）2＝m2， 解得：m＝0（舍去）或6或±或， 即点P的坐标为：（﹣1，6）或（﹣1，±）或（﹣1，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键． 12．（2024•泸州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并与x轴交于另一点B． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）求点B坐标； （3）设P（x，y）是抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N． ①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰△BPC的面积． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣3（舍去）或1，即可求解； （3）①设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则N的坐标为（x，﹣x+3），构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案； ②求出BC的垂直平分线的解析式，用方程组求出点P的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）令y＝﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝﹣3（舍去）或1， 即点B（1，0）； （3）①存在，理由： 如图2中， ∵点P（x，y）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， 且PN⊥x轴， ∴设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）， 同理可设点N的坐标为（x，﹣x+3）， 又点P在第一象限， ∴PN＝PM﹣NM， ＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）， ＝﹣（x）2， ∴当x时， 线段PN的长度的最大值为 ； ②解：如图3中， 由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上， 又由①知，OB＝OC， ∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线， ∴设点P的坐标为（a，a）， 又点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，于是有a＝﹣a2+2a+3， ∴a2﹣a﹣3＝0， 解得a， ∴点P的坐标为：（，）或（，）， 若点P的坐标为：（，），此时点P在第一象限， 在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP＝OM， OB＝OC＝3， S△BPC＝S四边形BOCP﹣S△BOC＝2S△BOP﹣S△BOC＝2•BO•PMBO•CO， ＝23； 若点P的坐标为（，），此时点P在第三象限， 同理可得：S△BPC． 综上所述△BPC的面积为：或． 【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． 13．（2024•达州）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，进而求解； （3）当AC＝AN时，列出等式，即可求解；当AC＝CN或AN＝CN时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点， 由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3， ∵DG∥AC， 则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4， 则点G（0，﹣5），则CG＝5﹣3＝2，则CL＝4， 则点L（0，1）， 则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1， 联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1， 解得：x＝1或﹣4， 即点P（1，0）或（﹣4，5）； （3）存在，理由： 设点N（﹣1，m）， 由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2， 当AC＝AN时， 则18＝4+m2， 解得：m＝±， 则点N（﹣1，±）； 当AC＝CN或AN＝CN时， 则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2， 解得：m＝﹣3或﹣1（不合题意的值已舍去）， 则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3）， 综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、一次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键． 14．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求点A，B，D的坐标． （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标． （3）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大？试求出最大面积． 【分析】（1）已知抛物线的一般式，令 y＝0，可得关于x的方程，解方程可得抛物 线与x轴交点的横坐标，从而得到A、B两点坐标，通过配方可得到抛物线的对称轴，从而可得点D的坐标； （2）先求出BC的长，然后分情况进行讨论即可得； （3）设点M运动的时间为ts，用含t的式子先表示出BM与DN的长，然后利用三角形的面 积公式表示出△MNB的面积，再根据二次函数的性质即可得△MNB的最大面积． 【解答】解：（1）当y＝0 时，x2﹣4x+3＝0， 解得 x1＝1，x2＝3， ∵点B在点A的右侧， ∴点A的坐标为（1，0）， 点B的坐标为（3，0）， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴点D的坐标为（2，0）； （2）存在，令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP＝CB时，PC＝3， ∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33， ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OC＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）； （3）如图2，设M运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， 即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 16．如图，抛物线yx2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接PB，PC． （1）求抛物线的对称轴及b，c的值； （2）当四边形OBPC的面积等于11时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A，B点的坐标代入yx2+bx+c中即可求出二次函数表达式，即可得抛物线的对称轴及b，c的值； （2）过点P作PH⊥AB于H，设P（m，m2﹣m﹣4），根据S四边形OBPC＝S△OBP+S△OCP可得关于m的方程，解方程求出m的值，由题意得出1＜m＜4，即可得点P的横坐标，代入即可求解； （3）设M（1，n），根据勾股定理可表示出CM2，PM2，CP2．分CP＝PM，CP＝CM，CM＝PM三种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴yx2﹣x﹣4（x﹣1）2， ∴对称轴是直线x＝1，b的值是﹣1，c的值是﹣4； （2）设P（m，m2﹣m﹣4）， ∵yx2﹣x﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∵B（4，0）， ∴OB＝4，OC＝4， ∴S四边形OBPC＝S△OBP+S△OCP4（m2+m+4）4m＝11， 整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3， ∵点P在对称轴的右侧，x轴的下方， ∴1＜m＜4， ∴m＝3， ∴m2﹣m﹣4， ∴P（3，）； （3）设M（1，n）， 则CM2＝1+（n+4）2， PM2＝（3﹣1）2+（n）2＝4+（n）2， CP2＝32+（4）2＝9， ∵△CPM是等腰三角形， ∴分CP＝PM，CP＝CM，CM＝PM三种情况， ①当CP＝PM时， 4+（n）2， 解得：n1，n2； ②当CP＝CM时， 1+（n+4）2， 解得：n1，n2； ③当CM＝PM时， 1+（n+4）2＝4+（n）2， 解得：n； ∴存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）或（1，）． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质和判定，面积的计算等知识点，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题． 17．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值； （3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式； （2）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案； （3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为yx2x+8； （2）∵抛物线的解析式为yx2x+8， 令x＝0，y＝8， ∴C（0，8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8）， 设P（m，m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0）， ∴BD（8﹣m）， 又PDm+8﹣（﹣m+8）m， ∵△PQD≌△BED， ∴PD＝BD， ∴（8﹣m）m， 解得，m1＝3，m2＝8（舍去）， ∴m的值为3； （3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3， 当y＝0时，x＝3， ∴M（3，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴N（0，3）， 由题意得PD⊥MB， ∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3）， ∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2， 若△BMD是等腰三角形，可分三种情况： ①当MB＝MD时， ∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25， 解得m1＝3，m2＝3， ②当MB＝BD时， ∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25， 解得，m1＝3（舍去），m2＝8， ③当MD＝BD时， ∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2， 解得，m＝5.5． 综上所述，m的值为3或3或5.5或8时，△BMD是等腰三角形． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、勾股定理、两点间的距离公式，全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 18．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A、B两点，过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点C，与y轴交于点D． （1）求△ABC的面积； （2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）将抛物线沿射线AC的方向平移个单位长度，平移后的顶点记作M，原抛物线的顶点关于新抛物线的对称轴的对称点记作N，E为直线AC上的动点，是否存在点E，使得以M、N、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由△ABC的面积AB×yC，即可求解； （2）由PNPH，即可求解； （3）由点M、N、E的坐标得，MN2＝（7﹣4）2+（12﹣9）2＝18，NE2＝（m﹣7）2+（m﹣7）2，ME2＝（m﹣4）2+（m﹣10）2，当MN＝NE时，列出等式，即可求解；当MN＝ME或NE＝ME时，同理可解． 【解答】解：（1）令y＝﹣x2+2x+8＝0，则x＝﹣2或4， 即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0），则AB＝10， 联立y＝﹣x2+2x+8和y＝x+2并解得：x＝3， 则点C（3，5）， 则△ABC的面积AB×yC10×3＝15； （2）由直线AC的表达式知，∠DAO＝45°， 过点P作PH∥y轴交AC于点H，则∠PHN＝∠DAO＝45°， 作PN⊥AC于点N，则PN即为点P到直线AC的距离， 设点P（x，﹣x2+2x+8），则点H（x，x+2）， 则PNPH（﹣x2+2x+8﹣x﹣2）（x）2， 即点P到直线AC的距离的最大值为：； （3）存在，理由： y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，即顶点为（1，9），对称轴为直线x＝1， 抛物线沿射线AC的方向平移个单位长度，相当于将抛物线向右平移了3个单位向上平移了3个单位， 则点M（4，12）， 则原顶点关于平移后抛物线的对称轴为直线x＝4的对称点为：点N（7，9）， 设点E（m，m+2）， 由点M、N、E的坐标得，MN2＝（7﹣4）2+（12﹣9）2＝18，NE2＝（m﹣7）2+（m﹣7）2，ME2＝（m﹣4）2+（m﹣10）2， 当MN＝NE时， 则18＝（m﹣7）2+（m﹣7）2， 解得：m＝10或4， 即点E的坐标为：（10，12）或（4，6）； 当MN＝ME或NE＝ME时， 同理可得：（m﹣4）2+（m﹣10）2＝18或（m﹣7）2+（m﹣7）2＝（m﹣4）2+（m﹣10）2， 解得：m＝7（舍去）或无解； 综上，点E的坐标为：（10，12）或（4，6）． 【点评】本题考查二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象及性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键． 19．（2024•永川区校级模拟）如图1，点A为直线l：yx与抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上的一个交点，点B（m，﹣2）为直线l：yx上一点，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C． （1）求△ABC的面积； （2）点P是直线l上方的抛物线上一点，过P作PE∥x轴交直线l于E，P作PF∥y轴交直线l于F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线y＝﹣x2+2x+3向右平移2个单位得到新抛物线y′，平移后的抛物线y′与原抛物线交于点Q，点M是新抛物线y′的对称轴上一点．若△AQM是以AQ为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）由△ABC的面积CT×（xB﹣xA），即可求解； （2）由PF＝（﹣x2+2x+3）﹣F（x）＝﹣（x）2，即可求解； （3）分AQ＝AM、AQ＝MQ两种情况，利用线段长度相等，即可求解． 【解答】解：（1）当yx2时， 解得：x＝3，即点B（3，﹣2）； 令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，即点A（﹣1，0）， 设直线l和y轴的交点为点T，则点T（0，）， 则△ABC的面积CT×（xB﹣xA）（3）×（3+1）＝7； （2）如图2，由直线l的表达式yx知，tan∠xAB， ∵EF∥x轴，则∠xAB＝∠PEF， 则tan∠PEF，则PE＝2PF， 则PE+PF＝3PF， 设点P（x，﹣x2+2x+3），则点F（x，x）， 则PF＝（﹣x2+2x+3）﹣F（x）＝﹣（x）2， 即PF的最大值为， 则PE+PF的最大值为：3PF，此时，点P（，）； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4①， 则平移后的抛物线表达式为：y′＝﹣（x﹣3）2+4②， 联立①②得：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）2+4， 解得：x＝2， 则点Q（2，3）， 设点M（3，m）， 由点A、M、Q的坐标得，AQ2＝（2+1）2+32＝18，AM2＝（3+1）2+m2，MQ2＝1+（m﹣3）2， 当AQ＝AM时，则18＝（3+1）2+m2， 解得：m， 则点M的坐标为：（3，）或（3，）； 当AQ＝MQ时，则18＝1+（m﹣3）2， 解得：m＝3， 即点M的坐标为：（3，3）或（3，3）， 综上，点M的坐标为：（3，）或（3，）或（3，3）或（3，3）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到解直角三角形、等腰三角形的性质、二次函数最值的确定等知识点，其中（3），分类求解是本题解题的关键． 20．（2024•山亭区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求PM+2BH的最大值； （4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值． 【分析】（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可； （2）根据旋转的性质，求出A′的坐标，进行判断即可； （3）设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0），将PM+2BH转化为二次函数求最值即可； （4）分CP＝CM，CM＝PM，CP＝PM，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）A′不在抛物线上；理由如下： 过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°， ∵旋转， ∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°， ∴∠ACO＝∠CA′D＝90°﹣∠A′CD， ∴△ACO≌△CA′D， ∴OA＝CD，OC＝A′D， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3， ∴OD＝2， ∴A′（3，﹣2）， ∵y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0， ∴A′（3，﹣2）不在抛物线上； （3）∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1， ∴y＝x﹣3； 设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）． ∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m． ∴． 当时，PM+2BH取最大值，最大值为． （4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），C（0，﹣3）， ∴PM＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，CM2＝2m2，CP2＝m2+（m2﹣2m）2， 当△PMC是等腰三角形时，分三种情况， ①PM＝CM时，则：（﹣m2+3m）2＝2m2， 解得：（舍），m＝0（舍），； ②PM＝CP时，则：（﹣m2+3m）2＝m2+（m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍），m＝2； ③CM＝CP时，则：2m2＝m2+（m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍），m＝3（舍），m＝1； 综上：m＝1，m＝2，． 【点评】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$