3.1 不等式性质 讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 不等式的性质 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一、符号法则与比较大小 1、实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。 2、两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变；符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数；符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数；符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0；符号语言：，. 3、比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、；①；②；③. 对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。 注：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 1、基本性质有： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (c∈R) (4) 可乘性：a>b， 2、运算性质有： (1) 可加法则： (2) 可乘法则： (3) 可乘方性： 注：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 知识点三、比较两代数式大小的方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。 ①； ②； ③。 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较、的大小 ①； ②；③. 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 4、利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论。 注：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。 知识点四、利用不等式的性质求取值范围 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 3.求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．　　 例题讲解 知识点一、用不等式(组)表示不等关系 例1、将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为(    ) A． B．或 C． D． 例2、某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 练习： 1．下列说法正确的是(    ) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是(    ) A． B． C． D． 3.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外(含150米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度(单位：厘米)应满足的不等式为(    ) A． B． C． D． 4．我国经典数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？在这个问题中大竹子每根的单价可能为(    ) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 5．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 6．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 知识点二、实数(式)的比较大小 例1、已知，试比较和的大小. 例2、 已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小． 例3、已知(), 试比较和的大小. 例4、已知：、, 且,比较的大小. 练习： 1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(    ) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 2．设， ，则有(    ) A． B． C． D． 3．设实数，，满足①，②，试确定，，的大小关系． 4.在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ； （2） ； （3） ； （4）当时， . 5．比较下列两代数式的大小： （1）与；（2）与. 6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz 7．已知，比较的大小 知识点三、利用不等式的性质判断命题的真假 例1、下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2、对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac<bc; （２）若ac2>bc2，则a>b; （３）若a<b<0, 则a2>ab>b2; （４）若a<b<0, 则|a|>|b|; （５）若a>b, >, 则a>0, b<0． 练习： 1．对于实数a，b，c，下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则． 2．下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc； (2) ； (3)a－c＞b－d； (4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 5．若a>b>0,c<d<0,则一定有（ ）。 A. B. C. D. 知识点四、利用不等式的性质证明不等式 例1、(1)已知，且，证明：． (2)证明：． 练习： 1．证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． . 2．设，，，，，证明：． 知识点五、利用不等式的性质求范围 例1、已知，求的取值范围__________． 例2．已知，求，的取值范围． 练习： 1．已知，，则的取值范围是______. 2．已知，，则的取值范围为_________ 3．若，，，则t的取值范围为______． 4．已知，求（1）(2)的取值范围. 5．已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围． 6．已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是________。 举一反三 1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、(单位：)，这个规定用数学关系式可表示为(    ) A． B． C． D． 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为(    ) A． B． C． D． 3．某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为(    ) A． B． C． D． 4．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是(   ) A． B． C． D． 5．2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有(    )个 A．20 B．22 C．24 D．26 6．已知，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 7．已知，为实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是(    ) A． B． C． D． 8．若，下列不等式中不一定成立的是(　　) A． B． C． D． 9．下列说法中，错误的是(    ) A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．下列不等式正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 12．如果，则下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．下列命题是真命题的为(　　) A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 14．已知,则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 15． (多选)若，，则下列结论正确的有(    ) A． B． C． D． 16． (多选)设为正实数，则下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 17． (多选)下列是假命题的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 18．下列四个命题中，正确的是(    ) A．若，则 B．若a>b，且，则ab<0 C．若a>b>0，c>0，则 D．若，则 19．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为______. 20．已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是__________． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；      ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 21．设，比较与的大小 22．已知，，试比较与的大小； 23．已知，，分别求，，，的取值范围． 24．已知，且，求证：． 25．已知，，且满足，则的取值范围是？ 课 后 作 业 1．集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是（ ） A．, B．, C．, D．, 2． (多选)对于实数，，，正确的命题是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 3．(多选)下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是(    ) A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥ 5．设x，y为实数，满足，，则的最小值是______. 6．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是______. 7．社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________. 8．已知，试比较与的大小，并给出你的证明． 9．比较下列各组数的大小. (1)与，； (2)与. 10．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明： （1）若ab＞cd，则； （2）是|a－b|＜|c－d|的充要条件． 11．已知 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 不等式的性质 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一、符号法则与比较大小 1、实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。 2、两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变；符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数；符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数；符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0；符号语言：，. 3、比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、；①；②；③. 对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。 注：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 1、基本性质有： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (c∈R) (4) 可乘性：a>b， 2、运算性质有： (1) 可加法则： (2) 可乘法则： (3) 可乘方性： 注：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 知识点三、比较两代数式大小的方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。 ①； ②； ③。 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较、的大小 ①； ②；③. 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 4、利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论。 注：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。 知识点四、利用不等式的性质求取值范围 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 3.求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．　　 例题讲解 知识点一、用不等式(组)表示不等关系 例1、将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为(    ) A． B．或 C． D． 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D 例2、某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系： （1） 总费用不超过8000元 （2） 总面积不超过； （3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： 即 此即为所求满足题意的不等式组 练习： 1．下列说法正确的是(    ) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.故选：B. 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是(    ) A． B． C． D． 【解析】依题意，请工人满足的关系式是，即.故选：D 3.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外(含150米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度(单位：厘米)应满足的不等式为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意知导火索的长度(单位：厘米)，故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.故选：B. 4．我国经典数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？在这个问题中大竹子每根的单价可能为(    ) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为， 所以，即，即， 因为，所以， 根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C 5．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 6．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 【答案】假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 知识点二、实数(式)的比较大小 例1、已知，试比较和的大小. 【解析】(方法1)因为，所以.所以. 因为，所以，即； (方法2)所以， 又， 所以 , 所以. 例2、 已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小． 【解析】∵=， 当且仅当a＝b＝c时取等号． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 例3、已知(), 试比较和的大小. 【解析】， ∵即，∴当时，；当时，. 例4、已知：、, 且,比较的大小. 【解析】 ∵、 ，∴， 作商： （*） (1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立； (2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立.综上，总成立. 练习： 1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(    ) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C. 2．设， ，则有(    ) A． B． C． D． 【解析】，∴.故选：A. 3．设实数，，满足①，②，试确定，，的大小关系． 【解析】因，所以，当且仅当时，， ，所以， ，所以，综上可知：，当且仅当时． 4.在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ； （2） ； （3） ； （4）当时， . 【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜ 5．比较下列两代数式的大小： （1）与；（2）与. 【答案】（1） （2） ，∴. 6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz 【答案】由x＜y＜z，a＜b＜c，所以ax+by+cz―(az+by+cx)=a(x―z)+c(z―x)=(x―z)(a―c)＞0，故ax+by+cz＞az+by+cx；同理，ay+bz+cx―(ay+bx+cz)=b(z―x)+c(x―z)=(x―z)(c―b)＜0，故ay+bz+cx＜ay+bx+cz.因为az+by+cx―(ay+bz+cx)=a(z―y)+b(y―z)=(a―b)(z―y)＜0，故az+by+cx＜ay+bz+cx.故最低费用作az+by+cx. 7．已知，比较的大小 【答案】) 知识点三、利用不等式的性质判断命题的真假 例1、下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】A选项，当时，，故A错误； B选项，当，，，时，，，故B错误； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，若，，则，即，故D正确．故选：D. 例2、对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac<bc; （２）若ac2>bc2，则a>b; （３）若a<b<0, 则a2>ab>b2; （４）若a<b<0, 则|a|>|b|; （５）若a>b, >, 则a>0, b<0． 【解析】（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题. （２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题. （３）因为，所以a2>ab ①又，所以ab>b2 ②综合①②得a2>ab>b2 ，故原命题为真命题． （４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题． （５）因为 ，所以所以 ，从而ab<0又因a>b，所以a>0, b<0，故原命题为真命题． 练习： 1．对于实数a，b，c，下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则． 【解析】A选项，，故A错误； B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误； C选项，当时，；当时，， 当时，，综上，故C正确； D选项，，故D错误.故选：C 2．下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】取，则，但是，A错误，，但是，C错误， 取，则，但是，D错误，由，可得，所以， 故，B正确，故选：B. 3．下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解析】对于A：当时，，A错误；对于B：当时，，B错误； 对于C：取满足，，而，此时，C错误； 对于D：当时，则，所以，即，又，所以，D正确.故选：D. 4．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc； (2) ； (3)a－c＞b－d； (4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C； 5．若a>b>0,c<d<0,则一定有（ ）。 A. B. C. D. 【答案】，故选D。 知识点四、利用不等式的性质证明不等式 例1、(1)已知，且，证明：． (2)证明：． 【解析】证明：(1)由，且，所以，且 所以，所以，即；所以，即． (2)要证，只需证， 即证；即证， 即证；即证，显然成立；所以． 练习： 1．证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【解析】(1)证明：， 因为，，所以，，又bd＞0，所以，，即. (2)证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，，，， 则，，即有，成立； 因为，，所以，，又，所以，成立.所以，有. 2．设，，，，，证明：． 【解析】证明：因为，所以．又，所以， 所以．因为，，，所以． 知识点五、利用不等式的性质求范围 例1、已知，求的取值范围__________． 【解析】设,则解得故， 由,故，由,故，所以. 故答案为：. 例2．已知，求，的取值范围． 【解析】　因为，所以，. 两式相加，得. 因为，所以， 则. 又α＜β，所以， 则. 练习： 1．已知，，则的取值范围是______. 【解析】∵，∴，∵，∴.故答案为：. 2．已知，，则的取值范围为_________ 【解析】令，则，所以，可得， 故，而，故.故答案为： 3．若，，，则t的取值范围为______． 【解析】设，则，解得．因为，，所以，即．故答案为：. 4．已知，求（1）(2)的取值范围. 【答案】（1）；（2） 5．已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围． 【答案】f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b. 设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.∴∴∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10. 6．已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是________。 【答案】方法一：∵1≤x+y≤3 ① －1≤x－y≤1， ② 由①+②，得到0≤2x≤4 ④ ④×2得到0≤4x≤8 ⑤ 由①－②，得到2≤2y≤2 ⑥ 最后⑤+⑥得到2≤4x+2y≤10 故答案为：[2，10] 方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x－y） 则 解得 即4x+2y=3（x+y）+（x－y） ∵1≤x+y≤3 ∴3≤3（x+y）≤9 ① 又∵－1≤x－y≤1， ② ∴2≤3（x+y）+（x－y）≤10 故答案为：[2，10] 举一反三 1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、(单位：)，这个规定用数学关系式可表示为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可知．故选：D． 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘米)，故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B． 3．某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为(    ) A． B． C． D． 【解析】数学成绩不低于100分表示为，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.故选：D. 4．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是(   ) A． B． C． D． 【解析】由题意知，根据面积公式可以得到.故选:C． 5．2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有(    )个 A．20 B．22 C．24 D．26 【解析】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数， 则由题意得，，，，可得， 所以，，，即至少有个.故选：B. 6．已知，则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，则，所以，所以， 又，所以，所以.故选：D 7．已知，为实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A中，例如，此时满足且，此时，所以A不正确； 对于B中，当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以B不正确； 对于C中，由且，可得，所以，所以C正确； 对于D中，由，因为，可得，但的符号不确定，所以D不正确.故选：C. 8．若，下列不等式中不一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【解析】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确；C：由，知，即，正确； D：由，有，正确；故选：A 9．下列说法中，错误的是(    ) A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对于A，若，则，故A错误. 对于B，由，可知，所以，所以.故B正确. 对于C，，因为， 所以，所以.故C正确. 对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.故选：A. 10．已知，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若，则不成立，若且，此时推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．下列不等式正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 【解析】对于A，当，，时满足，但，所以A错误； 对于B，当，，时，满足，但，所以B错误； 对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；对于D，，所以，故D正确．故选：D． 12．如果，则下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对A，取，则，故A错；对B，取，则，故B错； 对C，取，则，故C错； 对D，由于，所以，，且，则，则，故D正确； 故选：D. 13．下列命题是真命题的为(　　) A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【解析】对于A，若，则，故A是假命题． 对于B，当时，满足，但或不成立，故B是假命题． 对于C，因为，根据不等式的性质得，故C是真命题． 对于D，当时，与没有意义，故D是假命题．故选：C 14．已知,则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】因为,所以,由,得,故选：A 15． (多选)若，，则下列结论正确的有(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，对于A选项，，A对；对于B选项，，B对； 对于C选项，当时，，C错；对于D选项，，则，D对.故选：ABD. 16． (多选)设为正实数，则下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【解析】对于A，由及为正实数， 可知，，则，由，可得，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：AC 17． (多选)下列是假命题的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 【解析】对选项A：当，，时满足，但，错误； 对选项B：当，，时，满足，但，错误； 对选项C：当，，时满足，，但，错误； 对选项D：，所以，正确．故选：ABC 18．下列四个命题中，正确的是(    ) A．若，则 B．若a>b，且，则ab<0 C．若a>b>0，c>0，则 D．若，则 【解析】选项A，例如，，时，成立，但不成立，A错误； 选项B，，，而，因此，B正确；选项C，，，，则，即，C正确； 选项D，，则， ，则，D正确．故选：BCD． 19．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为______. 【解析】每种邮票至少买两套，则有，又因为50元钱买纪念邮票， 所以，故 20．已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是__________． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 【解析】对①，当时，，故①不成立； 对②，若，则，即，则，故②成立； 对③，若，则，则，故③不成立. 对④，若，则且，故，故④成立； 对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立， 对⑥，，故⑥不成立，故②④为真命题. 21．设，比较与的大小 【解析】， ，. 22．已知，，试比较与的大小； 【解析】方法一：由题意 ， 因为，，所以，，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以(当且仅当时取等号). 方法二：由 ，当且仅当时等号成立， 所以(当且仅当时取等号). 23．已知，，分别求，，，的取值范围． 【解析】因为，，所以，即的取值范围是． 由，，得，所以的取值范围是．由，， 得，所以的取值范围是．易知，而则， 所以的取值范围是． 24．已知，且，求证：． 【解析】因为，且，所以，， 要证明原不等式成立，只需证明，即证， 从而只需证明，即， 因为，，所以成立，故原不等式成立． 25．已知，，且满足，则的取值范围是？ 【解析】设，则，解得，所以， 又，所以，又，所以，即. 故的取值范围为. 课 后 作 业 1．集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是（ ） A．, B．, C．, D．, 【解析】从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B． 2． (多选)对于实数，，，正确的命题是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【解析】对选项A，因为，所以，，所以，故A正确； 对选项B，，，所以，因为，所以，即，故B正确；选项C，令，，满足，不满足，.对选项D，因为，， 所以，故D正确.故选：ABD 3．(多选)下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】对于A项，因为，所以且，即：且，故A项正确； 对于B项，运用不等式的性质可知，若，，则正确，故B项正确； 对于C项，当，，，时，满足，，但不满足，故C项错误； 对于D项，因为， 又因为，，所以，，所以，即：，故D项错误.故选：AB. 4．已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是(    ) A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥ 【解析】,,,则，①正确； ，， ，，则，③正确； ，，，则，②④⑤错误， ，，，则 ⑥正确；选D. 5．设x，y为实数，满足，，则的最小值是______. 【解析】设即所以，解得所以 因为，，所以由不等式性质可知 即，当且仅当时取等号，解得.综上可知，的最小值为.故答案为：. 6．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是______. 【解析】由，可得，即；当时，即时，(舍去)； 当时，即时，，满足题意；当时，即时，(舍去)； 同理可知，当或时不合题意，所以实数的取值范围是.故答案为： 7．社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________. 【解析】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则.若，则，可得，则，当时，取最小值，即男学生人数为，则女学生人数的最小值为； 若的值未知，当时，则，不满足题意，当时，则，不合乎题意， 当时，则，此时，，则，合乎题意. 故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.故答案为：；. 8．已知，试比较与的大小，并给出你的证明． 【解析】 证明如下：因为，所以，即 因为，所以，所以，即， 因为，所以，， 即证得 9．比较下列各组数的大小. (1)与，； (2)与. 【解析】(1)， ，且，，.，即. (2) (当且仅当时取等号)，又，，. . 10．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明： （1）若ab＞cd，则； （2）是|a－b|＜|c－d|的充要条件． 【解析】（Ⅰ）因为， 由题设a+b=c+d，ab＞cd得 . 因此. （Ⅱ）（i）若|a－b|＜|c―d|，则(a―b)2＜(c―d)2，即 (a+b)2―4ab＜(c+d)2－4cd. 因为a+b=c+d，所以ab＞cd. 由（Ⅰ）得. （ii）若，则，即 . 因为a+b=c+d，所以ab＞cd.于是 (a―b) 2=(a+b)2―4ab＜(c+d)2―4cd=(c―d)2. 因此 |a―b|＜|c―d|. 综上，是|a―b|＜|c－d|的充要条件. 11．已知 【解析】令∴ ∵∴∴即 20 学科网（北京）股份有限公司 $$