精品解析：江苏省连云港市2023-2024学年高二下学期6月期末调研数学试题

2023~2024学年第二学期期末调研考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 定义：集合且.若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 由这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（ ） A. 360 B. 480 C. 600 D. 720 4. 已知正方体的棱长为分别是和的中点.则两条平行线和间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. 160 7. 设甲袋中有3个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一个密闭的长方体盒子高为4，底面是边长为2的正方形，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直 B. 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直 C. 如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行 D. 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行 10. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 重新求得的回归直线必过点 D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05 11. 已知一个几何体是由正四棱锥和正四面体组合而成，且，则（ ） A. 该几何体的体积是 B. 二面角的余弦值是 C. 该几何体是七面体 D. 平面平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布（试卷满分为120分）.统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为__________. 13. 在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种. 14. 用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆__________kg.（精确到） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的最大值； （2）讨论函数的单调性. 16. 已知数列满足：是等差数列，，. （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下列联表： 预防药品 感染 未感染 未使用 40 10 使用 30 20 （1）根据表格中的数据，能否有的把握认为预防药品对预防甲流有效果？ （2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗.已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为，对使用过预防药品的动物的治愈率为，求该动物被治愈的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年第二学期期末调研考试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 定义：集合且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意计算即可. 【详解】由定义得. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法加法运算可解. 【详解】. 故选：B 3. 由这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（ ） A. 360 B. 480 C. 600 D. 720 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理直接计算求解即可. 【详解】由题意得第一位上不得为0，故有6种选择， 第二位上减去第一位上使用过的数字共有6种选择，同理第三位上有5种选择， 第四位上有4种选择，故由分步乘法计数原理得共可以组成个无重复数字的四位数， 故选：D 4. 已知正方体的棱长为分别是和的中点.则两条平行线和间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质可证得，，由此可知所求距离为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】连接，分别与交于点，， ，平面，平面，又平面， ； 四边形为正方形，， 又平面，，平面， 平面，； 又，，， 和间的距离即为的长； ，，， 即和间的距离为. 故选：C. 5. 已知，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由可得， 则，即得，故， 则， 故， 由于，故， 故选：C. 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为，求出通项，令的指数为零，求出的值，再代入通项计算即可. 【详解】因为，展开式的通项为， 令，得， 所以的展开式中的常数项为， 所以即的展开式中的常数项为. 故选：C. 7. 设甲袋中有3个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况，若第一次交换时从乙袋中拿到红球，则第二次交换时从甲袋中也拿到红球；若第一次交换时从乙袋中拿到的是白球，则第二次交换时，从乙袋中拿到的仍然是白球，利用独立事件乘法公式计算，再相加即可. 【详解】分两种情况， 若第一次交换时从乙袋中拿到红球，则第二次交换时从甲袋中也拿到红球，其概率为， 若第一次交换时从乙袋中拿到的是白球，则第二次交换时，从乙袋中拿到的仍然是白球，其概率为， 故这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为. 故选：A. 8. 一个密闭的长方体盒子高为4，底面是边长为2的正方形，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间想象得出小球不能达到的空间，利用空间几何体的体积公式计算即可. 【详解】小球在长方体盒子自由滚动当与长方体三面相切时， 即在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内， 不能达到的空间为， 此后当小球移动时与长方体的侧面两面相切， 其不能达到的空间为以长方体的侧棱中间长为2的棱为棱柱减去底面半径为1的圆柱的四分之一体积 （这样的空间有四个），体积为， 故小球达不到的空间体积为：. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直 B. 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直 C. 如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行 D. 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由线面平行可得平面内有直线和这条直线平行，由线面垂直可知在原来平面内的直线也存在这个平面，即得到两个平面互相垂直；对于B，在平面内作直线，使得，过作平面，使得，则有,则，所以；对于C，三点共线时,这两个平面不一定平行；对于D，也有可能直线与平面相交； 【详解】对于A，如果一个平面与另一个平面的垂线平行，设两个平面为，两条直线为，如果 ，则有，进而，所以有，故A正确； 对于B，如果一个平面与另一个平面的垂面平行，有三个平面为，设，在平面内作直线，使得， 则，过直线作平面，使得，则有,则，因为，所以，故B正确； 对于C，如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，当这三点在一条直线上时,这两个平面不一定平行, 故C错误； 对于D，当直线上的两点位于平面的同侧时，可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直线与平面相交，故D错误. 故选：AB. 10. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 重新求得的回归直线必过点 D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用重新求得的回归方程的斜率为1.2，即可判断选项；利用样本中心在回归直线上，求出，由此进行分析求出，从而得到去除后的回归方程，即可判断选项；利用回归方程求出去掉前的样本中心，分别去掉的两个数的平均数，即可判断选项C；求出，然后作差即可判断选项． 【详解】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确； 对C,将代入回归直线方程为，解得， 则样本中心为，去掉两个数据点和后， 由于， 所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是， 故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确； 对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2， 所以，解得， 所以去除后的回归方程为，故选项不正确； 对D,因为， 所以，故选项正确． 故选：． 11. 已知一个几何体是由正四棱锥和正四面体组合而成，且，则（ ） A. 该几何体的体积是 B. 二面角的余弦值是 C. 该几何体是七面体 D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据锥体体积公式计算；B选项，根据二面角平面角的定义得到为二面角的平面角，然后求余弦值即可；C选项，根据二面角与二面角互补得到平面与平面为同一个平面，即可得到该几何体为五面体；D选，利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】 如图，连接、，与交于点，过点作平面于点，连接， 由题意得正四棱锥和正四面体的棱长为2，则，， ，， 所以该几何体的体积=，故A正确； 取中点，连接， 因为点为中点，所以，， 因为平面平面，所以为二面角的平面角， ，，， 所以二面角的余弦值为，故B正确； 由图易知，二面角的平面角为， ，， 因为，所以二面角与二面角互补， 所以平面与平面为同一个平面，同理平面与平面为同一个平面，故该几何体为5个面，故C错； 因为，所以四边形为菱形，所以， 因为为正四棱锥，所以， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布（试卷满分为120分）.统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】利用正态分布相关知识进行求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以，所以成绩不低于90分的学生人数为. 故答案为：20. 13. 在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种. 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意，前3次有两次是不合格品，一次是合格品，由分步计数原理得到所求结果. 【详解】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品， 前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能， 前3次测试中的顺序有种可能， 由分步计数原理即得共有种可能. 故答案为：90 14. 用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆__________kg.（精确到） 【答案】## 【解析】 【分析】求出正四棱锥的侧面积，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，算出即可. 【详解】 如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高， 则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，， 所以， 因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆， 由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的最大值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 答案见详解 【解析】 【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，从而求出最大值； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，，故在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. 16. 已知数列满足：是等差数列，，. （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目提供的信息求解出的通项公式，再根据求解出的通项公式. （2）用错位相减法进行求解. 【小问1详解】 当时，，则； 当时，，则； 又，所以，又， 所以等差数列的公差，所以. 令， 当时，， 得，因此，也满足上式，所以. 【小问2详解】 ，设其前项和为. 则， ， 两式相减得：， ， 所以 17. 某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下列联表： 预防药品 感染 未感染 未使用 40 10 使用 30 20 （1）根据表格中的数据，能否有的把握认为预防药品对预防甲流有效果？ （2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗.已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为，对使用过预防药品的动物的治愈率为，求该动物被治愈的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）有的把握认为使用预防药品对预防甲流有效果. （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据代入计算即可； （2）根据全概率公式计算药品的治愈概率. 【小问1详解】 假设：使用预防药品对预防甲流无效果， 由列联表可知， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为有的把握认为使用预防药品对预防甲流有效果. 【小问2详解】 设事件表示使用治疗药品并且治愈， 事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品， 由题意可得， 且， 则， 治疗药品的治愈概率. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率、椭圆过点和椭圆关系可求得，由此得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立后可得韦达定理的形式，由，有，即可解得，利用弦长公式和点到直线距离公式表示出和，由，即，代入即可求得结果. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由得，， 过点，，又， 联立，解得，，， 所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在，设为， 又直线过点则直线的方程为， 设，，由得， 由，得， ， 又，有，即， 整理得， 所以，解得，满足， 又因为，点到直线的距离， 则， 即， 代入得，， 故的面积为. 【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积（或最值，或取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离表示出（求出）所求三角形的面积； ④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）由平面平面先证平面，得，从而根据线面垂直的判定定理得平面即可得证； （2）①建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离确定点的坐标，再利用线面角的向量法求解；②取的中点，其为直角三角形外心，则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，即可确定半径，得解. 【小问1详解】 取的中点，连接，在直角梯形中，， 则四边形为正方形，所以， 在等腰直角三角形 中，， 为等腰直角三角形，而，故， 则有，所以， 因为平面平面平面平面，平面 ， 所以平面，又平面，所以， 又因为，直线有公共点，平面 所以平面又平面得； 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 点P到平面的距离为， 解得，此时，， ①设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值； ②取的中点，其为直角三角形外心，且， 则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 即平面，设， 由， 得， 解得， 故外接球的半径为， 其表面积为， 故三棱锥外接球表面积为. 【点睛】关键点睛：求解外接球的相关问题，关键是根据题意结合几何题的特征，确定外接球的球心位置，进而求出半径，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $