专题 1-5 集合的基本运算【8类题型】- 2024-2025学年新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-5 集合的基本运算 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】交集的概念与运算 【题型2】 并集的概念与运算 【题型3】补集的概念与运算 【题型4】利用Venn图求集合 【题型5】交、并、补混合运算 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 【题型7】根据集合运算的结果确定参数的取值或范围 【题型8】根据集合混合运算的结果确定参数的范围 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】交集的概念与运算 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3、知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 1． 集合，，则 . 2． 若集合或，则 3． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知集合，，则A∩B=（　　） A． B． C． D． 【题型2】 并集的概念与运算 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 3、知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 4． 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5． 设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·四川南充·二模）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【题型3】补集的概念与运算 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 4、知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 7． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 8． 已知集合，则 【巩固练习1】设全集，，则 ． 【巩固练习2】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【巩固练习3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】利用Venn图求集合 用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图，集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系， 9． （23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 10． 如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合，，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·四川眉山·开学考试）（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【题型5】交、并、补混合运算 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） ，即“补之并”等于“交之补”； （2），即“补之交”等于“并之补”． 【摩根定律的记忆方法】提“CU”，再变号. 11． 设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 12． 知全集，集合．则 ． 13． 已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 14． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知全集，集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 15． 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 16． 学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 17． 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加球类一项比赛的有（ ）人． A．2 B．6 C．8 D．9 【巩固练习1】2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 【巩固练习2】疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为 . 【巩固练习3】（23-24高一上·广东珠海·期中）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 【题型7】根据集合运算的结果确定参数的取值或范围 1、基本方法 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围方法二：(1)化简所给集合； (2)用数轴表示所给集合； (3)根据集合端点间关系列出不等式(组)； (4)解不等式(组)； (5)检验 2、易错点 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集， 3、集合基本运算的一些结论 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 18． （2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求的值 19． （2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 20． 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 21． 已知集合，，，若，求的取值范围. 【巩固练习1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合A={x|x2-x-6≥0}，集合B={x|m≤x+1≤m+3}，若A∪B=A，求实数m的取值范围． 【巩固练习3】已知集合A={x|2a-1＜x＜a+2}，B={x|0＜x≤2}，U=R，若A∩B=，求实数a的取值范围． 【巩固练习4】已知集合，. (1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围； 【题型8】根据集合混合运算的结果确定参数的范围 区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 22． 已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 23． 已知集合，，若，求m的取值范围. 24． （2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围. 【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，，若，求实数的取值范围. 【巩固练习2】已知全集，集合，若，求实数的取值范围． 【巩固练习3】设集合，集合，若，则的取值范围为 . 【巩固练习4】设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 已知集合，集合，则（　　） A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x=2，y=3} D．（2，3） 2． 已知全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 3． 已知，且，，，则 . 4． 已知集合，，若，则的取值范围是A． B． C． D． 5． 为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 6． （23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 7． 高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 8． （23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合. （1）求；（2）若，求的取值范围. 9． （23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围. 10． （23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求；(2)若，求的取值范围. 11． （23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围：(2)若，求实数m的取值范围． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-5 集合的基本运算 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】交集的概念与运算 【题型2】 并集的概念与运算 【题型3】补集的概念与运算 【题型4】利用Venn图求集合 【题型5】交、并、补混合运算 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 【题型7】根据集合运算的结果确定参数的取值或范围 【题型8】根据集合混合运算的结果确定参数的范围 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】交集的概念与运算 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3、知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 1． 集合，，则 . 【答案】 【解析】， 所以. 2． 若集合或，则 【答案】或 【解析】因为或， 所以或， 故答案为：或. 3． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两点集的交集，即这两条直线的交点. 【详解】 【巩固练习1】（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，.故选：A 【巩固练习2】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C． 【巩固练习3】已知集合，，则A∩B=（　　） A． B． C． D． 【分析】先解绝对值不等式和二次不等式，再求集合交集即可． 【解答】解：解|x+1|≥2得x≤-3或x≥1，故A={x|x≤-3或x≥1}， 解不等式x2+2x-8＜0得-4＜x＜2，故B={x|-4＜x＜2}， 所以A∩B={x|-4＜x≤-3或1≤x＜2}． 【题型2】 并集的概念与运算 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 3、知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 4． 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，故选：A 5． 设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以故选：C. 6． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【分析】先由解不等式求出集合M，N，再由集合的运算直接求出． 【解答】解：∵M={x|x2＜4x}={x|0＜x＜4}，N={x||x-1|≥3}={x|x≤-2或x≥4}， ∴M∪N={x|x≤-2或x＞0}． 故选：D． 【巩固练习1】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合， 所以.故选：A. 【巩固练习2】（2024·四川南充·二模）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，.故选：D. 【巩固练习3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合并集的定义即可求解． 【解答】解：A={x|x＞2}，由x2-4x+3≤0，得（x-3）（x-1）≤0，解得1≤x≤3， 所以B={x|x²-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}， 所以A∪B={x|x＞2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≥1}． 【题型3】补集的概念与运算 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 4、知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 7． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 又因为，所以， 8． 已知集合，则 【答案】或 【解析】全集为实数R，集合； 故或. 【巩固练习1】设全集，，则 ． 【答案】 【解析】由题可知，， 则 【巩固练习2】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为，，所以.故选：D. 【巩固练习3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 又因为，所以，故选：C. 【题型4】利用Venn图求集合 用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图，集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系， 9． （23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察图形知，阴影部分在集合中，且不在集合， 在中，ABC不可选，也不在中， 所以阴影部分可表示为.故选：D 10． 如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断. 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 【巩固练习1】设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 那么图中的白色部分所表示的集合是.故选：C. 【巩固练习2】已知集合，，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合B，然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项． 【解答】解：因为集合， 所以B={x|-1＜x≤3}，又集合A={x|-1≤x≤3}， 所以B⫋A，根据韦恩图可得选项C正确， 【巩固练习3】（23-24高一上·四川眉山·开学考试）（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 选项A，，则，故A正确； 选项B，，则，故B错误； 选项C，，，则，故C错误； 选项D，，， 则，故D正确.故选：AD 【题型5】交、并、补混合运算 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） ，即“补之并”等于“交之补”； （2），即“补之交”等于“并之补”． 【摩根定律的记忆方法】提“CU”，再变号. 11． 设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，全集，则，， 得，所以. 12． 知全集，集合．则 ． 【答案】 【解析】由题意可知：或， 所以. 13． 已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 故，所以.故选：D. 14． 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【分析】根据集合的基本运算即可求解． 【解答】解：∵A={x|-3＜x＜2}， ∴CRA={x|x≤-3或x≥2}， ∵B={x|x＜-3或x＞1}， ∴（CRA）∩B=（-∞，-3）∪[2，+∞）． 故选：B． 【巩固练习1】（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则.故选：A. 【巩固练习2】已知全集，集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【巩固练习3】如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意．故选：AC 【巩固练习4】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于集合中的元素， 当，时，；当，时，， 所以或或， 故.故选：B． 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 15． 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 16． 学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【解析】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 17． 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加球类一项比赛的有（ ）人． A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用韦恩图进行求解，设出未知数，列出方程组，求出只参加球类一项比赛的人数. 【详解】如图所示：设只参加球类一项比赛的人数为x，同时参加田径和球类的人数为y，只惨叫田径的人数为z， 则， 解得：， 所以只参加球类一项比赛的人数为8. 【巩固练习1】2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 【答案】3 【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)， 因此，至少看了一支短视频的有(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为. 【巩固练习2】疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为 . 【答案】29 【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图： 依题意必有均为自然数， 所以，， 故这三天参加的志愿者总人数为： 当时，总人数最少，最少人数为. 【巩固练习3】（23-24高一上·广东珠海·期中）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 【答案】 【解析】由韦恩图可知：． 【题型7】根据集合运算的结果确定参数的取值或范围 1、基本方法 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围方法二：(1)化简所给集合； (2)用数轴表示所给集合； (3)根据集合端点间关系列出不等式(组)； (4)解不等式(组)； (5)检验 2、易错点 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集， 3、集合基本运算的一些结论 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 18． （2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求的值 【解析】集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. 19． （2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合. 【详解】因为，可知， 若，则， 此时，，不合题意； 若，则， 此时，，符合题意； 综上所述：，，则. 故ABC错误，D正确. 20． 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解. 【详解】集合，集合，且， 若，则，即，此时满足，即满足题意； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上所述，实数的取值范围为. 21． 已知集合，，，若，求的取值范围. 【解析】由于，若， 则. 【巩固练习1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且，故.故选：D. 【巩固练习2】已知集合A={x|x2-x-6≥0}，集合B={x|m≤x+1≤m+3}，若A∪B=A，求实数m的取值范围． 【答案】{m|m≤-4或m≥4}． 【分析】由已知确定集合间的关系为B⊆A，又可得B≠∅，列不等式即可求得实数m的取值范围． 【解答】因为A∪B=A，所以B⊆A． 因为B={x|m≤x+1≤m+3}且B≠∅ 所以m+2≤-2或m-1≥3， 即实数m的取值范围为{m|m≤-4或m≥4}． 【巩固练习3】已知集合A={x|2a-1＜x＜a+2}，B={x|0＜x≤2}，U=R，若A∩B=，求实数a的取值范围． 【分析】分A=和A≠两种情况进行分类讨论，即可求解． 【解答】当A=时，则2a-1≥a+2，解得a≥3，此时满足A∩B=； 当A≠时，要使A∩B=∅，只需或， 解得a≤-2或， 综上所述，实数a的取值范围为或． 【巩固练习4】已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以 【题型8】根据集合混合运算的结果确定参数的范围 区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 22． 已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【解析】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以，故选：C. 23． 已知集合，，若，求m的取值范围. 【解析】因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 24． （2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围. 【解析】当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，，若，求实数的取值范围. 【解析】由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 【巩固练习2】已知全集，集合，若，求实数的取值范围． 【解析】∵，∴， 若，则，则，满足题意； 若，则，解得，∴， 综上，的取值范围是． 【巩固练习3】设集合，集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先得到，从而由交集为空集得到的取值范围. 【详解】由题意得，故， 因为，所以，故的取值范围是. 【巩固练习4】设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 【解析】法一：(直接法)：由，得． 因为，， 所以，即， 所以m的取值范围是． 法二(集合间的关系)：由可知， 又，， 结合数轴： 得，即. 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 已知集合，集合，则（　　） A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x=2，y=3} D．（2，3） 【答案】B 【解答】解：由，解得， 因为集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x-y=-1}， 所以A∩B={（2，3）}． 故选：B． 2． 已知全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 【分析】计算A={x|-2＜x＜1}，再计算补集得到答案． 【解答】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，则CUA=（-3，-2]∪[1，3）． 故选：B． 3． 已知，且，，，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 又，故， 又，故，且，， 因为，故，， 因为，故，， 综上：，画出韦恩图如下： 故答案为： 4． 已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则集合中最小元素应在集合中，即可得到的取值范围. 【详解】由题意，再由，所以集合中最小元素应在集合中， 所以，即的取值范围是. 5． 为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 【答案】D 【解析】画出Venn图.全集表示全校学生， 分别用集合表示参与“数学建模选修课”和“语文素养选修课”的学生， 则表示两项选修课都参与的学生， 表示两项选修课都没有参与的学生则可用表示，即. 由题意可知，全集元素的个数为317，元素的个数为30， 元素的个数为20， 则阴影部分表示只参与一项活动的学生，设有人， 则， 故只参与一项活动的学生数为,故选：D. 6． （23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【解析】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 7． 高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人），故选：D. 8． （23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为，所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以，所以的取值范围是. 9． （23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；；（2） 【解析】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得， 得解得，所以， 故实数的取值范围为 10． （23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 11． （23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$