1.2 &1.3 定义与命题&证明（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 1.2&1.3 定义与命题&证明 知识点一 定 义 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 知识点二 命题的定义与结构 1、命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 2、命题只需对事件作出判断，与正确与否无关． 2、命题的结构 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 知识点三 名题的分类 1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题； 2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 3、真假命题的判断 一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 知识点四 基本事实与定理 1、基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2、定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证. （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 知识点五 证明 1、定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2、证明的格式： 证明的基本格式：因为……，所以…… 或 ∵…… ，∴……. 【注意】 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点六 三角形的外角 1、三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补. 2、外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 3、三角形外角的其他结论 （1）三角形的外角和为360°. （2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 知识点七 证明几何命题的一般格式 1、证明的一般顺序和格式： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 2、辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 题型一 命题的定义 解题技巧提炼 命题是判断一件事情的语句，命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 1．（2023秋•敦煌市期末）下列语句是命题的是（　　） A．画一条直线 B．正数都大于零 C．同位角相等吗？ D．明天晴天吗？ 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、画一条直线，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； B、正数都大于零，是命题，符合题意； C、同位角相等吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； D、明天晴天吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题． 2．（2023春•青龙县期末）下列语句是命题的是（　　） A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗 C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．相等的角是对顶角 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、画出两个相等的线段，没有做出判断，不是命题； B、所有的同位角都相等吗，没有做出判断，不是命题； C、延长线段AB到C，使得BC＝BA，没有做出判断，不是命题； D、相等的角是对顶角，是命题． 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题，是解题的关键． 3．（2023秋•万秀区校级月考）下列语句是命题的是（　　） ①两点之间，线段最短；②如果x2＞0，那么x＞0吗？③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；④过直线外一点作已知直线的垂线． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【分析】根据命题的定义分别对四个语句进行判断即可． 【解答】解：①两点之间，线段最短，对问题做出了判断，是命题，符合题意； ②如果x2＞0，那么x＞0吗？是疑问句，不是命题，不符合题意； ③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，对问题做出了判断，是命题，符合题意； ④过直线外一点作已知直线的垂线是描述性句语句，不是命题； 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 4．（2023秋•双牌县期末）下列语句是命题的是（　　） （1）两点之间，线段最短； （2）对顶角相等； （3）请画出两条互相平行的直线； （4）过直线外一点作已知直线的垂线． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：（1）两点之间，线段最短，是命题； （2）对顶角相等，是命题； （3）请画出两条互相平行的直线，没有对事件作出判断，不是命题； （4）过直线外一点作已知直线的垂线，没有对事件作出判断，不是命题； 故选：A． 【点评】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 5．（2023春•原州区校级月考）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是 　 　． 【分析】根据命题的定义：对一件事情作出判断，是陈述句，进行判断即可． 【解答】解：①钝角大于90°、②两点之间，线段最短、⑤同旁内角不互补，两直线不平行，都对事情作出了判断，因此都属于命题； ③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，因此不是命题； ④作AD⊥BC属于作图语言，并未进行判断，因此不是命题， 故答案为：③④． 【点评】本题考查命题的定义：是否对一件事情进行了判断，而且是陈述句． 6．（2025春•晋安区期末）下列语句是命题的有 　 （填序号）． ①两点之间，线段最短．②如果x2＞0，那么x＞0吗？ ③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．④过直线外一点作已知直线的垂线． 【分析】根据命题的定义直接写出答案即可． 【解答】解：①两点之间，线段最短，是命题，符合题意． ②如果x2＞0，那么x＞0吗？没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； ③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题，符合题意； ④过直线外一点作已知直线的垂线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意． 故答案为：①③． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义﹣判断一件事情的句子，难度不大． 题型二 命题的改写 解题技巧提炼 正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 命题改写的原则是不改变原题的原意． 1．（2023春•鄂伦春自治旗期末）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：同角的补角相等．改写成 　 　． 【分析】根据命题的概念解答即可． 【解答】解：命题同角的补角相等写成“如果……，那么……”的形式：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 2．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假． （1）等角的补角相等． （2）垂直于同一直线的两直线平行． 【分析】（1）等角的补角相等的题设为两个角是两相等角的补角，结论为这两个角相等，它为真命题； （2）垂直于同一直线的两直线平行的题设为两条直线都垂直于同一条直线，结论为这两条直线平行；由于没有同一平面的条件，所以它为假命题． 【解答】解：（1）等角的补角相等改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是两相等角的补角，那么这两个角相等．此命题为真命题； （2）垂直于同一直线的两直线平行改写成“如果…那么…”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．此命题为假命题． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 3．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断正误． （1）对顶角相等； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 【分析】（1）根据命题的概念把原命题改写成“如果…那么…”的形式，根据对顶角相等判断真假命题； （2）根据命题的概念把原命题改写成“如果…那么…”的形式，根据等式的性质判断真假命题． 【解答】解：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题； （2）如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式，是真命题． 【点评】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么”的形式． （1）等底等高的两个三角形面积相等． （2）同位角相等，两直线平行． 【分析】先写出命题的条件和结论，然后根据“如果”后面是条件，“那么”后面是结论，把原题改写成“如果……那么”的形式即可． 【解答】解：（1）这个命题的条件是“两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等”，结论是“这两个三角形的面积相等”， 可以改写成“如果两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等，那么这两个三角形的面积相等”； 可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； （2）这个命题的条件是“两条直线被第三条直线所截得的同位角相等”，结论是“两直线平行”， 可以改写成“如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行”． 【点评】本题主要考查了命题的题设与结论，并把命题改成“如果……那么”的形式，熟知如果后面是条件，那么后面是结论是解题的关键． 5．把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式： （1）任意两个钝角都相等； （2）平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据命题有题设和结论两部分组成，把条件写在如果的后面，把结论写在那么的后面即可． 【解答】解：（1）任意两个钝角都相等改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角都是钝角，那么这两个角相等； （2）平行于同一条直线的两条直线平行改写成“如果…那么…”的形式为：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点评】本题考查了命题与定理，是基础题，理清命题的题设与结论是解题的关键． 6．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出它的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数； （3）等角的补角相等． 【分析】把各命题题设放在“如果“后面，结论放在“那么“后面，再判断真假即可． 【解答】解：（1）有理数一定是自然数改写成“如果一个数是有理数，那么它一定是自然数“，题设是“一个数是有理数“，结论是“它一定是自然数“，这个命题是假命题； （2）负数之和仍为负数改写成“如果两个数为负数，那么它们的和也是负数“，题设是“两个数为负数“，结论是“它们的和也是负数“，这个命题是真命题； （3）等角的补角相等改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等“，题设是“两个角相等“，结论是“它们的补角也相等“，这个命题是真命题． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设和结论，并会判断命题真假． 题型三 命题真假的判断 解题技巧提炼 真假命题的判断，一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 1．（2024春•秦淮区期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的两个角是对顶角 B．同位角相等 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据平行线，相交线，绝对值等知识逐项判断即可． 【解答】解：等的两个角不一定是对顶角，故A是假命题，不符合题意； 同位角不一定相等，故B是假命题，不符合题意； 若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故C是假命题，不符合题意； 平行于同一条直线的两条直线平行，故D是真命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线与相交线相关的知识． 2．（2024春•昆山市期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若∠1＝∠2，则∠1与∠2是对顶角 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．如果x2＝y2，那么x＝y 【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、若∠1＝∠2，则∠1与∠2不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，正确，为真命题，符合题意； D、如果x2＝y2，那么x＝±y，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 3．（2024春•岳麓区校级月考）下列命题中， ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ③垂直于同一直线的两直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；真命题的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】利用平行线的性质及判定方法、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题； ③平面内垂直于同一直线的两直线平行，故原命题错误，是假命题； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题； 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 4．（2024春•桦甸市校级月考）下列命题是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．正数大于负数 D．两直线平行，同旁内角相等 【分析】判断一个命题是假命题时可以找到其反例．本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可． 【解答】解：A、对顶角相等，故该命题是真命题，不符合题意； B、如果a＝b，那么a2＝b2，故该命题是真命题，不符合题意； C、正数大于负数，故该命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，故该命题是假命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理，对顶角邻补角，平行线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．（2024春•西华县校级月考）下列命题中，是假命题的是（　　） A．邻补角相等 B．若a＝﹣b，则a2＝b2 C．两点之间，线段最短 D．等角的余角相等 【分析】根据邻补角的性质，乘方的含义，线段的性质，余角的性质逐项判断即可． 【解答】解：因为邻补角不一定相等，所以A是假命题，符合题意； 因为a＝﹣b，所以a2＝b2，所以B是真命题，不符合题意； 两点之间，线段最短是真命题，故C不符合题意； 等角的余角相等是真命题，所以D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了命题与定理，两点之间线段最短，余角和补角，对顶角，邻补角以及有理数的乘方等知识，解题的关键是正确判断命题的真假． 6．（2024春•白塔区校级月考）下列命题中，真命题有（　　） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③两点之间线段最短； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据判断命题真假方法，平行线的性质与判定，两点之间，线段最短，点到直线的距离等等进行判断即可． 【解答】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题； ②两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； ③两点之间线段最短，原命题是真命题； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题． ∴真命题有1个， 故选：A． 【点评】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，两点之间，线段最短，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． 题型四 利用三角形的外角性质求角度 解题技巧提炼 利用三角形外角的性质求角度有时要结合三角形的内角和，即： （1）三角形的内角和是180°. （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 1．（2024春•南岗区校级期中）已知三角形三个内角的比为2：3：4，则这个三角形三个外角的比为（　　） A．2：3：4 B．4：3：2 C．7：6：5 D．5：3：1 【分析】由一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案． 【解答】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为4：3：2， ∴三个内角分别为：180°40°，180°60°， 180°80°， ∴与之对应的三个外角度数分别为：140°，120°，100°， ∴与之对应的三个外角度数之比为：7：6：5． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，理解定理是关键． 2．（2024•寻甸县二模）如图，△ABC的外角∠DAC＝95°，∠B＝55°，则∠C等于（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解． 【解答】解：∵∠DAC＝95°，∠B＝55°， ∴∠C＝∠DAC﹣∠B＝40°． 故选：D． 【点评】本题考查三角形外角的性质，关键是掌握三角形外角的性质． 3．（2024•平遥县二模）在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．75° 【分析】在图中标上∠2，∠3，根据各角的度数，可得知∠2，∠3的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出∠1的度数． 【解答】解：在图中标上∠2，∠3，如图所示． ∵∠2＝30°，∠3＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外角性质以及垂线，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 4．（2024春•徐州期中）如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】根据三角形外角性质得出∠CBD，进而利用角平分线的定义解答即可． 【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠CBD＝50°+60°＝110°， ∵BE为△ABC的外角∠CBD的平分线， ∴∠EBD， 故选：B． 【点评】此题考查三角形外角的性质，关键是根据三角形外角性质得出∠CBD度数解答． 5．（2023春•二道区校级期中）如图，点D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝66°．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC＝∠B+∠BAD，又∠B＝∠BAD，求出∠B的度数； （2）根据三角形内角和定理，直接求出∠C的度数． 【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD， 又∵∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD， ∴； （2）在△ABC中， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣66°＝74°． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，在三角形中求角度的大小时，经常运用它们解题． 6．（2022秋•耿马县期末）如图，在△ABC中，∠A＝38°，∠ABC＝42°，BE平分∠ABC． （1）求∠ACD的度数； （2）若CE平分∠ACD，求∠E的度数． 【分析】（1）根据三角形外角的性质，即可得出答案；根据外角的性质得出∠ECD＝∠E+∠EBC； （2）根据角平分线的定义，得出∠ECD＝40°，再根据角平分线的定义，得出∠EBC＝21°，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠A＝38°，∠ABC＝42°， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝80°； （2）∵由（1）可知：∠ACD＝80°， 又∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝40°， ∵∠ABC＝42°，BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝21°， ∵∠ECD＝∠E+∠EBC， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝40°﹣21°＝19°． 【点评】本题考查了角平分的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 7．（2024春•香坊区校级期中）如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数． （2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，若∠B＝2∠E，∠ECD＝2∠FAC，求∠EAC的度数． 【分析】（1）利用角平分线的意义，及∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACE+∠E两次外角定理即可求解； （2）设∠E＝α，通过外角定理表示出∠DCE＝3α，通过直角三角形的性质表示出，最后由平角的性质建立关于α的方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE， ∵∠DCE＝∠B+∠E，∠B＝35°，∠E＝20°， ∴∠DCE＝35°+20°＝55°， ∴∠ACE＝55°， ∵∠BAC＝∠ACE+∠E， ∴∠BAC＝55°+20°＝75°． （2）∵∠B＝2∠E， ∴设∠E＝α，则∠B＝2α， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE， ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠DCE＝3α， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝3α， ∵∠ECD＝2∠FAC， ∴， ∵AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°， ∴， ∵∠ACF+∠DCE+∠ACE＝180°， ∴， 解得：α＝20°， ∴， ∵∠EAC＝∠B+∠ACF， ∴∠EAC＝60°+40°＝100°． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型． 题型五 利用三角形的外角性质证明角的数量关系 解题技巧提炼 三角形外角的性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 1．（2013春•海淀区校级期末）已知：如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，F是AB上一点，D点在BC的延长线上．试证明∠1＜∠2． 【分析】由三角形的外角性质知∠2＝∠ABC+∠BAC，∠BAC＝∠1+∠AEF，从而得证． 【解答】证明：∵∠2＝∠ABC+∠BAC ∴∠2＞∠BAC ∵∠BAC＝∠1+∠AEF ∴∠BAC＞∠1 ∴∠1＜∠2 【点评】此题主要考查学生对三角形外角性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 2．（2023秋•无棣县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明：． 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠B+∠BAC＝∠ACD，再由角平分线的定义得出∠ECD（∠B+∠BAC），同理可得∠ECD＝∠E+∠B，进而得出结论． 【解答】证明：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠B+∠BAC＝∠ACD， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ECD（∠B+∠BAC）， ∵∠ECD是△BCE的外角， ∴∠ECD＝∠E+∠B， ∴（∠B+∠BAC）＝∠E+∠B， ∴∠E（∠BAC﹣∠B）． 【点评】本题考查三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（2023秋•东港区校级月考）（1）如图，已知∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，求∠BDC的度数． （2）试猜想：∠A，∠B，∠C和∠BDC有什么数量关系？请说明理由． 【分析】（1）连接AD并延长，根据三角形外角的性质分别表示出∠BDE和∠CDE，因为∠BDC是∠BDE和∠CDE的和，从而不难求得∠BDC的度数； （2）由（1）可知∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝（∠BAD+∠B）+（∠CAD+∠C）＝∠B+∠BAC+∠C． 【解答】解：（1）连接AD并延长， ∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C， ∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝（∠BAD+∠B）+（∠CAD+∠C）＝∠B+∠BAC+∠C， ∵∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°， ∴∠BDC＝110°； （2）∠BDC＝∠B+∠BAC+∠C． 由（1）可知：∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝（∠BAD+∠B）+（∠CAD+∠C）＝∠B+∠BAC+∠C． 即：∠BDC＝∠B+∠BAC+∠C． 【点评】此题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 4．（2024春•徐州期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， （1）若∠B＝40°，∠E＝25°，求∠BAC的度数． （2）探究∠BAC，∠B，∠E的关系，并说明理由． 【分析】（1）先根据三角形外角的性质得出∠DCE的度数，再由角平分线的性质得出∠ACD的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先由三角形外角的性质得出∠BAC＝∠E+∠ACE，故可得出∠BAC＝∠E+∠DCE，再由∠DCE＝∠B+∠E即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝25°， ∴∠DCE＝∠B+∠E＝65°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠DCE＝130°， ∴∠ACB＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由： ∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠DCE， ∵∠DCE＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠B+2∠E． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5．（2024春•铁西区期中）如图，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE，DF恰好分别经过点C，B，且点A在直线DF的右侧． （1）若∠A＝51°，∠ACD＝10°，求∠ABD的度数； （2）请直接写出∠ABD，∠ACD与∠A之间存在的数量关系． 【分析】（1）连接AD，延长AD交BC于点M，由∠BDM是△ABD的外角，∠CDM是△ACD的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠BDM＝∠BAD+∠ABD，∠CDM＝∠CAD+∠ACD，将其相加，可得出∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再代入∠BDC＝90°，∠BAC＝51°，∠ACD＝10°，即可求出结论； （2）由（1）可得出∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，代入∠BDC＝90°，变形后即可得出结论． 【解答】解：（1）连接AD，延长AD交BC于点M，如图所示． ∵∠BDM是△ABD的外角，∠CDM是△ACD的外角， ∴∠BDM＝∠BAD+∠ABD，∠CDM＝∠CAD+∠ACD， ∴∠BDM+∠CDM＝∠BAD+∠ABD+∠CAD+∠ACD， 即∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠BAC﹣∠ACD＝90°﹣51°﹣10°＝29°； （2）由（1）可知：∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD， 即90°＝∠A+∠ABD+∠ACD， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A（或其变形）． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 6．（2023春•淄川区期中）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D． （1）判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明； （2）若∠DBC的平分线与△DBC的外角∠DCE的平分线相交于点G（如图2），直接写出∠G与∠A的数量关系． 【分析】（1）根据三角形的外角性质可得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，根据角平分线的性质可得，，即可推得； （2）根据三角形的外角性质可得∠DCE＝∠D+∠DBC，∠GCE＝∠G+∠GBC，根据角平分线的性质可得，，推得，即可推得． 【解答】解：（1）； 证明：在△ABC中，∠ACE＝∠A+∠ABC， 在△DBC中，∠DCE＝∠D+∠DBC， ∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D， ∴，， ∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，， 即， ∴． （2）； 在△DBC中，∠DCE＝∠D+∠DBC， 在△GBC中，∠GCE＝∠G+∠GBC， ∵∠DBC的平分线与∠DCE的平分线相交于点G， ∴，， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC，， 即， 又∵， ∴． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 7．（2023秋•玉门市期末）已知，如图，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，且∠C＝35°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β． （1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠a+35°．请将下列推理过程补充完整： 证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义）， ∴∠CDQ＝∠α+∠C（ 　 　）． ∵PQ∥MN（ 　 　）， ∴∠CDQ＝∠β（ 　 ）． ∴∠β＝　 （等量代换）． ∵∠C＝35°（已知）， ∴∠β＝∠α+35°（等量代换）． （2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题； （2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义）， ∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ∵PQ∥MN（已知）， ∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）． ∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）． ∵∠C＝45°（已知）， ∴∠β＝∠α+45°（等量代换）； 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，已知，两直线平行，同位角相等，∠α+∠C； （2）解：结论：∠α＝∠β+35°． 理由：∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角形外角的定义）， ∴∠CFN＝∠β+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ∵PQ∥MN（已知）， ∴∠CFN＝∠α（两直线平行，同位角相等）， ∴∠α＝∠β+∠C（等量代换）． ∵∠C＝35°（已知）， ∴∠α＝∠β+35°（等量代换）． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 题型六 命题的证明 解题技巧提炼 本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 1．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B；②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE．试回答下列问题： （1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题；（用序号写出命题，例如，如果*，*，那么*） （2）选择（1）中你写出的任一命题，证明其是真命题． 【分析】（1）答案一：如果①，②，那么③；答案二：如果②、③，那么①；答案三：如果①，③，那么 ②； （2）利用平行线的性质和判定可以一一证明； 【解答】解：（1）答案一：如果①，②，那么③； 答案二：如果②、③，那么①； 答案三：如果①，③，那么 ②； （2）答案一：如果①，②，那么 ③： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∵∠A＝∠B， ∴∠BCD＝∠DCE； 答案二：如果②、③，那么 ①： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠DCE， ∴∠A＝∠B； 答案三：如果 ①，③，那么②： ∵∠A+∠B＝180°﹣∠BCA，∠BCE＝180°﹣∠BCA， ∴∠BCE＝∠A+∠B， ∵∠BCD＝∠DCE，∠A＝∠B， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．在学习本课时内容时，老师提出了这样一个问题： 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AC，AB，BC上一点，连接DE，DF．请从①DF∥AB；②DE∥BC；③∠1＝∠2中，选取两个为题设，第三个为结论，组成命题，判断其真假，并证明． 小明的做法如下： 选取①③为题设，②为结论．即：“如果DF∥AB，∠1＝∠2，那么DE∥BC”是一个真命题． 证明：∵DF∥AB（已知）， ∴∠B＝∠2（ 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠B＝∠1（等量代换）． ∴DE∥BC（ 　 　）． （1）帮助小明完成证明； （2）对于小明的选择：“选取①③为题设，②为结论．”你还有其他证明方法吗？仿照小明的证明过程，尝试用新的方法证明； （3）请作出与小明不同的选择，组成新的命题，判断其真假，并证明． 【分析】（1）根据平行线的性质与判定解答即可； （2）根据命题的定义写出命题即可； （3）根据命题的定义写出命题即可． 【解答】解：（1）两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行； （2）选取②③为题设，①为结论．即：“如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么DF∥AB”是一个真命题． 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠B＝∠1， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠B＝∠2（等量代换）． ∴DF∥AB； （3）选取①②为题设，③为结论．即：“如果DE∥BC，DF∥AB，那么∠1＝∠2”是一个真命题． 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠B＝∠1， ∵DF∥AB（已知）， ∴∠B＝∠2， ∴∠1＝∠2． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键． 3．（2023秋•冷水滩区校级月考）如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA， 求证：EF平分∠BED． 证明：∵AC∥DE， ∴∠BCA＝∠BED， 即∠1+∠2＝∠4+∠5， ∵DC∥EF， ∴∠2＝∠5， ∵CD平分∠BCA， ∴∠1＝∠2， ∴∠4＝∠5， ∴EF平分∠BED． 【点评】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 4．如图，有三个论断：①∠AME＝∠CNF；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C．请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的真假． 【分析】根据题意选取两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定定理和性质定理判断即可． 【解答】解：条件：①∠AME＝∠CNF；②∠B＝∠D（答案不唯一）． 结论：③∠A＝∠C． 证明：∵∠AME＝∠CNF，∠AME＝∠CMD， ∴∠CMD＝∠CNF， ∴BF∥ED， ∴∠BFC＝∠D， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠BFC， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠C． 【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．如图，直线AB，CD，BE，CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明． ①AB⊥BC，CD⊥BC；②BE∥CF；③∠ABE＝∠DCF． 【分析】可以由①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC得到AB∥CD，利用平行线的性质得到∠ABC＝∠DCB，又BE∥CF，则∠EBC＝∠FCB，可得到∠ABC﹣∠EBC＝∠DCB﹣∠FCB，即有∠ABE＝∠DCF．或者由①③得到②，都是真命题；但是由②③不能得到①，是假命题． 【解答】已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF． 求证：∠ABE＝∠DCF． 证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCB， 又∵BE∥CF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∴∠ABC﹣∠EBC＝∠DCB﹣∠FCB， ∴∠ABE＝∠DCF． 已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，∠ABE＝∠DCF． 求证：BE∥CF． 证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵∠ABE＝∠DCF， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DCB﹣∠DCF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∵BE∥CF． 已知：如图，BE∥CF，∠ABE＝∠DCF． 求证：AB⊥BC、CD⊥BC， 证明：∵BE∥CF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∵∠ABE＝∠DCF， ∴∠EBC+∠ABE＝∠FCB+∠DCF， ∴∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD， 但是AB⊥BC、CD⊥BC不一定成立，所以此命题是假命题， 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了平行线的性质． 6．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°． （1）图1中：∠DEF＝　 　，图2中：∠DEF＝　 ； （2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题． 【分析】（1）图1，根据平行线的性质，由AB∥DE得到∠B＝∠DGC＝45°，再由BC∥EF得∠DEF＝∠DGC＝45°； 图2，根据平行线的性质，由AB∥DE得∠B＝∠BGE＝45°，再由BC∥EF得∠DEF+∠BGE＝180°，所以∠DEF＝135°； （2）由（1）的计算结果易得∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，这个结论可归纳为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【解答】解：（1）图1，∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DGC＝45°， ∵BC∥EF， ∴∠DEF＝∠DGC＝45°； 图2， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠BGE＝45°， ∵BC∥EF， ∴∠DEF+∠BGE＝180°， ∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°； 故答案为45°，135°； （2）∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补， 结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 1.2&1.3 定义与命题&证明 知识点一 定 义 定义的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 【注意】定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语． 知识点二 命题的定义与结构 1、命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 2、命题只需对事件作出判断，与正确与否无关． 2、命题的结构 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 知识点三 名题的分类 1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题； 2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 3、真假命题的判断 一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 知识点四 基本事实与定理 1、基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2、定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证. （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 知识点五 证明 1、定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2、证明的格式： 证明的基本格式：因为……，所以…… 或 ∵…… ，∴……. 【注意】 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点六 三角形的外角 1、三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补. 2、外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 3、三角形外角的其他结论 （1）三角形的外角和为360°. （2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 知识点七 证明几何命题的一般格式 1、证明的一般顺序和格式： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. 2、辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 题型一 命题的定义 解题技巧提炼 命题是判断一件事情的语句，命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可. 1．（2023秋•敦煌市期末）下列语句是命题的是（　　） A．画一条直线 B．正数都大于零 C．同位角相等吗？ D．明天晴天吗？ 2．（2023春•青龙县期末）下列语句是命题的是（　　） A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗 C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．相等的角是对顶角 3．（2023秋•万秀区校级月考）下列语句是命题的是（　　） ①两点之间，线段最短；②如果x2＞0，那么x＞0吗？③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；④过直线外一点作已知直线的垂线． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 4．（2023秋•双牌县期末）下列语句是命题的是（　　） （1）两点之间，线段最短； （2）对顶角相等； （3）请画出两条互相平行的直线； （4）过直线外一点作已知直线的垂线． A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 5．（2023春•原州区校级月考）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是 　 　． 6．（2025春•晋安区期末）下列语句是命题的有 　 （填序号）． ①两点之间，线段最短．②如果x2＞0，那么x＞0吗？ ③如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．④过直线外一点作已知直线的垂线． 题型二 命题的改写 解题技巧提炼 正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 命题改写的原则是不改变原题的原意． 1．（2023春•鄂伦春自治旗期末）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：同角的补角相等．改写成 　 　． 2．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假． （1）等角的补角相等． （2）垂直于同一直线的两直线平行． 3．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并判断正误． （1）对顶角相等； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 4．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么”的形式． （1）等底等高的两个三角形面积相等． （2）同位角相等，两直线平行． 5．把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式： （1）任意两个钝角都相等； （2）平行于同一条直线的两条直线平行． 6．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出它的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数； （3）等角的补角相等． 题型三 命题真假的判断 解题技巧提炼 真假命题的判断，一般地，条件成立时结论也成立的命题是真命题，而条件成立时，结论不一定成立的命题是假命题. 1．（2024春•秦淮区期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的两个角是对顶角 B．同位角相等 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．（2024春•昆山市期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若∠1＝∠2，则∠1与∠2是对顶角 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．如果x2＝y2，那么x＝y 3．（2024春•岳麓区校级月考）下列命题中， ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ③垂直于同一直线的两直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；真命题的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024春•桦甸市校级月考）下列命题是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．正数大于负数 D．两直线平行，同旁内角相等 5．（2024春•西华县校级月考）下列命题中，是假命题的是（　　） A．邻补角相等 B．若a＝﹣b，则a2＝b2 C．两点之间，线段最短 D．等角的余角相等 6．（2024春•白塔区校级月考）下列命题中，真命题有（　　） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③两点之间线段最短； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 利用三角形的外角性质求角度 解题技巧提炼 利用三角形外角的性质求角度有时要结合三角形的内角和，即： （1）三角形的内角和是180°. （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 1．（2024春•南岗区校级期中）已知三角形三个内角的比为2：3：4，则这个三角形三个外角的比为（　　） A．2：3：4 B．4：3：2 C．7：6：5 D．5：3：1 2．（2024•寻甸县二模）如图，△ABC的外角∠DAC＝95°，∠B＝55°，则∠C等于（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 3．（2024•平遥县二模）在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．75° 4．（2024春•徐州期中）如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 5．（2023春•二道区校级期中）如图，点D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝66°．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 6．（2022秋•耿马县期末）如图，在△ABC中，∠A＝38°，∠ABC＝42°，BE平分∠ABC． （1）求∠ACD的度数； （2）若CE平分∠ACD，求∠E的度数． 7．（2024春•香坊区校级期中）如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数． （2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，若∠B＝2∠E，∠ECD＝2∠FAC，求∠EAC的度数． 题型五 利用三角形的外角性质证明角的数量关系 解题技巧提炼 三角形外角的性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 1．（2013春•海淀区校级期末）已知：如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，F是AB上一点，D点在BC的延长线上．试证明∠1＜∠2． 2．（2023秋•无棣县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．试说明：． 3．（2023秋•东港区校级月考）（1）如图，已知∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，求∠BDC的度数． （2）试猜想：∠A，∠B，∠C和∠BDC有什么数量关系？请说明理由． 4．（2024春•徐州期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， （1）若∠B＝40°，∠E＝25°，求∠BAC的度数． （2）探究∠BAC，∠B，∠E的关系，并说明理由． 5．（2024春•铁西区期中）如图，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE，DF恰好分别经过点C，B，且点A在直线DF的右侧． （1）若∠A＝51°，∠ACD＝10°，求∠ABD的度数； （2）请直接写出∠ABD，∠ACD与∠A之间存在的数量关系． 6．（2023春•淄川区期中）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D． （1）判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明； （2）若∠DBC的平分线与△DBC的外角∠DCE的平分线相交于点G（如图2），直接写出∠G与∠A的数量关系． 7．（2023秋•玉门市期末）已知，如图，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，且∠C＝35°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β． （1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠a+35°．请将下列推理过程补充完整： 证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义）， ∴∠CDQ＝∠α+∠C（ 　 　）． ∵PQ∥MN（ 　 　）， ∴∠CDQ＝∠β（ 　 ）． ∴∠β＝　 （等量代换）． ∵∠C＝35°（已知）， ∴∠β＝∠α+35°（等量代换）． （2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由． 题型六 命题的证明 解题技巧提炼 本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 1．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B；②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE．试回答下列问题： （1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题；（用序号写出命题，例如，如果*，*，那么*） （2）选择（1）中你写出的任一命题，证明其是真命题． 2．在学习本课时内容时，老师提出了这样一个问题： 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AC，AB，BC上一点，连接DE，DF．请从①DF∥AB；②DE∥BC；③∠1＝∠2中，选取两个为题设，第三个为结论，组成命题，判断其真假，并证明． 小明的做法如下： 选取①③为题设，②为结论．即：“如果DF∥AB，∠1＝∠2，那么DE∥BC”是一个真命题． 证明：∵DF∥AB（已知）， ∴∠B＝∠2（ 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠B＝∠1（等量代换）． ∴DE∥BC（ 　 　）． （1）帮助小明完成证明； （2）对于小明的选择：“选取①③为题设，②为结论．”你还有其他证明方法吗？仿照小明的证明过程，尝试用新的方法证明； （3）请作出与小明不同的选择，组成新的命题，判断其真假，并证明． 3．（2023秋•冷水滩区校级月考）如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 4．如图，有三个论断：①∠AME＝∠CNF；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C．请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的真假． 5．如图，直线AB，CD，BE，CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明． ①AB⊥BC，CD⊥BC；②BE∥CF；③∠ABE＝∠DCF． 6．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°． （1）图1中：∠DEF＝　 　，图2中：∠DEF＝　 ； （2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$