浙江省金华市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试 高二数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟。试卷总分为150分。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，，且，则 A．11 B． C． D． 3．已知是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为 A． B． C． D． 5．函数的图象为 A． B． C． D． 6．.已知随机变量，且，则 A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.1 7．高二某班男生20人，女生30人，男、女生身高平均数分别为、，方差分别为170、160，记该班全体同学身高的平均数为，方差为，则 A． B． C． D． 8．已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．在正方体中， A． B．直线与所成角为 C．平面 D．直线与平面所成角为 10．投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件，“第二次正面向上”为事件，“至少有一次正面向上”为事件，则下列判断正确的是 A．与相互独立 B．与互斥 C． D． 11．在中，已知，，则 A． B． C．的外接圆直径为10 D．的面积为12 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，集合，则  . 13．若，则  . 14．在三棱锥中，，，且，，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥的取值范围为  . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分） 某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，，，，，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图。 （1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数； （2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率. 16．（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，，、分别为、的中点，，垂足为. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17．（本题满分15分） 已知分别为三个内角的对边，且. （1）证明：； （2）求最小值. 18．（本题满分17分） 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值的表达式； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 19．（本题满分17分） 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则，. 现考虑某厂生产的产品分成一等品、二等品、三等品和不合格品，它们出现的 概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的. （1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为0.15，0.70，0.10和0.05，求抽出一等品1个、二等品2个，三等品1个的概率； （2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量，.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，. （ⅰ）求； （ⅱ）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望. 【参考答案】 金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．D 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．ACD 10．ACD 11．BCD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．40 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1） 解：依题意可得，解得.…………2分 又， 即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时.…………5分 （2） 由频率分布直方图可知、和三组的频率的比为 所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为3，2，1，…………7分 记中的3人为，，，中的2人为，，中的2人为， 从这6人中随机选出2人，则样本空间 共15个样本点；…………10分 设事件：选出的2人都来自， 则共3个样本点，所以.…………3分 16．（1） 解：如图，连接，，在中， 在正方形中，， 又因为、平面，， 所以平面.…………3分 又因为，所以平面， 而平面，所以.…………5分 因为平面，，所以平面.…………7分 （2） 因为，所以， 则，则.…………9分 如图以为原点，，分别为轴，过且垂直为轴建系，则，， ，，. 则，，…………11分 设为平面的法向量，则，取， 同理平面的法向量.…………13分 所以， 故平面与平面形成的锐二面角的余弦值.…………15分 17．（1） 解：因为 …………3分所以，即；…………7分 （2） 因为，又，所以， 因此，于是， 即，故，…………10分 因为，所以，即，…………13分 所以， 当且仅当时，“”成立 故的最小值为.…………15分 18．（1） 解：易知函数的定义域为. 当时，，. ， 所以在点处的切线斜率，…………2分 又，即点坐标为，…………4分 所以点处的切线方程为.…………5分 （2） 因为，. 所以， 当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减， 故函数在区间上的最大值为. 当时，令，， 则在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以在上有唯一的一个零点.…………8分令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最大值为， 由，，有： 当时，； 当时，，…………10分 故…………11分 （3） 由（2）可知，当时，在上单调递减， 故此时函数至多有一个零点，不符合题意. 当时，在时，单调递减，在时，单调递增； 且，所以，① 又时，，当时， 为了满足有两个零点，则有.② 对①两边取对数可得，③…………15分 将①③代入②可得，解得. 所以实数的取值范围为.…………17分 19．（1） 解：记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个、二等品2个，三等品1个为事件，则，…………4分 （2） （ⅰ） ， .…………10分 （ⅱ） 若把事件作为一方，则作为另一方， 那么随机变量分布列为， 即服从二项分布列为， 同理可知：.…………13分 所以 .…………15分 所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即 所以此时，随机变量的数学期望为.…………17分 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$