第03讲 证明 （1个知识点+1种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03讲 证明 （1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点.推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式 【例1】小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是　　 A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英 C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明 【变式1】最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水　　 A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【变式2】有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是 　　． 【变式3】破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是 　　． 【变式4】三个口袋里，一个口袋装有两个红球，一个口袋装有两个白球，一个口袋装一红一白两个球，但口袋外面贴的标签都是错的．现在请你从其中一个口袋里取出一个球，使你能根据这个球的颜色判断出这三个口袋里球的颜色．写出你的过程和结论． 经典题型汇编 题型.证明 1．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分∠FEB，∠1＝50°，则∠2的度数是(     ) A．50° B．60° C．70° D．80° 2．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 3．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A＝ ． 4．完成下面的证明过程． 已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD． 证明：∵∠1和∠D互余(已知)， ∴∠1＋∠D＝90°(_____________)． ∵∠C和∠D互余(已知)， 　　∴∠C＋∠D＝90°(_____________)， ∴∠1＝∠C(__________________)， ∴AB∥CD(________________________)． 5．如图，CD⊥AB于点D，GF⊥AB于点F，∠B＝∠ADE.请你判断∠1与∠2的关系，并证明你的结论． 练习试卷 一、单选题 1．在第届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（　　） A．B B．C C．D D．E 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为( ) A．110° B．70° C．130° D．不能确定 3．A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是（ ） A．A B．B C．C D．D 4．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ） A．1个 B．2个 C．50个 D．100个 5．A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系为( ) A．∠1＋∠2＝∠4－∠3 B．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 C．∠1－∠2＝∠4－∠3 D．∠1－∠2＝∠3－∠4 7．如图，下面的推理正确的是( ) A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC 8．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 9．下列推理正确的是(  ) A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90° B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2 C．∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角 D．∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角 10．下列推理中，错误的是(  ) A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 二、填空题 11．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ． ①只有一个号码正确且位置正确 ②只有两个号码正确且位置都不正确 ③三个号码都不正确 12．小明同学连续观察了太原市2014年8月份某几天的天气情况，他的观察结果是：①共有5个下午是晴天；②共有7个上午是晴天；③共有8个半天是雨天；④下午下雨的那天上午是晴天，则该学生观察的天数为 . 13．如图，是一副三角板叠放的示意图，则∠α= ． 14．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有 对. 15．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示,,组合连接:a⊕b,a⊕d,d⊕c是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 ． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线与外角∠BAD的平分线的反向延长线交于点F，则∠F＝ ． 17．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是 .(只填序号) 18．用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 三、解答题 19．如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由． 20．已知：如图，，求证：． 21．已知：如图，在中，分别是上的点，且．求证：． 22．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：． 23．已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：． 证明：∵、是的两条高线（　　）， （　　） （　　）， ． ． 24．证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 25．已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：． 证明：∵（　　）， ∴___________（　　） ∴___________（　　） ∴（已知）， ∴（　　） ∴， ∴（　　） 26．推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 证明 （1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点.推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式 【例1】小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是　　 A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英 C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明 【分析】由题干中前两个条件可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的，再结合第三个条件，进而可出结论． 【解答】解：设小英的得分为，小亮的得分为，小明的得分为，小华的得分为， 小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和， ， ① 小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和， ②， 把①代入②，可得：， ， 又， ， 小华的得分超过小明与小亮的得分和， ，即， ， 即四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明． 故选：． 【点评】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论． 【变式1】最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水　　 A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯左侧几个杯子，再去观察3号杯的两个出口即可得出答案． 【解答】解：号杯左侧出口比右侧低， 水先从左边流出，进入3号杯， 号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭， 水最终会先灌满3号杯， 故选：． 【点评】本题主要考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 【变式2】有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是 　127　． 【分析】先根据第一个数字不是7，得出第一个数字是1或2，再根据1和2相邻，进而得出第三个是7，即可得出结论． 【解答】解：三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7， 第一个数为1或2， 和2的位置相邻， 前两个数字是1，2或2，1，第三位是数字7， 中间的数字不是1， 第一个数字只能是1，第二个数字为2， 即密码为127， 故答案为127． 【点评】此题主要考查了推理与论证，判断出第三个数是7是解本题的关键． 【变式3】破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是 　798　． 【分析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密码中必有9，即可得出结论． 【解答】解：密码532，三个号码都不正确， 密码中没有数字：2，3，5， 密码257只有一个号码正确但位置不正确， 密码中必有数字7，并且不能在个位， 密码876只有两个号码正确，但位置都不正确， 密码7不能再十位，密码中8，6只有一个正确， 密码中的7只能在百位， 密码628中只有一个号码正确且位置正确， 密码中必有数字8，且在个位， 密码619中只有一个号码正确当位置不正确， 密码中只有数字9，且在十位， 正确的密码为798， 故答案为：798． 【点评】此题是推理与论证题目，判断出密码中必有数字7且在百位上是解本题的关键． 【变式4】三个口袋里，一个口袋装有两个红球，一个口袋装有两个白球，一个口袋装一红一白两个球，但口袋外面贴的标签都是错的．现在请你从其中一个口袋里取出一个球，使你能根据这个球的颜色判断出这三个口袋里球的颜色．写出你的过程和结论． 【分析】分别根据从贴有一红一白标签的口袋里取出一球，如果是白球，则由题设可推出这个口袋里的球是两个白球，贴红标签的口袋里必是一红一白，进而得出答案． 【解答】解：从贴有一红一白标签的口袋里取出一球，如果是白球， 则由题设可推出这个口袋里的球是两个白球，贴红标签的口袋里必是一红一白， 否则，若是两红，就与标签贴错矛盾，而贴两白标签的口袋里必是两个红球． 如果取出的是红球，类似可以判断． 【点评】此题主要考查了推论与论证，根据已知从贴有一红一白标签的口袋里取出一球分析得出是解题关键． 经典题型汇编 题型.证明 1．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分∠FEB，∠1＝50°，则∠2的度数是(     ) A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】根据角平分线定义求出∠BEF，根据平行线的性质，得出∠2+∠BEF=180°，代入求出∠2即可． 【详解】∵EG平分∠FEB，∠1=50°， ∴∠BEF=2∠1=100°， ∵AB∥CD， ∴∠2+∠BEF=180°， ∴∠2=80°， 故答案为80°． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质的应用，能得出∠2+∠BEF=180°是解此题的关键，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 2．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件． 【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾； 2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； ∴做好事的是小陈， 故选B． 【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法． 3．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A＝ ． 【答案】30° 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】∵∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-90°=30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，熟记定理并准确计算是解题的关键． 4．完成下面的证明过程． 已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD． 证明：∵∠1和∠D互余(已知)， ∴∠1＋∠D＝90°(_____________)． ∵∠C和∠D互余(已知)， 　　∴∠C＋∠D＝90°(_____________)， ∴∠1＝∠C(__________________)， ∴AB∥CD(________________________)． 【答案】互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【分析】因为∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．得出∠C=∠1，从而证得AB∥CD． 【详解】证明：∵∠1和∠D互余(已知)， ∴∠1＋∠D＝90°(互余的定义)． ∵∠C和∠D互余(已知)， ∴∠C＋∠D＝90°(_互余的定义)， ∴∠1＝∠C(同角的余角相等)， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． 【点睛】此题考查的知识点是平行线的判定，同角的余角相等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．如图，CD⊥AB于点D，GF⊥AB于点F，∠B＝∠ADE.请你判断∠1与∠2的关系，并证明你的结论． 【答案】∠1＝∠2，证明详见解析. 【分析】由CD⊥AB，GF⊥AB，根据平行线的判定方法得CD∥GF，再根据平行线的性质得∠2=∠BCD；由∠B=∠ADE，根据同位角相等，两直线平行得DE∥BC，则利用平行线的性质得∠1=∠BCD，然后利用等量代换即可得到∠1=∠2． 【详解】解：∠1＝∠2. 证明：∵∠B＝∠ADE，∴DE∥BC， ∴∠1＝∠DCB. 又∵CD⊥AB，GF⊥AB， ∴CD∥FG， ∴∠2＝∠DCB，∴∠1＝∠2 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 练习试卷 一、单选题 1．在第届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（　　） A．B B．C C．D D．E 【答案】D 【分析】教练说：你们中只有一人说对了，根据，相互矛盾，由此即可求解． 【详解】解：说：是，说：说错了，教练说：你们中只有一人说对了， ∴和的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假； ∴和，说得都是假话， ∴只有说对了， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的逻辑推理，理解题目中教练，和的说法进行推导是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为( ) A．110° B．70° C．130° D．不能确定 【答案】A 【详解】如图，延长CP交AB于点D，由三角形外角的性质可得：∠CPB=∠CDB+∠PBD， ∠CDB=∠1+∠A， ∴∠CPB=∠1+∠A+∠PBD， 又∵∠1=∠2， ∴∠CPB=∠2+∠A+∠PBD=∠A+∠ABC， 又∵∠A+∠ABC=180°-∠ACB=180°-70°=110°， ∴∠CPB=110°. 故选A. 3．A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是（ ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】试题分析：运用反证法的方法先分别假设A说的是实话、B说的是实话、C说的是实话，D说的是实话，然后推理都得出与题设相矛盾的结论，即可得到说实话的人． 解：假设A说的是实话，“是C或D打碎的”，则C、D中有一个说了实话，一个说了谎话，所以B说的就是实话，打碎玻璃的是D，C说的也是实话，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设B说的是实话，则D说的也就是谎话，A、C说的也是实话，所以打碎玻璃的是D，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设C说的是实话，则A、B、D中有一人撒谎，若D说的是实话，则A、B两人都撒谎，所以不符合只有一人说谎，所以D说谎，故打碎玻璃的是D； 假设D说的是实话，则B说谎，所以C也说了实话，所以打碎玻璃的应是A或B，所以A也说谎，与只有一个人说了谎话矛盾，所以D说谎故都是玻璃的是D． 故选D． 点评：本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证． 4．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ） A．1个 B．2个 C．50个 D．100个 【答案】D 【详解】试题分析：因为求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，我们可把这一百个小伙子用A1～A100来表示，然后根据体重和身高两个条件找出答案． 解：先退到两个小伙子的情形，如果 甲的身高数＞乙的身高数，且 乙的体重数＞甲的体重数 可知棒小伙子最多有2人． 再考虑三个小伙子的情形，如果 甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且 丙的体重数＞乙的体重数＞甲的体重数 可知棒小伙子最多有3人． 这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象． 由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai，（i=1，2，…，100），其身高数为xi，体重数为yi，当 y100＞y99＞…＞yi＞yi﹣1＞…＞y1且 x1＞x2＞…＞xi＞xi+1＞…＞x100时， 由身高看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A100； 由体重看，Ai不亚于Ai﹣1，Ai﹣2，…，A1 所以，Ai不亚于其他99人（i=1，2，…，100） 所以，Ai为棒小伙子（i=1，2，…，100） 因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 100个． 故选D． 点评：本题考查推理和论证，关键注意本题有身高和体重两种情况，少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解． 5．A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先利用已知得出A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，进而得出B队只能和C、D、E中的两个队比赛，再利用D队只赛过一场，得出B队必须和C、E各赛1场，即可得出E队赛过2场． 【详解】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场， 已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛， 又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场）， 所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场． 故选B． 【点睛】此题主要考查了推理论证，利用A队比赛场数得出B队、D队比赛过的对应球队是解题关键． 6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系为( ) A．∠1＋∠2＝∠4－∠3 B．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 C．∠1－∠2＝∠4－∠3 D．∠1－∠2＝∠3－∠4 【答案】A 【详解】如下图，由三角形外角的性质可得：∠5=∠2+∠3，∠4=∠1+∠5， ∴∠4=∠1+∠2+∠3， ∠1+∠2=∠4-∠3. 故选A. 7．如图，下面的推理正确的是( ) A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC 【答案】D 【详解】选项A，因∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，选项A错误；选项B，因∠ABC＋∠BCD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD，选项B错误；选项C，因AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠2，选项C错误；选项D，因∠ABC＋∠DAB＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，选项D正确；故选D. 8．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【答案】C 【详解】试题分析：由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．故第二局输者是丙． 解：由题意，知：三场比赛的对阵情况为： 第一场：甲VS乙，丙当裁判； 第二场：乙VS丙，甲当裁判； 第三场：甲VS乙，丙当裁判； 第四场：甲VS丙，乙当裁判； 第五场：乙VS甲，丙当裁判； 由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙． 故选：C． 点评：本题考查了推理与论证，解决本题的关键是推断出每场比赛的双方． 9．下列推理正确的是(  ) A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90° B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2 C．∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角 D．∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角 【答案】B 【分析】根据对顶角，同位角的概念和等量代换等知识点逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，不能推出∠1＋∠3＝90°，故本选项错误； B. ∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2（等量代换），故本选项正确； C. ∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角，由对顶角的概念可知本选项错误； D. ∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角，由同位角的概念可知本选项错误； 故选B 【点睛】本题考查了等量代换、对顶角，同位角的概念，准确掌握各种概念和性质是关键． 10．下列推理中，错误的是(  ) A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 【答案】A 【分析】根据相关的定义或定理判断． 【详解】解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误； B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故B选项正确； C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确； D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF，易知D选项正确； 综上所述，答案选A． 【点睛】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用． 二、填空题 11．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ． ①只有一个号码正确且位置正确 ②只有两个号码正确且位置都不正确 ③三个号码都不正确 【答案】520 【分析】根据题意分析分析推理即可，由①结合③可以确定第三位数字为0，由②，③可以确定前两个数为5,2，据此分析即可． 【详解】根据①，③可知正确的号码是0，位置是第三位，由②，③可知正确的号码是5,2，位置分别为第一位和第二位，所以正确的密码是520． 【点睛】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键． 12．小明同学连续观察了太原市2014年8月份某几天的天气情况，他的观察结果是：①共有5个下午是晴天；②共有7个上午是晴天；③共有8个半天是雨天；④下午下雨的那天上午是晴天，则该学生观察的天数为 . 【答案】10天 【详解】试题分析：他们每天上午、下午各测一次，七次上午晴，五次下午晴，共下八次雨，所以共测了20次，所以这个学生工观察了10天． 解：由题意，知：这位学生每天测两次，总共测的次数为7+5+8=20； 因此x=20÷2=10（天）． 故答案为10． 点评：此题主要考查了推理论证，解决本题的关键是得到学生观察天气的规律：每天上午、下午各测一次． 13．如图，是一副三角板叠放的示意图，则∠α= ． 【答案】75° 【详解】如图，由已知可得∠1=45°，∴由三角形外角的性质可得：∠2=45°+30°=75°， 又∵∠=∠2， ∴∠=75°. 14．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有 对. 【答案】2 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行）推出即可． 【详解】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB， ∴∠EFA=∠CDA=90°， ∴EF∥CD， ∴∠1=∠EDC， ∵∠1=∠2， ∴∠EDC=∠2， ∴DE∥BC， 即图中互相平行的直线有2对， 故答案为2． 【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力． 15．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示,,组合连接:a⊕b,a⊕d,d⊕c是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 ． 【答案】b⊕c 【详解】结合前两个图可以看出a代表正方形；结合后两个图可以看出d代表圆；所以b代表线段，c代表三角形，即可得图形的连接方式为b⊕c. 点睛：本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线与外角∠BAD的平分线的反向延长线交于点F，则∠F＝ ． 【答案】45°/45度 【详解】如图，AE平分∠DAB，BF平分∠ABC， ∴∠DAB=2∠1，∠ABC=2∠1. ∵∠DAB=∠C+∠ABC=90°+∠ABC，∠1=∠F+∠2， ∴2∠1=90°+2∠2， ∴=90°+2∠2， ∴∠F=45°. 故答案为：45° 17．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是 .(只填序号) 【答案】①②⑤ 【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可 【详解】解：①∵∠1=∠B，∴AB//CD，故本小题正确； ②∵∠2=∠5，∴AB//CD，故本小题正确； ③∵∠3=∠4，∴AD//BC，故本小题错误； ④∵∠1=∠D，∴AD//BC，故本小题错误； ⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，故本小题正确． 故答案为①②⑤． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键． 18．用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 【答案】、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 【详解】解：假设所求证的结论不成立， 即． 过点A作直线，使与所成的与相等，则， 所以直线与直线不重合． 但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立． 所求证的结论成立， 故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是记住反证法的步骤：否定结论，得出矛盾，肯定结论． 三、解答题 19．如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由． 【答案】AE∥DC，理由详见解析. 【分析】判断两直线的位置关系，通过角与角的数量关系，从而证明直线平行 【详解】解：AE∥DC.理由： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠AED， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AED， ∴AE∥DC 【点睛】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 20．已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出． 【详解】证明：过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行． 21．已知：如图，在中，分别是上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，得出，继而根据平行线的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行的性质与判定是解题的关键． 22．已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用三角形外角的性质求出是解题的关键． 23．已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：． 证明：∵、是的两条高线（　　）， （　　） （　　）， ． ． 【答案】已知；三角形高的定义；三角形外角的性质 【分析】根据三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质得到，则． 【详解】证明：∵、是的两条高线（已知）， ∴（三角形高的定义） ∵（三角形外角的性质）， ∴． ∴， 故答案为：已知；三角形高的定义；三角形外角的性质． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键． 24．证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 【答案】见解析 【分析】利用三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，即可证明． 【详解】已知：如图，是的三个外角； 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 【点睛】本题主要考查了证明命题，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质是解题的关键． 25．已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：． 证明：∵（　　）， ∴___________（　　） ∴___________（　　） ∴（已知）， ∴（　　） ∴， ∴（　　） 【答案】已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义 【分析】先证明得到，根据垂直的定义得到，则，即可证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴（垂直的定义） ∴， ∴（垂直的定义）， 故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 26．推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程． 【答案】甲戴的是白帽子，理由见解析 【分析】如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子，如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子． 【详解】解：甲戴的是白帽子．理由如下： 因为丙说不知道，说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子（如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子）． 因为乙也说不知道，说明甲戴的是白帽子（如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子）． 【点睛】本题主要考查了论证与推理的一些基础知识，能够找出题中的内在联系，从而求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$