3.2 基本不等式 讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 基本不等式 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一.重要不等式 对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 知识点二．基本不等式 1.定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．常用变形(1)ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 4．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 知识点三.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 知识点四。利用基本不等式求条件最值的常用方法 1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 例题讲解 知识点一、直接型 例1、已知，则的最大值为(    ) A． B． C．1 D．2 例2、已知，则当取最大值时，的值为(    ) A． B． C． D． 例3. 已知、、都是正数，求证： 练习： 1．已知，，则的最大值为(    ) A．6 B．9 C．12 D．36 2．已知，那么c的最大值为(    ) A．1 B． C． D． 3．已知，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 5．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：. 知识点二、替换型 例1、已知x，，x＋2y＝1，则的最小值(    ) A．8 B．9 C．10 D．11 例2、已知正数a，b满足，则最小值为(    ) A．25 B． C．26 D．19 例3、已知正实数满足，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 例4、已知，，，则的最小值为(    ) A．8 B．16 C．24 D．32 练习： 1．已知，，，则的最小值是(    ) A． B．4 C． D．5 2．若正数满足，则的最小值为(    ) A． B． C．2 D． 3．已知非负数满足，则的最小值是___________. 4．已知正数，满足，则的最小值为__________. 知识点三、配凑型 例1、函数 的最大值为________. 例2、当时，函数的最小值为(    ) A． B． C． D．4 例3、 若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为　 　． 例4、 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值. 练习： 1.函数的最小值为_________． 2．已知，则函数的最小值是______． 3．若直线过点(1，1)，则a+b的最小值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________； 知识点四、消元型 例1、已知，，且，则的最小值为(    )． A．4 B．6 C．8 D．12 练习： 1．设 ,则的最小值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．4 2．已知，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 3．已知，，若，则的最小值为______. 知识点五、基本不等式解决恒成立问题 例1、若对，，有恒成立，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 例2、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 练习： 1．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是(     ) A． B． C． D． 3．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______． 知识点六、基本不等式的实际应用 例1、某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(    ) A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 练习： 1．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供(万元)的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府(万元)补贴后，产量将增加到(万件)．同时波司登制衣有限公司生产(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益(万元)最大？ 2．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 知识点七、利用基本不等式比较大小 例1、已知a、b为正实数，，则(    ) A． B． C． D． 例2、设，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 练习： 1．若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 2． (多选)若，且，则(    ) A． B． C． D． 3．（多选)已知，则下列不等式正确的是(    ) A． B． C． D． 知识点八、基本不等式证明不等式 例1、若，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 例2、已知，，，且．求证：． 例3、已知，，，求证：. 练习： 1．下列不等式恒成立的是(    ) A．； B．； C．； D．． 2．已知，，且，求证：. 3．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 举一反三 1．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是(　　) A． B．2 C．4 2．若，则的最值情况是(    ) A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 3．函数 的最小值是(    ) A． B．3 C．6 D．12 4．已知，且，则的最小值为(    ) A． B． C．1 D．2 5．已知正实数，满足，则的最小值为(    ) A．3 B．1 C．9 D． 6．若x，y满，则(    ) A． B． C． D． 7．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知，且，则的最小值是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 9．若正数满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 10． (多选)已知正实数、满足，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 11． (多选)若，则(    ) A． B． C． D． 12． (多选)若、，且，则下列不等式中，恒成立的是(    ) A． B． C． D． 13． (多选)下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 14． (多选)已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为(    ) A．10 B．9 C．8 D．7.5 15．已知正实数a，b满足则ab的最大值为__________. 16．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为______． 17．已知实数，，则的最小值是______. 18．函数在上的最大值为_______________． 19．当时，函数的最小值为___________． 20．已知正实数x，y满足，则的最小值为______. 21．已知正数、满足，则的最小值为___. 22．正实数满足，则的最小值为_______. 23．已知，，，则的最大值为____________． 24．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______． 25．已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________． 26．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位：百万元)的函数(单位：百万元)：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位：百万元)的函数(单位：百万元)：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为(百万元)，则两个生态项目五年内带来的收益总和为(百万元)，写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 课 后 作 业 1．已知，，且，则下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 2．当，时，恒成立，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．(多选)已知，且，，则下列不等式中一定成立的是(    ) A． B． C． D． 3． (多选)已知,则(    ) A． B． C． D． 4． (多选)已知，则(    ) A． B． C． D． 5． (多选)已知，是正数，且，下列叙述正确的是(    ) A．最大值为1 B．有最大值4 C．的最大值为2 D．的最小值为9 6．(多选)已知，，且，则(    ) A． B． C． D． 7． (多选)已知，则下列说法中正确的有(    ) A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 8． (多选)已知，，，则下列判断正确的是(    ) A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为6 D．的最大值为8 9． (多选)已知且，则(    ) A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为4 10．已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 11．设非负实数满足，求证： 12．已知是正实数. (1)若，证明：； (2)证明：. 13． (1)设.若，求的取值范围； (2)设，，.若，求的取值范围. 14．(1)当时，求函数的最小值； (2)当时，求函数的最大值； (3)当时，求函数的最小值； (4)当时，求函数的最大值； (5)设，求函数的值域． (6)①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 15．汽车在隧道内行驶时，安全车距(单位：)正比于车速(单位：)的平方与车身长(单位：)的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过(第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队)长度为的隧道用时最短? 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 基本不等式 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一.重要不等式 对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 知识点二．基本不等式 1.定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．常用变形(1)ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 4．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 知识点三.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 知识点四。利用基本不等式求条件最值的常用方法 1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 例题讲解 知识点一、直接型 例1、已知，则的最大值为(    ) A． B． C．1 D．2 【解析】因为，由基本不等式可得，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A. 例2、已知，则当取最大值时，的值为(    ) A． B． C． D． 【解析】由，可得，则，当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值.故选：B. 例3. 已知、、都是正数，求证： 【解析】∵、、都是正数 ∴ （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） ∴（当且仅当时，取等号） 即. 练习： 1．已知，，则的最大值为(    ) A．6 B．9 C．12 D．36 【解析】因为，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为.故选：B. 2．已知，那么c的最大值为(    ) A．1 B． C． D． 【解析】由于，所以，当且仅当时，等号成立，即c的最大值为1，故选：A. 3．已知，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D. 4．已知，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为.故选：C. 5．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：. 【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴，，. ∴. 知识点二、替换型 例1、已知x，，x＋2y＝1，则的最小值(    ) A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】因为x，，x＋2y＝1，则， 当且仅当，即时取等.故选：B. 例2、已知正数a，b满足，则最小值为(    ) A．25 B． C．26 D．19 【解析】因为正数a，b满足，所以 ，当且仅当，联立，即时等号成立，故选：A. 例3、已知正实数满足，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题可得，，则，所以， 当且仅当，即时，取得等号，故选:C. 例4、已知，，，则的最小值为(    ) A．8 B．16 C．24 D．32 【解析】由(当且仅当时取等号)， 又由(当且仅当a＝4，b＝2时取等号)，有， 可得的最小值为32．故选：D． 练习： 1．已知，，，则的最小值是(    ) A． B．4 C． D．5 【解析】，， (当且仅当时等号成立)，故选：C 2．若正数满足，则的最小值为(    ) A． B． C．2 D． 【解析】因为正数满足，所以. 所以, 当且仅当，即时，取等号， 当时，取得的最小值为.故选：A. 3．已知非负数满足，则的最小值是___________. 【解析】由，可得，当且仅当，即时取等号.故答案为：4 4．已知正数，满足，则的最小值为__________. 【解析】由正数，满足，可得， 所以， 当且仅当，，即时取等号， 所以的最小值为.故答案为：. 知识点三、配凑型 例1、函数 的最大值为________. 【解析】因为，则，所以≤， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：. 例2、当时，函数的最小值为(    ) A． B． C． D．4 【解析】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．故选：B． 例3、 若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为　 　． 【解析】∵xy＝1，∴∴ 当且仅当，即时取等号，故答案为： 例4、 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值. 【解析】方法一：∵，∴ ∵x＞0，y＞0，∴（当且仅当，即y=3x时，取等号） 又，∴x=4，y=12∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16. 方法二：由，得 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9 ∵y＞9，∴y－9＞0，∴（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16. 练习： 1.函数的最小值为_________． 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为.故答案为： 2．已知，则函数的最小值是______． 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:. 3．若直线过点(1，1)，则a+b的最小值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】由已知得，则， 因为a＞0，b＞0，所以因为a＞0，b＞0，所以 故a+b≥4，当，即a=b=2时取等号． 4．已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________； 【答案】 知识点四、消元型 例1、已知，，且，则的最小值为(    )． A．4 B．6 C．8 D．12 【解析】已知，且xy+2x+y=6，y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，故2x+y的最小值为4. 故选:A 练习： 1．设 ,则的最小值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】由题意，所以，得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为．故选：A. 2．已知，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D 3．已知，，若，则的最小值为______. 【解析】因为，，，所以，即； 因为，当且仅当时取到等号，所以， 解得或(舍)所以当时，有最小值3.故答案为：3 知识点五、基本不等式解决恒成立问题 例1、若对，，有恒成立，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】因为，，所以， 当且仅当时取等号，所以，故选：D． 例2、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为两个正实数满足，所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以大于的最小值，即，解得或， 即实数的取值范围是，故选：C 练习： 1．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，因为恒成立，则.故选：A. 2．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【解析】由正实数x，y， ，则， 即， 当且仅当，即时，等号成立，则，故选：A. 3．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______． 【解析】当时，不成立，所以.由得. 因为，，所以，解得，即. 所以， 令，则，于是.令，，则. 由对勾函数的图象知，在上单调递减，故. 所以，即的最大值为.故答案为：. 知识点六、基本不等式的实际应用 例1、某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(    ) A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 【解析】设米,，则种植花卉区域的面积． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即当米，米时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,故选：C 练习： 1．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供(万元)的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府(万元)补贴后，产量将增加到(万件)．同时波司登制衣有限公司生产(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益(万元)最大？ 【解析】(1) ． 因为，所以 (2)因为 ． 又因为，所以， 所以(当且仅当时取“”) 所以 即当万元时，取最大值30万元． 2．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 【解析】因为泳池的长为x米，则宽为米． 则总造价， 整理得到， 当且仅当时等号成立． 故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元． 知识点七、利用基本不等式比较大小 例1、已知a、b为正实数，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：.故选：B 例2、设，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以； 因为，所以，即， 因为，所以，即，因此，故选：D 练习： 1．若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 【解析】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是.故答案为： 2． (多选)若，且，则(    ) A． B． C． D． 【解析】，且， 所以，即，故A错误，B正确； 所以，即，故C错误，D正确.故选：BD. 3．多选)已知，则下列不等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】，则，A对； ，而， 所以，即，B错； 且，仅当等号成立，而，故，C对； ，而， 所以，即，D对.故选：ACD 知识点八、基本不等式证明不等式 例1、若，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，， 所以，，∴.故选：C. 例2、已知，，，且．求证：． 【解析】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以． 例3、已知，，，求证：. 【解析】∵，，，∴，当且仅当，即时，等号成立， 同理：，，当且仅当，时，等号成立， 以上三式相加得：，当且当且仅当时，等号成立， 所以. 练习： 1．下列不等式恒成立的是(    ) A．； B．； C．； D．． 【解析】对于A：取，，则，，此时.故A错误； 对于B：取，，则，，此时.故B错误； 对于C：取，，则，，此时.故C错误； 对于D：因为，所以.故D正确.故选：D 2．已知，，且，求证：. 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立.故原题得证. 3．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【解析】(1)由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立，所以， 即，所以，当且仅当时等号成立； (2)因为，，均为正数，则，，， 当且仅当时，不等式等号均成立，则， 即，当且仅当时等号成立.所以. 举一反三 1．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是(　　) A． B．2 C．4 【解析】，等号成立条件是，即时取等号， 即当且仅当时取等号，所以ab的最大值是4.故选：D. 2．若，则的最值情况是(    ) A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 【解析】若，则， 当且仅当即等号成立，所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B. 3．函数 的最小值是(    ) A． B．3 C．6 D．12 【解析】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为，故选：A 4．已知，且，则的最小值为(    ) A． B． C．1 D．2 【解析】由(当且仅当时等号成立)，得，即， 即，，当且仅当a=b=时等号成立.所以的最小值为.故选：B. 5．已知正实数，满足，则的最小值为(    ) A．3 B．1 C．9 D． 【解析】因为，变形得.由题意， 当且仅当，即时，等号成立．故选：B. 6．若x，y满，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，而，所以， 于是有，故选项AB都不正确； 由，故选：C 7．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】因为，对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确； 对于②中，由，当且仅当时，等号成立，所以，所以②不正确；对于③中，由不等式，可得， 两边同除，可得成立，所以③成立； 对于④，由， 可得，即，所以成立，所以④正确.故选：B. 8．已知，且，则的最小值是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】由题意知，且，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 9．若正数满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【解析】由可得时等号成立， 所以， 所以时，的最小值是，故选：B 10． (多选)已知正实数、满足，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为正实数、满足，对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，因为，则，当且仅当时，等号成立，B错；对于C选项，当，时，，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD. 11． (多选)若，则(    ) A． B． C． D． 【解析】对A、B：∵，则， ∴，即，，A、B正确； 对C∵，例如，则，显然不满足，C错误； 对D：∵，则，∴，D正确.故选：ABD. 12． (多选)若、，且，则下列不等式中，恒成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A选项，，故，A对； 对于B，取，此时，B错； 对于C，取，此时，C错； 对于D，因为，所以，，所以， 当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD. 13． (多选)下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，若，，则，得 ，B错； 对于C选项，因为，则，所以，，C对； 对于D选项，若，则，， 则，故，D对.故选：ACD. 14． (多选)已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为(    ) A．10 B．9 C．8 D．7.5 【解析】由，且，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.故选：. 15．已知正实数a，b满足则ab的最大值为__________. 【解析】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号， 解得，则的最大值5．故答案为：5． 16．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为______． 【解析】因为 . 当且仅当，即时取等，故的最小值为.故答案为： 17．已知实数，，则的最小值是______. 【解析】,令,则, 当且仅当即时等号成立.故的最小值为3.故答案为：3 18．函数在上的最大值为_______________． 【解析】因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为： 19．当时，函数的最小值为___________． 【解析】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为. 20．已知正实数x，y满足，则的最小值为______. 【解析】因为，所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以.即的最小值为.故答案为： 21．已知正数、满足，则的最小值为___. 【解析】正数、满足，则 则， 又时，，则， 则的最小值为.故答案为： 22．正实数满足，则的最小值为_______. 【解析】因为正实数满足，所以， 则， 当且仅当,即时取等号，所以的最小值为1，故答案为：1 23．已知，，，则的最大值为____________． 【解析】由已知，，，则， 而，当且仅当时等号成立， 故的最大值为.故答案为： . 24．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______． 【解析】∵，则，对任意恒成立， 由，，则，可得， 当且仅当，即时取得等号，∴，解得． 故正实数的取值集合为.故答案为：． 25．已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________． 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以实数m的取值范围为．故答案为：． 26．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位：百万元)的函数(单位：百万元)：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位：百万元)的函数(单位：百万元)：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为(百万元)，则两个生态项目五年内带来的收益总和为(百万元)，写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【解析】(1)解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元， 则，，． (2)解：由(1)可得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时． 所以的最大值为(百万元)，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为(百万元)，(百万元)． 课 后 作 业 1．已知，，且，则下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，且， 由基本不等式可得(当且仅当时取等号)，A正确； 由基本不等式知，则，即(当且仅当时取等号)，B正确； 由题得，由已知，故，所以，故，C正确；由基本不等式可得，即(当且仅当时取等号)，D错误.故选D. 2．当，时，恒成立，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为． 所以，即．故选：A. 2．(多选)已知，且，，则下列不等式中一定成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】由，可得，所以A错误； 由且，则， 当且仅当时等号成立，又因为，所以等号不成立，故成立，所以B正确； 当，时，可得，所以C错误； 因为，所以，当且仅当时取等号；同理可得：，当且仅当时取等号，又因为，即，不同时等于1，所以，所以D正确．故选：BD． 3． (多选)已知,则(    ) A． B． C． D． 【解析】由题知,当时,,故选项A,D错误; 根据算术平均数大于等于调和平均数,所以,即, 由,当且仅当,即时,等号成立, 因为,所以,此时,故,故选项B正确. 因为,所以,即,当且仅当,即时,等号成立, 所以,故选项C正确.故选:BC 4． (多选)已知，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，所以， 所以，因为，所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B不正确； 因为，，所以 ，故C正确； 因为，，所以，所以，，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确.故选：ACD 5． (多选)已知，是正数，且，下列叙述正确的是(    ) A．最大值为1 B．有最大值4 C．的最大值为2 D．的最小值为9 【解析】，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确； ，当且仅当时取等号，有最小值4，故B错误； 因为，则，当且仅当时取等号，故C正确； 对D，，当且仅当时取等号，故D错 故选：AC． 6．(多选)已知，，且，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因，，且，则有，当且仅当时取“=”，故A正确； 因，，且，则，， 当且仅当时取“=”，故B错误； 因，，且，所以， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 因，，且，则，， 则， 因为取等的条件为，即， 又取等的条件为， 因为取等条件不一致，故，故D正确.故选：ACD 7． (多选)已知，则下列说法中正确的有(    ) A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【解析】A选项，因为，所以，即，解得， 当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式得，故，故， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C错误； D选项，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，D正确.故选：ABD 8． (多选)已知，，，则下列判断正确的是(    ) A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为6 D．的最大值为8 【解析】对于A：， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：由条件可知，所以，解 得，由，得，， 所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C：由得， 当且仅当，即，时取得等号，故C正确； 对于D：由上述条件可知， 整理得. 令，则，解得，则， 当且仅当，即，时取得等号，故D正确.故选：ACD. 9． (多选)已知且，则(    ) A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为4 【解析】对于A，因为，得，当且仅当时，等号成立，故错误； 对于B，因为，所以， 即，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由得，所以， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.故选：BC. 10．已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 【解析】(1)(2)因为，所以，所以． 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即的最小值是2． (2)证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以．当且仅当时，等号成立 则，即，当且仅当时，等号成立． 11．设非负实数满足，求证： 【解析】因为，，，， 所以， . 当且令当时，等号成立，所以，即. 12．已知是正实数. (1)若，证明：； (2)证明：. 【解析】(1)因为，，，所以， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立，所以. (2)因为，，，所以，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号； 上述三式相加可得，即， 当且仅当时，等号成立.所以. 13． (1)设.若，求的取值范围； (2)设，，.若，求的取值范围. 【解析】(1)因为，所以，即， 即，当且仅当时取等号，所以，即， 即，解得或，即的取值范围为. (2)因为，，则，所以，即， 则，即，解得，即，当且仅当时取等号． 所以的取值范围为． 14．(1)当时，求函数的最小值； (2)当时，求函数的最大值； (3)当时，求函数的最小值； (4)当时，求函数的最大值； (5)设，求函数的值域． (6)①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【解析】(1)因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为. (2)因为，所以，， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以函数的最大值为. (3)因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为. (4)，令，则， 所以， 因为，所以，当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以，所以函数的最大值为. (5),因为，所以， 所以，当且仅当，即时，取得等号， 所以，所以函数的值域为. (6)①令，因为，所以，所以， 因为，当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以，所以函数的最大值为1. ②令，则，所以，所以， 因为函数在单调递增，所以当时，即时，有最小值为4， 所以，所以函数的最大值为. 15．汽车在隧道内行驶时，安全车距(单位：)正比于车速(单位：)的平方与车身长(单位：)的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过(第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队)长度为的隧道用时最短? 【解析】(1)根据题意为定值，设比例常数为，则，所以，所以，          所以，令，则，所以. (2)设通过隧道的时间为，则． ①当时，． ②当时，． 当且仅当，即时等号成立．又，所以当时用时最短． 答：当速度为时该车队通过该隧道用时最短． 27 学科网（北京）股份有限公司 $$