精品解析：河南省郑州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题

郑州市2023-2024学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，化简得（ ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画水平放置的四边形的直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为（ ） A 20 B. C. 10 D. 3. 端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件 “乙端午节吃咸粽子”，且，，事件A与事件B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知不同平面，不同直线和，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若则 5. 已知圆柱的底面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的直径的2倍，则圆柱的体积与球的体积的比值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若z为纯虚数，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 10. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ） A. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 B. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 C. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则（ ） A. B. 面 C. 直线与平面ABCD所成的角为 D. 四面体的体积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设，则______． 13. 在中，内角所对边分别为，若，，，则的面积为______． 14. 如图，在四边形中，，，，，，若为线段上一动点（包含端点），则的取值范围为______． 四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值． 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若是边长为1的等边三角形﹐点在棱上，，且三棱锥的体积为，求侧面与底面所成二面角的余弦值． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任各提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组，，第五组：，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人． （1）根据频率分布直方图，估计这t人年龄第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t人中35～45岁所有人的年龄的平均数和方差．（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，，n，，．记总体的样本平均数为，样本方差为，则， 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵，，是任意两个向量，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑州市2023-2024学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法及乘方运算法则化简即可. 【详解】. 故选：A 2. 用斜二测画法画水平放置的四边形的直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出菱形，再根据直观图与原图的面积关系计算可得. 【详解】在菱形，，， 所以， 又斜二测画法中直观图的面积与原图的面积满足， 所以. 故选：D 3. 端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件 “乙端午节吃咸粽子”，且，，事件A与事件B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得. 【详解】由事件A与事件B相互独立，得， 所以. 故选：B 4. 已知不同平面，不同直线和，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系有关的知识对选项进行分析，即可得出答案. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则可能垂直，平行，故B不正确； 对于C，若，则或，故C不正确； 对于D，若，则可能平行，异面，相交，故D不正确；. 5. 已知圆柱的底面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的直径的2倍，则圆柱的体积与球的体积的比值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球和圆柱的体积公式计算即得. 【详解】设球半径为，则球的体积， 圆柱的底面圆半径为，高为，体积为， 所以圆柱的体积与球的体积的比值为. 故选：D 6. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 7. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，根据圆锥的表面积及弧长公式得到方程组，求出、，即可求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，解得（负值已舍去）， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：A 8. 现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若z为纯虚数，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由复数的概念与复数的几何意义，复数相等的条件，计算可得结论. 【详解】对于A：若，则可得，解得，故A正确； 对于B：若z为纯虚数，则可得，解得，故B正确； 对于C：若点M在第一象限，则，解得，故C正确； 对于D：若为z的共轭复数且， 又，， 所以，解得，故D错误. 故选：ABC. 10. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ） A. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 B. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 C. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解. 【详解】对于A，由题中折线图知，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，A错误； 对于B，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，B正确； 对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入极差为元， 人均消费支出的极差为元，C错误； 对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确. 故选：BD 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则（ ） A. B. 面 C. 直线与平面ABCD所成的角为 D. 四面体的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，由，平面，得出，判断选项A；证明，即可判断选项B；是直线与平面所成角，计算，即可判断选项C；计算四面体的体积，即可判断选项D． 【详解】对于A，连接，则，因为，平面，所以， 又，所以平面， 又平面，所以，所以，选项A正确； 对于B，因为，所以，又平面，平面， 所以面，选项B正确； 对C，由题意知，是直线与平面所成的角，且， 所以与平面所成的角不是，选项C错误； 对于D，四面体的体积为，选项D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 在中，内角所对的边分别为，若，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 可得， 则的面积为. 故答案为：. 14. 如图，在四边形中，，，，，，若为线段上一动点（包含端点），则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角梯形建立直角坐标系，用坐标法来计算数量积，即可求出结果. 【详解】 因为在四边形中，，，，，， 所以可以如图建系，可知，设， 则， 由于，所以当时，有最小值， 当时，有最大值，所以的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量模的坐标表示得到方程求出，即可得解； （2）首先求出，再根据向量垂直得到，即可求出，最后由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，设， 又，所以，解得， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，即，所以， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若是边长为1的等边三角形﹐点在棱上，，且三棱锥的体积为，求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由面面垂直的性质即可证明； （2）依题意可得，由锥体的体积求出，取的中点，连接、，即可得到为侧面与底面所成二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 在三棱锥中，因为，为的中点， 所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因点在棱上，， 又三棱锥与三棱锥底面积相同，高之比等于， 所以体积之比也为， 所以，又平面，所以为三棱锥的高， 又是边长为1的等边三角形，所以， 所以， 所以，解得， 取的中点，连接、，则，又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为侧面与底面所成二面角的平面角， 又，，平面，平面，所以， 所以，所以， 所以侧面与底面所成二面角余弦值为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据给定条件，并结合正弦定理，余弦定理求解即可. （2）利用重要不等式求出，再结合三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，若， 由正弦定理得，故， 即，由余弦定理得，因为，故. 【小问2详解】 当时，，由重要不等式得， 当且仅当时取等号，故有，解得， 而，故， 故面积的最大值是. 18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任各提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组，，第五组：，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人． （1）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t人中35～45岁所有人的年龄的平均数和方差．（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，，n，，．记总体的样本平均数为，样本方差为，则， 【答案】（1） （2）年龄的平均数为，方差约为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可确定第百分位数第四组，根据第百分位数定义可构造方程求得结果； （2）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差. 【小问1详解】 设第百分位数为， ，， 位于第四组：内； 由得：． 【小问2详解】 由题意得，第四组应抽取人；第五组抽取人， 设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数分别为，方差分别为， 设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数分别为，方差分别为， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则， 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为， 则 . 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为； 据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为． 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵，，是任意两个向量，求证：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵； （3）根据定义分别计算、、，证明即可. 【小问1详解】 因为，按照二阶矩阵变换得到点，设， 则，所以 【小问2详解】 设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为； 【小问3详解】 设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$