培优专题 抽象函数对称性与周期性问题【18类题型归纳】- 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版）

暑期衔接培优专题 抽象函数对称性与周期性问题 高中对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练. 总览 题型解读 【题型1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 【题型2】由平移前后关系得出原函数对称性 【题型3】由中心对称求出函数中间值：f(x)=奇函数+M 【题型4】由对称性求交点坐标的和 【题型5】由对称性解函数不等式 【题型6】由解析式看出对称性 【题型7】由解析式看出对称中心再解函数不等式 【题型8】由解析式看出对称轴再解函数不等式 【题型9】与对称性有关的材料题 【题型10】通过表达式直接得出周期（迭代） 【题型11】利用周期性求解析式 【题型12】由对称性进而得出周期 【题型13】由条件不等式构造新函数解不等式 【题型14】类周期函数与倍增函数 【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期 【题型16】两个函数混合型 【题型17】抽象函数赋值计算 【题型18】抽象函数的单调性与奇偶性 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 若，且关于对称 若，且关于对称 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 1． 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（多选题）已知函数的定义域为，关于对称，且对于任意，都有，则（     ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【题型2】由平移前后关系得出原函数对称性 若已知是奇（偶）函数求对称性 是偶函数关于对称，是奇函数关于对称 举个例子： 若是奇函数 证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值 对称中心 2． 定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】由中心对称求出函数中间值：f(x)=奇函数+M 已知奇函数，，则 （1） （2） 3． 已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 4． 是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 5． 函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 6． 已知函数，且，则 ． 【巩固练习1】设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【巩固练习3】已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【巩固练习4】已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M + m= ． 【题型4】由对称性求交点坐标的和 一、若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 二、若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和，纵坐标之和为 7． （广州市天河区高一上期末）定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 8． 已知函数图象关于中心对称，且与函数图象有三个交点，分别为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】的图象关于中心对称，关于中心对称，且，设，则关于点中心对称，从而求出答案. 【详解】的图象关于中心对称， 又关于中心对称，且， 不妨设，与的交点关于点中心对称， 即，故. 9． 已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 10． 定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．2为的一个周期 C． D． 【巩固练习1】已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________. 【巩固练习2】已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（    ） A．0 B．m C． D． 【巩固练习3】已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 【巩固练习4】定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（    ） A．6 B．12 C．14 D．10 【巩固练习5】已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图像所有交点的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习6】定义在R上的函数满足；且当时， ．则方程所有的根之和为（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【题型5】由对称性解函数不等式 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 2、 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 11． 已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数， 则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________. 12． 已知函数的图象关于对称，且对，，当时，成立，若对任意的恒成立，则a的可取值为( ) A． B．-1 C．1 D. 【巩固练习1】已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【巩固练习2】（重庆八中）已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6】由解析式看出对称性 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 二、具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 13． （安徽部分高一上期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 14． 已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 【巩固练习1】已知函数，若，则 ． 【巩固练习2】已知函数与x轴有唯一交点，则 A． B． C． D．1 【题型7】由解析式看出对称中心再解函数不等式 具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 15． 已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16． 已知函数，若，则实数的取值范围是________ 【巩固练习1】（辽宁省名校联盟联考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】由解析式看出对称轴再解函数不等式 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 17． 已知函数，则的解集为 ． 18． （山东青岛·三模）已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数， 且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【题型9】与对称性有关的材料题 结合材料得出结论，再解决问题 19． （多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（多选）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 【巩固练习2】（湖南长沙·高一长沙一中校考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 【题型10】通过表达式直接得出周期（迭代） (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求交点个数、求解析式等问题． 周期函数的常见条件 一、若（c为常数），则周期为2a. 证明：令，两式相减得 即，故 二、若，则（相对少见） 证明：由，得 三、其它周期条件 设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 三、周期与对称性的区分 1.若则具有周期性； 2.若,则具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 20． 已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 21． 已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 【巩固练习1】已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 【巩固练习2】（多选）已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（    ） A．为奇函数 B．在上的解析式为 C．的值域为 D． 【题型11】利用周期性求解析式 22． 已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ． 【巩固练习2】设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 【题型12】由对称性进而得出周期 一、若关于和对称，则（类比三角函数） 证明：由对称轴可得， 由对称中心可得 则有， 令，则有， 故 三、若关于和对称，则（类比三角函数） 证明：由对称性可得，则，故 四、若关于和对称，则 证明：由对称性可得，故 2021全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值 23． 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 24． 已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 . 25． 函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 2021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值 26． 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 27． （重庆八中2024期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 28． （江苏省淮安、南通）已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 29． （多选）已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 30． （佛山市2024年高一上期末）（多选）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域为 D． 31． 函数的定义域为 ，且满足 ，若 ，则（    ） A． B． C．2 D．1 32． 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 33． 已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 34． 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 35． (多选)已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 36． 已知定义在上的函数满足：，且．若，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【巩固练习1】（2024·湖南长沙）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 【巩固练习2】（2024·辽宁营口·期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】2021全国甲卷（理）12题 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B．50 C．2509 D．2499 【巩固练习5】（2024·全国·三模）(多选)已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【题型13】由条件不等式构造新函数解不等式 通过构造新函数来解决问题 常见的构造函数模型 （1） （2） （3） 37． 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 38． （厦门市2024高一上期末）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 39． （山东省济宁市期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 40． （江苏盐城一中2024期末）已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 41． 已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 【巩固练习1】（湖北省武汉市联考期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷）设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 【巩固练习3】（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（    ） A．8是的一个周期 B． C．的图象关于对称 D． 【巩固练习4】定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为 . 【巩固练习5】（中山市2024高一上期末）（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【题型14】类周期函数与倍增函数 类周期函数的定义：若y＝f(x)满足：f(x＋m)＝kf(x)或f(x)＝kf(xm)，则y＝f(x)横坐标每增加m个单位，则函数值扩大k倍．此函数称为周期为m的类周期函数． 1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 42． 设函数的定义域为，且，，则 ． 43． 定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是 ． 44． 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为 ． 45． 定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【巩固练习3】已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【思路点拨】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解. 【详解】当时，则， 所以，即， 当时，则， 所以，即， 则， 当时，则， 所以，即， 画出的图象如下：      由图象可知，当时，方程在区间内有实数解， 所以实数的取值范围为 【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期 已知一个对称轴轴（中心）和周期的问题不能直接套用结论来得出另一个对称中心（轴） 46． 已知是周期为的函数，且都有，则（    ） A． B． C． D． 47． 若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 48． 已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（    ） A．202 B．204 C．206 D．208 49． （多选）已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（    ） A． B． C．=+ D． 【巩固练习1】函数的定义域为，且，，，则 . 【巩固练习2】已知函数的定义域为，且满足，，，则 . 【巩固练习3】定义在上的函数满足，，若，则 ， . 【巩固练习4】已知函数的定义域为R，且，为奇函数，，则（    ） A． B． C．0 D． 【巩固练习5】定义在R上的函数满足，，若，则 ， ． 【题型16】两个函数混合型 两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 50． （广东省汕头市金山中学高一上学期期末考试数学试题）（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 51． 已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（    ） A．0 B．4 C．2023 D．2024 52． 已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 53． 已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 54． 已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【巩固练习1】2022全国乙卷第12题 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【巩固练习3】已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则 ． 【巩固练习4】（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（    ） A．的周期为4 B． C． D． 【巩固练习5】（2024·湖南衡阳）(多选)已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 【题型17】抽象函数赋值计算 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解 55． 已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 56． 已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 57． 已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； . 【巩固练习1】已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【巩固练习2】已知定义域为的函数，满足 ，且，，则________. 【巩固练习3】已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型18】抽象函数的单调性与奇偶性 1、证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 58． 已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 59． 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明； 60． 设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 61． 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【巩固练习1】已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【巩固练习2】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； 【巩固练习3】已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【巩固练习5】已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【巩固练习6】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑期衔接培优专题 抽象函数对称性与周期性问题 高中对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练. 总览 题型解读 【题型1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 【题型2】由平移前后关系得出原函数对称性 【题型3】由中心对称求出函数中间值：f(x)=奇函数+M 【题型4】由对称性求交点坐标的和 【题型5】由对称性解函数不等式 【题型6】由解析式看出对称性 【题型7】由解析式看出对称中心再解函数不等式 【题型8】由解析式看出对称轴再解函数不等式 【题型9】与对称性有关的材料题 【题型10】通过表达式直接得出周期（迭代） 【题型11】利用周期性求解析式 【题型12】由对称性进而得出周期 【题型13】由条件不等式构造新函数解不等式 【题型14】类周期函数与倍增函数 【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期 【题型16】两个函数混合型 【题型17】抽象函数赋值计算 【题型18】抽象函数的单调性与奇偶性 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 若，且关于对称 若，且关于对称 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 1． 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：， 而， 故. 【巩固练习1】（多选题）已知函数的定义域为，关于对称，且对于任意，都有，则（     ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BCD 【解析】由，得． 由是奇函数，得，即， 所以，即，所以，故选项A错误； 由，得，由，得，所以，故选项B正确； 由，，得，即为偶函数，故选项C正确； 由，，得，则， 即为奇函数，故选项D正确． 【题型2】由平移前后关系得出原函数对称性 若已知是奇（偶）函数求对称性 是偶函数关于对称，是奇函数关于对称 举个例子： 若是奇函数 证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值 对称中心 2． 定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可. 【详解】由题意得函数是奇函数，则关于对称， 另知函数和的图象关于轴对称，故关于对称 【巩固练习】已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，由是偶函数，得，即， 由为奇函数，得，即，显然， 因此，即，有， ，，而的值都不确定，ABC错误，D正确 【题型3】由中心对称求出函数中间值：f(x)=奇函数+M 已知奇函数，，则 （1） （2） 3． 已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数的性质以及函数的最值性质即可求解. 【详解】记，显然的定义域关于原点对称，且， 所以是区间上的奇函数， 设的最大值为，则的最小值为， 所以. 4． 是定义在R上的函数，为奇函数，则（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】A 【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则 . ∴. 5． 函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 答案 2 解析 ，显然关于对称，所以 6． 已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 【巩固练习1】设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整理为，令，由奇偶性定义可证得为奇函数，则，由此可求得的值. 【详解】， 可令，则， 为定义在上的奇函数，， 则，. 故选：D. 【巩固练习2】已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果. 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故. 【巩固练习3】已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】4048 【解析】令，得，令，则， 所以，令， 所以，为奇函数，． 令， 则， 即为奇函数，所以． 而， 所以． 【巩固练习4】已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M + m= ． 【答案】 【解析】将函数配成关于的形式 设 则 故为奇函数，其图象关于坐标原点对称 又，所以其图象关于点（1，－1）对称 所以在[0，2]上的最大值为M，最小值为m的和 M + m= 【题型4】由对称性求交点坐标的和 一、若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 二、若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和，纵坐标之和为 7． （广州市天河区高一上期末）定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知函数的图象和函数的图象都关于对称，可知它们的交点也关于点对称，由此可求得结果. 【详解】因为是奇函数，所以关于点对称， 又函数的图象关于点对称， 所以两个函数图象的交点也关于点对称， 所以两个图象的横坐标之和. 8． 已知函数图象关于中心对称，且与函数图象有三个交点，分别为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】的图象关于中心对称，关于中心对称，且，设，则关于点中心对称，从而求出答案. 【详解】的图象关于中心对称， 又关于中心对称，且， 不妨设，与的交点关于点中心对称， 即，故. 9． 已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 【答案】48 【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值. 【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称， 函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称， 与的图象的8个交点，也两两关于点对称， 则. 10． 定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．2为的一个周期 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，推得，得到，结合函数的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由为偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由，则函数的图象关于点对称， 则，可得. 对于A中，由，可得， 所以，所以为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以函数是以为周期的周期函数， 可得，显然，所以B错误； 对于C中，由，所以函数的图象关于直线对称， 因此函数与的交点也关于对称，则，所以C正确； 对于D中，由函数与的交点也关于对称，可得，故D正确. 【巩固练习1】已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________. 【答案】24 【解析】由为偶函数，则，故， 又是定义在上的奇函数，则， 所以，故，即有， 综上，的周期为8，且关于对称的奇函数， 由在上单调递减，结合上述思路点拨知：在上递增，上递减，上递增， 所以在的大致草图如下： 要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点， 所以，必有两对交点分别关于对称，则. 【巩固练习2】已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（    ） A．0 B．m C． D． 【答案】B 【解析】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称， 所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为. 【巩固练习3】已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 【答案】 【解析】为奇函数，则有， 即，可得， ，所以函数的图象关于点对称. 直线，即， 由，解得，所以直线过定点， 即直线关于点对称. 直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则有，，. 【巩固练习4】定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（    ） A．6 B．12 C．14 D．10 【答案】D 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵，∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中，由，∴所有实根之和为 【巩固练习5】已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图像所有交点的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】首先根据题干条件确定抽象函数的对称性和周期性，然后根据的性质及的解析式画出与在的图像，观察图像，结合函数对称性求解所有交点横坐标之和. 【详解】由，可知函数的图像关于直线对称， 又为偶函数，，故函数是周期函数，且周期， ，的图像也关于直线对称， 当时，，设， 则，即函数在为减函数， 又，即，即函数，的图像在无交点， 则函数，在上的图像有3个交点，一个在直线上，另外两个关于直线对称，则三个交点的横坐标之和为3 【巩固练习6】定义在R上的函数满足；且当时， ．则方程所有的根之和为（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【思路点拨】根据题中所给的函数性质可得的周期为4且关于，再画图思路点拨与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可. 【详解】由可得为奇函数，且关于对称. 又由题意，故，所以关于对称，且，故的周期为4. 又当时，，此时，故在为增函数.综上可画出的函数部分图像. 又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，加上共7个交点，其根之和为 【题型5】由对称性解函数不等式 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 2、 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 11． 已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数， 则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________. 【答案】 【解析】函数为奇函数函数关于(0,1)中心对称 f(1－x)+f(－1+x)=2，又在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， ，∴3x＋4＜x－1，∴. 12． 已知函数的图象关于对称，且对，，当时，成立，若对任意的恒成立，则a的可取值为( ) A． B．-1 C．1 D. 【答案】 B C 【解析】∵，∴的图象关于对称，是偶函数， 易证在上递减，则在上递增， 则， 即，对恒成立， 由，得 由，得 综上，，故BC成立. 【巩固练习1】已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 【巩固练习2】（重庆八中）已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 即，也即， 当时，，当时，， 所以函数在单调递增， 又因为为偶函数，所以的图象关于对称， 所以在单调递减，且， 所以由得解得 【题型6】由解析式看出对称性 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 二、具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 13． （安徽部分高一上期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得， 则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 14． 已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由的图像可以得出的性质，即可判断选项. 【详解】因为的图像如下图所示，由图像可知，的值域为，故A正确； 在区间上单调递减，在区间上单调递减，故B错误； 所以当时，，故D正确； 由图像可知，的图像关于点对称，所以，故C正确. 【巩固练习1】已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据得到，然后求即可. 【详解】因为，所以，则， . 【巩固练习2】已知函数与x轴有唯一交点，则 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. 【题型7】由解析式看出对称中心再解函数不等式 具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 15． 已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解. 【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 16． 已知函数，若，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 【巩固练习1】（辽宁省名校联盟联考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数变形为，设，从而得出为奇函数，进而得到，由可得，然后分析出的单调性，得出答案. 【详解】，设， 因为，所以为奇函数， 则．即 又，在R上均为减函数，所以在R上为减函数， 由得，即 所以，解得或． 【巩固练习2】已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可 【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 【题型8】由解析式看出对称轴再解函数不等式 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 17． 已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由解析式得，即关于对称，再应用定义求证上单调性，结合对称性及不等式有，即可求解集. 【详解】由，则， 所以关于对称， 当，令，则 ，而， 所以，即在上递增， 根据对称性知：在上递减， 由，则，即， 所以，即，可得，故不等式解集为. 18． （山东青岛·三模）已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先推导出关于直线成轴对称，令，，对，求导，可得的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可． 【详解】函数的定义域为，且， 所以， 所以关于直线成轴对称， 因为，当且仅当，时取等号， 令，， 则，， 当时，，，单调递增，单调递增， 所以，，所以， 所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 又当时，，所以， 当或时，，所以，且， 所以要使得成立，则，解得， 故不等式的取值范围为． 故选：B． 【巩固练习1】已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数， 且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为 【巩固练习2】已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】易证为偶函数，且在上递增，则 所以任意恒成立， 由，得 由，得 综上， 【题型9】与对称性有关的材料题 结合材料得出结论，再解决问题 19． （多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项 【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为， 所以的图象关于原点对称， 则， 所以，故错误,正确； 所以对任意，都有，故正确； 在中令得 ，且， 所以，故正确 【巩固练习1】（多选）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（    ） A．的对称中心为 B．关于对称 C．的对称中心为 D．的图象关于对称 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，设 ， 为奇函数， 所以的对称中心为，所以A选项正确. B选项，， 设 ， 为偶函数， 所以关于对称，所以B选项正确. C选项，，设， ，所以不是奇函数，所以C选项错误. D选项，，设， ，所以不是奇函数，所以D选项错误 【巩固练习2】（湖南长沙·高一长沙一中校考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ． 【答案】 【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标. （2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值. 【详解】（1）设点为函数图象的对称中心， 令，则为奇函数， 所以，即， 可得，， 所以，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为： （2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即， 所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为， 因为， ， 所以， 即对称中心为， 因为函数的图像是恒过点的直线， 所以交点，的中点为， 所以，，即 【题型10】通过表达式直接得出周期（迭代） (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求交点个数、求解析式等问题． 周期函数的常见条件 一、若（c为常数），则周期为2a. 证明：令，两式相减得 即，故 二、若，则（相对少见） 证明：由，得 三、其它周期条件 设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 三、周期与对称性的区分 1.若则具有周期性； 2.若,则具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 20． 已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 21． 已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据函数周期的定义，求解即可． 【解析】因为的周期是3，所以，令， 则，所以的周期为6， 【巩固练习1】已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 【巩固练习2】（多选）已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（    ） A．为奇函数 B．在上的解析式为 C．的值域为 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案． 【详解】根据题意，时，，因为时，， 所以， 又由，则， 即，， 若，则，， 若，则，， 故在区间上，所以关于原点对称， 又由，则，即函数是周期为的周期函数， 故的图象关于原点对称， 由此分析选项： 对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确； 对于B，当时，则，则， 函数是周期为的周期函数，则，故B正确； 对于C，在区间上，，则，， 所以，故的值域一定不是，故C错误； 对于D，因为时，，所以，， 又，则， 则有，，故， 所以 ，故D正确 【题型11】利用周期性求解析式 22． 已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式． 【解析】令，则， ∵当时，有，∴f（x+2）＝2x+2，∵f（x+2）＝f（x）， ∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，． 【巩固练习1】设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ． 【答案】 【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得，结合的范围以及已知条件，即可求得答案. 【详解】当时，，则， 因为当时，，所以． 因为是周期为2的奇函数， 所以， 故答案为： 【巩固练习2】设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案. 【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 【巩固练习3】已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据对称性与奇偶性得到，即可得证； （2）当，则，且，即可得解. 【详解】（1）由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，有， 所以， 即是周期为的周期函数； （2）当时，，又是周期为的周期函数， 当，则， 所以， 所以，. 【题型12】由对称性进而得出周期 一、若关于和对称，则（类比三角函数） 证明：由对称轴可得， 由对称中心可得 则有， 令，则有， 故 三、若关于和对称，则（类比三角函数） 证明：由对称性可得，则，故 四、若关于和对称，则 证明：由对称性可得，故 2021全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值 23． 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 24． 已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 . 【答案】 【分析】根据函数周期性和奇函数的基本性质化简原式求解即可. 【解析】因为，所以奇函数的周期为. 所以 故答案为: 25． 函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值. 【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故. 2021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值 26． 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 27． （重庆八中2024期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解. 【详解】由为奇函数，则，即 又由为偶函数，可得，即， 可得，即，所以 所以函数是以为周期的周期函数， 因为且 令，可得且， 又因为，即，即 因为时，，可得，解得， 再令，可得，即，所以，可得 所以，则. 28． （江苏省淮安、南通）已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由奇函数条件可得，然后根据函数的对称性可知函数的周期为，再利用函数的周期性和奇偶性计算即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以，解得：，即当时，， 又因为的图象关于直线对称， 所以，且 则， 即函数是以为周期的周期函数， 故 29． （多选）已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数的符号，可得有关的结论. 【详解】因为为偶函数，所以； 因为是上的奇函数，所以， 且的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以的图象关于点对称，进一步得的图象关于点中心对称，即. 所以，所以.所以函数是周期函数，且周期为； 又在上单调递增，所以在上，有. 所以函数的草图如下： 由图可知：，故A错；，故B对；，故C错； ，故D对. 30． （佛山市2024年高一上期末）（多选）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域为 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得函数是奇函数，且的图象关于对称，进而可求出函数的周期，再逐一分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以函数的图象关于对称， 对于A，若是奇函数，则， 故，与题意矛盾，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，由，得， 所以，所以，故B正确； 对于C，根据题意不能得出函数的单调性，所以无法确定函数的值域，故C错误； 对于D，由B选项可得，所以函数是以为周期的周期函数， 因为是奇函数，所以，则，， 由，可得， 所以， 则，故D正确. 31． 函数的定义域为 ，且满足 ，若 ，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据，可得,，然后推出是周期为4的周期函数，且 ，进而求解结果. 【详解】由， 可知，， 易得 ，所以 ， 即 ， 又 ，易得 ， 又 ，则 ， 所以 是周期为4的周期函数，且 ， 综上， , ， 所以 . 32． 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 【答案】D 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以，故D正确. 33． 已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值. 【详解】因为是偶函数，所以， 将换为，得①(即对称轴x=-2)， 又因为，所以， 将换为得②(即对称中心（-1,0））. 由①②得， 令,则,所以, 将换得③, 将换为为得④. 由③④得，将换为得⑤ 所以函数是周期为的周期函数（由对称中心和对称轴也可直接得到周期为4）， 当时，，则，， 由③得，由④得， 根据周期性⑤得： ，，，， 所以，又因为， 故 . 34． 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由为奇函数得到函数的对称中心，由为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函数的周期，然后将与转化到已知区间求解即可. 【详解】因为函数定义域为，为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，且， 因为为偶函数，所以，所以函数关于直线轴对称， 又因为，所以函数的周期为， 因为当时，， 所以，， 所以. 35． (多选)已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD. 【详解】∵，∴关于对称 ∵为偶函数，∴关于对称 ∴的周期，故A错； （∵的周期为12） （∵关于对称） （∵关于对称），故B正确； （∵的周期为12） （∵关于对称） （∵关于对称） ，即，故C正确； ∵的周期为12 ∴， ，又，所以， 同理，，， ，又，所以，即， 由，令，得，， ， 所以，所以， ， ，故D正确. 故选：BCD 36． 已知定义在上的函数满足：，且．若，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果. 【详解】，① ， 即，所以， 所以函数的图象关于对称， 令，则，所以， 令，，又，所以， 又，，② 即函数的图象关于直线对称， 且由①和②，得， 所以，则函数的一个周期为4，则， 所以. 【巩固练习1】（2024·湖南长沙）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 【解题思路】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值. 【解答过程】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有， 故函数的图象关于直线对称，∴，故， ∴，∴是周期为4的周期函数． 则． 【巩固练习2】（2024·辽宁营口·期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且， 又为偶函数，，则关于对称，所以②， 由①②可得，即，所以， 于是可得，所以的周期， 则，所以为偶函数 则，所以，所以 所以，解得，所以当时， 所以. 【巩固练习3】2021全国甲卷（理）12题 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【巩固练习4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B．50 C．2509 D．2499 【解题思路】由图象的对称中心得图象的对称中心，由，构造函数，求出图象的对称性和周期，由求值即可. 【解答过程】因为的图象关于点对称，所以， 即，从而， 则的图象关于点对称． 由，可得． 令，得，则的图象关于直线对称． ， 则的图象关于点对称，则有， 所以，， 两式相减得，故是以4为周期的函数． 因为，，，， 所以 ． 故选：D. 【巩固练习5】（2024·全国·三模）(多选)已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以， 所以的图象关于直线对称. 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以的图象关于点对称. 所以. 令，得. 由，可得， 故即， 所以， 所以函数的周期， 所以，又不恒为零， 所以错误，A错误， ，B正确； 因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称， 所以， 所以为函数的对称轴， 结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴， 所以是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，， 所以， 所以原点为函数的一个对称中心， 结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心， 所以点是函数图象的一个对称中心，D正确. 【题型13】由条件不等式构造新函数解不等式 通过构造新函数来解决问题 常见的构造函数模型 （1） （2） （3） 37． 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 38． （厦门市2024高一上期末）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题目条件得到在上单调递增，且为偶函数，，其中，根据函数单调性和奇偶性得到不等式，求出解集. 【详解】不妨设， ， 故在上单调递增， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 故为偶函数， 因为，所以， ， 所以，解得或. 39． （山东省济宁市期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 40． （江苏盐城一中2024期末）已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由题可知为上的偶函数且在上单调递减，由，将不等式转化为或，结合的单调性即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则有，即. 令，则在上单调递减. 因为为上的奇函数，所以， 所以为上的偶函数，故在上单调递增. 又， 则不等式可转化为 所以，解得. 又当时，，不合题意. 所以的解集为. 41． 已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 依题意，的定义域是，是偶函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，，则， 所以在上单调递增，则在上单调递减. 对于，且， 若，可得，即，可得； 若,可得，即，可得； 所以不等式的解集为. 【巩固练习1】（湖北省武汉市联考期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数， 则， 所以是定义在上的奇函数. 由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数， 所以图象关于原点对称，则是上的减函数. 由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则 解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则 解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 【巩固练习2】（广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷）设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集. 【详解】不妨设，由得， 即， 故在上单调递增， 因为为R上的奇函数，所以， 的定义域为，且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以，故， 即，解得， 当时，， 因为，所以，故，解得； 当时，，符合题意；故不等式的解集为. 【巩固练习3】（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（    ） A．8是的一个周期 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】CD 【详解】对A：由题设条件得， 令，有，则的图象关于直线对称， 因为，有， 即，则的图象关于对称． 所以，又， 所以，所以， 所以，所以， 所以8为的一个周期，即， 则，A不正确； 对B：由上知图象关于对称，对称， 则令符合题意，而．B不正确； 对C：因为关于对称，有， 则的图象关于对称．C符合题意； 对D：因为图象关于对称，所以， 故，有．D符合题意． 【巩固练习4】定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为 . 【答案】 【分析】构建函数，根据题意分析可得函数为偶函数，在上单调递增，则函数在上单调递减，将不等式整理可得，结合函数的单调性和奇偶性运算求解. 【详解】∵，则， 故函数为偶函数， 对于上的，不妨设，则， 由可得，即， 故函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 对，则，即， 则，即，解得，可得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【巩固练习5】（中山市2024高一上期末）（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】AB选项，令，得到在上单调递增，结合的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出解集；CD选项，令，推出的单调性和奇偶性，结合，解不等式，求出解集. 【详解】AB选项，当时，， 即，故在上单调递增， 偶函数的定义域为，故在上单调递减， 又，故， 当时，，所以，解得， 当时，，此时，即， 当时，，由于在上单调递增， 故，故，解得，故； 当时，，由于在上单调递减， 故，故，解得，故； 综上，或或， 故不等式的解集为，A正确，B错误； CD选项，中， 令得， 设，则， 所以在上单调递增， 因为为上的偶函数， 故定义域为，且， 所以为偶函数， 因为，所以， 则等价于， 故，解得或，C正确，D错误. 【题型14】类周期函数与倍增函数 类周期函数的定义：若y＝f(x)满足：f(x＋m)＝kf(x)或f(x)＝kf(xm)，则y＝f(x)横坐标每增加m个单位，则函数值扩大k倍．此函数称为周期为m的类周期函数． 1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 42． 设函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】512． 【分析】根据得，由可依次递推得到. 【详解】，， ，， ， ，， ，， 43． 定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值. 【详解】由题设知，当时，，故， 同理：在上，， ∴当时，.函数的图象，如下图示： 在上，，解得或. 由图象知：当时，. ． 44． 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案． 【详解】函数的定义域为，满足， 且当,时，， ， ， ， ， ， ． 45． 定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    【巩固练习1】设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 【巩固练习2】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【解答过程】因为函数的定义域为，满足， 且当时，， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 作出函数的大致图象， 对任意，都有，设的最大值为， 则，所以，解得或， 结合图象知m的最大值为，即的取值范围是. 【巩固练习3】已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【思路点拨】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解. 【详解】当时，则， 所以，即， 当时，则， 所以，即， 则， 当时，则， 所以，即， 画出的图象如下：      由图象可知，当时，方程在区间内有实数解， 所以实数的取值范围为 【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期 已知一个对称轴轴（中心）和周期的问题不能直接套用结论来得出另一个对称中心（轴） 46． 已知是周期为的函数，且都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知， 即， 令，可知，即， 又函数的周期为， 则 47． 若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】由题设可得偶函数的周期为6，利用周期性求函数值即可. 【详解】由题设，即偶函数的周期为6， 所以. 48． 已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（    ） A．202 B．204 C．206 D．208 【答案】C 【分析】根据条件得到函数是周期为的偶函数，再根据条件得出，，即可求出结果. 【详解】因为，所以①，即有②， 由①②得到，所以函数的周期为， 又是偶函数，所以，得到，即函数为偶函数， 又由，得到，，， 又，所以，故 49． （多选）已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（    ） A． B． C．=+ D． 【答案】ACD 【分析】由，可推出的周期为4，由是奇函数可推出，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【详解】因为， 所以， 两式相减得， 所以的周期为4. 因为是奇函数， 所以，所以， 即， 令，得. 因为， 令，得， 所以，即. 因为， 令，得， 所以， 所以， 所以，故A正确. 因为， 所以，即，所以. 因为，，所以B错误. 因为，， 所以， 所以是与的等差中项，故C正确. 因为， 所以，故D正确. 【巩固练习1】函数的定义域为，且，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答. 【详解】函数的定义域为，由， 得， 因此函数是以3为周期的周期函数，且，即， 由，得，又，，从而， 所以 【巩固练习2】已知函数的定义域为，且满足，，，则 . 【答案】2024 【分析】由可推出关于直线对称，可得，再由可推出的最小正周期为8，结合周期函数性质求解即可. 【详解】由可知的图象关于直线对称， 从而， 又因为，令，得， 所以， 由，得， 两式相减可得，故的最小正周期为8， 则，， 因为，所以 【巩固练习3】定义在上的函数满足，，若，则 ， . 【答案】 0 -100 【分析】根据得到，，从而得到，即的一个正周期为4，故，用赋值法得到，求出，再求出关于对称，关于对称，结合，求出，，结合函数的正周期，求出的值. 【详解】由可得：， 即，将替换为得： ，两式相减得：， 即的一个正周期为4， 因为，所以， 又中令得：， 所以， 中令得：，故， 故； 由知：关于对称， 因为的最小正周期为4，所以， 故，即关于对称， 因为，所以， ， 由知：， 所以，则， 因为的最小正周期为4， 所以 . 故答案为：0，-100 【巩固练习4】已知函数的定义域为R，且，为奇函数，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案. 【详解】由，则， 所以，，周期为4，所以. 由，令，则有，所以，. 因为为奇函数，所以， 所以，，所以函数关于点对称， 所以，. 令，则. 令可得，，所以，所以， 所以，有，即有. 令，则有； 令，则. 综上，，，，. 所以， ， 所以，. 【巩固练习5】定义在R上的函数满足，，若，则 ， ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再由，可得，即可求出，从而得到且，再根据，即可求出，，，最后利用并项求和法计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以，则， 所以是以为周期的周期函数， 所以，又，所以， 又，所以， 即且， 由，所以，，， 所以 【题型16】两个函数混合型 两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 50． （广东省汕头市金山中学高一上学期期末考试数学试题）（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 【答案】BC 【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误. 【详解】，， ，， 关于对称，， ，， ，故C正确； 关于对称，，，为偶函数， ，，， ，，为偶函数，故A错误； ，图象关于点中心对称， 存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，， ，故D错误； 由得，又，所以， 由得，所以，故B正确； 故选：BC. 51． 已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则（    ） A．0 B．4 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而得到的一个周期为，进而求得，即可求解. 【解析】因为是偶函数，所以 又，所以①， 又因为，所以②， 由①②得到③，所以④， 由③④得到，即，所以的一个周期为， 又，由，得到，且，， 所以，则 52． 已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据函数奇偶性可得的图象关于点中心对称、的图象关于点中心对称，进而可知是以4为周期的周期函数．求出，，，，结合周期即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以为奇函数， 所以，的图象关于点中心对称，． 因为为偶函数，所以，的图象关于直线对称． 由，得，则， 所以，所以的图象关于点中心对称． 因为的图象关于轴对称，所以，， 所以，即是以4为周期的周期函数． 因为，，所以，，，， 所以． 53． 已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【分析】 利用是奇函数，，，逐项判断选项. 【详解】由是奇函数，则，即，令，则，故A正确； 由，，令，则，故不是奇函数，故B错误； 由，令，则， 故，所以， 而，则， 故， 所以是偶函数，故C正确； 由，得，则，故，得到， 由，可得，推出，又，所以，故，即 ，故D错误. 54． 已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件可得的图像关于对称，结合是奇函数，可得的图象关于点中心对称，继而可得是以4为周期的周期函数，通过赋值，进一步计算即可. 【详解】因为的图象关于对称，所以． 因为①，则， 即②，①-②得，， 所以的图像关于对称． 令，则是奇函数， 所以，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 因为，所以． 因为是以4为周期的周期函数， 所以也是以4为周期的周期函数， 取，，所以． 因为，所以， 所以． 取，所以， 所以， 所以 【巩固练习1】2022全国乙卷第12题 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以 . 【巩固练习2】已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得. 【解答过程】由函数的图象关于原点对称，， 即，即①， 由函数的图象关于y轴对称，可得②， 由可得，又得， 两式相加，，将①式代入，得， 则得，将②式代入得，，则， 于是，即的周期为12. 又，由①可得，得， 又由可得，即得. 因，可得，， 于是， 故选：B. 【巩固练习3】已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则 ． 【答案】0 【分析】根据为奇函数，为偶函数可得函数为周期为4的周期函数，进而可得，利用周期性即可求解. 【详解】为奇函数，为偶函数， ，即， 即为周期函数，且周期为4， ，， ，，， ． 故答案为：0 【巩固练习4】（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（    ） A．的周期为4 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称； 所以 所以①， 而②，将两式相加得：， 则③，所以， 所以是的一个周期，故A正确； 对B、C、D：由A项知令，由③得，由①， 得，由②得， 则，所以，所以， 故D正确； 由①令，得，， 由，，得， 两式相减得， 即，且关于对称，， 所以④，所以， 所以是周期为的周期函数，所以，故B正确； 由④令，得，所以，所以，故C错误； 故选：ABD. 【巩固练习5】（2024·湖南衡阳）(多选)已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 【答案】BCD 【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C； 计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确. 故选:BCD 【题型17】抽象函数赋值计算 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解 55． 已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 56． 已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以 57． 已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； . 【答案】 【分析】令可求得；令得，令得， ，相减即可求得. 【详解】因为对任意实数x，y都成立，所以令得， ，解得；令得， ，令得， ，所以，所以. 【巩固练习1】已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出. 【详解】因为对于任意实数，满足， 当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令，即，得， 令，则， 又函数是奇函数，所以，所以. 故答案为： 【巩固练习2】已知定义域为的函数，满足 ，且，，则________. 【答案】0 【详解】由， 令，则 【巩固练习3】已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】赋值法，分别令，，即可得出答案. 【详解】令，得，则.故A错误，C正确； 令，得.故B错误，D正确. 故选：CD. 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则， 中令，，则， 又中令，则，所以， 中，令，则， 再令，，则． 【题型18】抽象函数的单调性与奇偶性 1、证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 58． 已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【答案】(1)，. (2)为上的减函数，理由见解析. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以，所以函数在R上为减函数. 59． 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明； 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增.证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. 60． 设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2；(2) 【分析】（1）利用赋值法，令，得，就可解得； （2）由，从而将转化成，然后函数的单调性和定义域建立关系，解之即可. 【详解】（1）因为对于任意，有， 所以令，得， 所以； （2）设，则. 又因为当时，， 所以，即， 所以在定义域内为增函数. ，即时，原不等式可化为. 又因为在定义域上为增函数， 所以，解得或. 又因为，所以. 所以的取值范围为. 61． 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 【巩固练习1】已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 【巩固练习2】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增.证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. 【巩固练习3】已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，，解得，即不等式的解集为. 【巩固练习5】已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 【巩固练习6】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)； (2)奇函数；理由见详解 (3)单调递减，理由见详解 【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 暑期衔接培 专题 抽象函数对称性与周期性问题 高中对函数性质的考查往往 综 性的，如 奇偶性、 期性、单 性综 考查，因此，复习过 中 注意 掌握 见函数图 性质的基 上，注 函数性质的综 用的 练. 【题型 1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识 【题型 2】由 移 后关系得出原函数对称性 【题型 3】由中心对称求出函数中间值： f(x) =奇函数+M 【题型 4】由对称性求交点坐标的和 【题型 5】由对称性解函数不等式 【题型 6】由解析式 出对称性 【题型 7】由解析式 出对称中心再解函数不等式 【题型 8】由解析式 出对称轴再解函数不等式 【题型 9】与对称性有关的材料题 【题型 10】 过表达式直接得出周期 (迭代) 【题型 11】 用周期性求解析式 【题型 12】由对称性进而得出周期 【题型 13】由条件不等式构 新函数解不等式 【题型 14】类周期函数与倍 函数 【题型 15】已知一个对称轴 (中心)和周期 【题型 16】两个函数混合型 【题型 17】抽象函数赋值计算 【题型 18】抽象函数的单调性与奇偶性 学科 (北京)股份有 公司 2 【题型 1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 若 ，且 ， 关于 对称 若 ，且 ， 关于 对称 对称性的 用：最 出的 用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性， 只 要 析一 的性质， 可得 整个函数的性质，主要 现 以下几点： (1)可 用对称性 得某些点的函数值 (2) 图时可 出一 图像，再 用对称性得 另一半图像 (3) 轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单 区间单 性相反； 中心对称函数中，关于对称 中心对称的两个单 区间单 性相 1 设 f x  定义域为R的奇函数，且 f 1+x = f -x .若 f - 13 = 1 3 ， f 5 3 = ( ) A. - 53 B. - 1 3 C. 1 3 D. 5 3 1 (多 题)已知函数 f x 的定义域为R， f x 关于 12 ,0 对称，且对于任意 x∈R，都 有 f 2-3x = f 3x ， (    ) A. f x+1 = f x  B. f - 12 = 0 C. f x+2 为偶函数 D. f x- 12 为奇函数 【题型 2】由平移前后关系得出原函数对称性 若已知 f(mx+ b) + c 奇 (偶)函数 f(x)对称性 f(mx+ a) + b 偶函数 f(x)关于 x= a对称， f(mx+ a) + b 奇函数 f(x)关于 a,b 对称 举个 子：若 f(2x+ 1) + 3 奇函数 证：设 f(x)关于 x= a对称， 过函数图像的 移 变换 出 a， b的值 f(x) f(x+ 1) f(2x+ 1) f(2x+ 1) + 3 对称中心 a,b  a-1,b  a-1 2 ,b  a-12 ,b+3 ⇒ a=1 b=-3  学科 (北京)股份有 公司 3 1 定义 上的函数 的图 关于 轴对称，且函数 y= f(x- 2) + 1 奇函 数， 函数 图 的对称中心为 ( ) A. B. (-2 ,-1) C. D. (2 ,-1) 1 已知函数 f x 的定义域为R , f 1-2x 为偶函数， f x-1 为奇函数， (    ) A. f 0 = 0 B. f -2 = 0 C. f -3 = 0 D. f -5 = 0 【题型 3】由中心对称求出函数中间值： f(x) =奇函数+M 已知 f(x) =奇函数+M， x∈ [-a , a]， (1)f(-x) + f(x) = 2M ; (2)f(x)max+ f(x)min= 2M 1 已知函数 f x = x3 x2+2 + 1 区间 -2025,2025 上的最大值为M，最 值为m， M+m = ． 2 f x  定义 R上的函数， 为奇函数， ( ) A. - 1 B. C. D. 1 3 函数 f(x) = (x+1)2+x3 x2+1 [-2020 , 2020]上的最大值 最 值 为M ,m， M+m= . 学科 (北京)股份有 公司 4 4 已知函数 ，且 f 10 = 6， f -10 = ． 1 设函数 f x = 2 x-1 2 x2+1 的最大值为M，最 值为m， M+m= ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2 已知函数 f x = x3- 1x + 3， x∈ [-2023 , 2023]的最大值为M，最 值为m， M+ m= . 3 已知定义 上的函数 f x 满足 ，若函数 的最大值 最 值 为 ， ． 4 已知函数 f x = 2x2-4x+3  x-1- 1x-1 - 2x+ 1 [0， 2]上的最大值为M，最 值为m， M + m= ． 学科 (北京)股份有 公司 5 【题型 4】由对称性求交点坐标的和 一、若 f(x)与 g(x)关于 x= a对称，且它们有m个交点， 所有交点横 之 am 二、若 f(x)与 g(x)关于 a,b 对称，且它们有m个交点， 所有交点横 之 am，纵 之 为 bm 1 ( 州 高一上期末)定义 R上的函数 f x 满足： f x+1  奇函数，且函数 y= f x 的图 与函数 y= 1x-1 的交点为 x1,y1 , x2,y2 ,⋯, xm,ym ， x1+ x2+⋯+xm= ( ) A. 0 B. m 2 C. m D. 2m 2 已知函数 f x 图 关于 1,0 中心对称，且与函数 g x = x-1 3图 有三个交点， 为 x1,y1 , x2,y2 , x3,y3 ， x1+ y1+ x2+ y2+ x3+ y3= ( ) A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 3 已知函数 f x 满足 f 2-x + f 2+x = 8，函数 g x = 4x-1 x-2 ．且 f x 与 g x 的图 交点 为 x1,y1 ， x2,y2 ，⋯， x8,y8 ， x1+ x2+⋅⋅⋅+x8+ y1+ y2+⋅⋅⋅+y8= ． 4 定义 上的函数 f x 满足 为偶函数， f 1 = 2，函数 满足 ，若 y= f x 与 y= g x 恰有 2023个交点，从左至右 次 为 ， ， 下 说法正 的 ( ) A. f x 为奇函数 B. 2为 y= f x 的一个 期 C. y1012= 2 D. 1 已知 f x  定义 R上的奇函数，且 f x  0,2 上单 减， f x+2 为偶函数， 若 f x =m 0,12 上恰好有 4个不 的实数 x1 , x2 , x3 , x4， x1+ x2+ x3+ x4= . 学科 (北京)股份有 公司 6 2 已知函数 f x x∈R 满足： f x+1  偶函数，若函数 y= x2-2x-3 与函数 y= f x  图 的交点为 ， ， ， ， 横 之 ( ) A. 0 B. m C. D. 3 已 知 函 数 f x 的 定 义 域 为 R ， 若 为 奇 函 数 ， 且 直 线 与 f x 的图 恰有 5个公共点 ， ， ， x4,y4 ， ， . 4 定义 R上的函数 f x 满足 f -x + f x = 0， f -x = f x+2 ；且当 x∈ 0,1 时， f x = x3- x2+ x． 方 4f x - x+ 2= 0所有的 之 为 ( ) A. 6 B. 12 C. 14 D. 10 5 已知定义 R上的偶函数 f(x)满足 f(x) = f(2- x)，当 x∈ [0 , 1]时， f(x) = x.函数 g(x) = x2- 2x+ 2(-1< x< 3)， f(x)与 g(x)的图像所有交点的横 之 为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6 定义 R上的函数 f x 满足 f (-x) + f (x) = 0 , f (x) = f (2- x)；且当 x∈ [0 , 1]时， f(x) = x3- x2+ x． 方 7f(x) - x+ 2= 0所有的 之 为 ( ) A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 学科 (北京)股份有 公司 7 【题型 5】由对称性解函数不等式 一、具有中心对称的函数往往 要先移项，再 掉“f” 二、具有轴对称的函数 掉“f” 注意 绝对值符号 1 已知定义 R上的函数 f(x) [0 ,+∞)上单 ，且函数 f(x) - 1为奇函数， f(3x+ 4) + f(1- x)< 2的解 为 . 2 已知函数 y= f(x- 1)的图 关于 x= 1对称，且对 y= f(x)， x∈R，当 x1 , x2∈ (-∞ , 0] 时， f(x2)- f(x1) x2-x1 < 0成 ，若 f(2ax)< f(2x2+ 1)对任意的 x∈R恒成 ， a的可取值为 ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 1 已知函数 y= f 3x+1 为偶函数，且 0,+∞ 上为 函数，若 f x < f 2x+1 ， x 的 围 ． 2 ( 八中)已知 y= f x+1 为偶函数，若对任意 a , b∈ [1 ,+∞)， a≠b ，总有 af b  + bf a < af a + bf b 成 ， 不等式 f 2x < f 4 的解 为 ( ) A. -1,2  B. -2,2  C. 1 3 , 2 3  D. 1 3 , 2 3     学科 (北京)股份有 公司 8 【题型 6】由解析式看出对称性 一、具有中心对称的函数往往 要先移项，再 掉“f” 二、具有轴对称的函数 掉“f” 注意 绝对值符号 1 (安徽部 高一上期末)已知函数 f(x) = 2 1+3x ， f(-2024) +⋯+f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) +⋯+f(2024) = ( ) A. 4047 B. 4048 C. 4049 D. 4050 2 已知函数 f x = 2x+3 x-2 ， 下 叙述正 的 ( ) A. f x 的值域为 -∞,2 ∪ 2,+∞  B. f x  区间 -∞,2 上单 C. f x + f 4-x = 4 D. 若 x∈ x x>2,x∈Z ， f x 的最大值为 9 1 已知函数 f x = ax3+ bx- 2，若 f 2023 = 10， f -2023 = ． 2 已知函数 f(x) = x2- 2x+ a(3x-1+ 3-x+1)与 x轴有唯一交点， a= A. - 12 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 学科 (北京)股份有 公司 9 【题型 7】由解析式看出对称中心再解函数不等式 具有中心对称的函数往往 要先移项，再 掉“f” 1 已知函数 f x = 3 x+ x+ 1，若 f 1-m + f 2m > 2， m的取值 围 ( ) A. -1,+∞  B. 1,+∞  C. -∞,-1  D. -∞,1  2 已知函数 f(x) = 1 2024x - 2024 x- 2024x+ 4，若 f(a- 6) + f(a2)> 8， 实数 a的取值 围 1 (辽宁 联盟联考)已知函数 f(x) = 2 3x+1 - x 3+ 2， 不等式 f m2 + f(m- 2)< 6 的解 为 ( ) A. (-1 , 2) B. (-∞ ,-1) ∪ (2 ,+∞) C. (-2 , 1) D. (-∞ ,-2) ∪ (1 ,+∞) 2 已知函数 f(x) = 1 3x - 3 x- 2x+ 4，其中 e 自然对数的 数，若 f(a- 6) + f(a2) > 8， 实数 a的取值 围 ( ) A. (2 ,+∞) B. (-3 , 2) C. (-∞ ,-3) D. -∞,-3 ∪ 2,+∞  学科 (北京)股份有 公司 10 【题型 8】由解析式看出对称轴再解函数不等式 具有轴对称的函数 掉“f” 注意 绝对值符号 1 已知函数 f x = 2x-2+ 2-x+2， f x-1 > f 2x 的解 为 ． 2 ( 东 ·三模)已知函数 f x = x2-2x ⋅ 3x-1+31-x ， 满足不等式 f 2x < f 4 的 x取 值 围为 ( ) A. -∞,2  B. -1,2  C. 2,+∞  D. 1,2  1 已知定义 R上的函数 f x  -∞,2 上单 ，若函数 f x+2 为偶函数，且 f 3 = 0， 不等式 xf x > 0的解 为 ( ) A. 0,3  B. -∞,0 ∪ 1,3  C. -∞,0 ∪ 3,+∞  D. 0,1 ∪ 3,+∞  2 已知函数 f x = x2+ 2x+ 2-x，若不等式 f 1-ax < f 2+x2 对任意 x∈R恒成 ， 实数 a的取值 围 . 学科 (北京)股份有 公司 11 【题型 9】与对称性有关的材料题 结 材料得出结论，再解决问题 1 (多 ) 学习了函数的奇偶性 ， 学发现：函数 y= f x 为奇函数的充要条件 y= f x 的图 关于 原点成中心对称，可以引申为：函数 y= f x+a - b为奇函数的充要条 件 y= f x 的图 关于点P a,b 成中心对称.已知函数 f x = x3+mx2+ 2nx- 4的图 关于 2,0 成中心对称， 下 结论正 的 ( ) A. f 2 = 1 B. f 4 = 4 C. m+n=-1 D. f 2+x + f 2-x = 0 1 (多 )已知函数 y= f(x)的图 关于P(a , b)成中心对称图形的充要条件 y= f(x+ a) - b 奇函数，函数 y= f(x)的图 关于 x= a成轴对称图形的充要条件 y= f(x+ a) 偶 函数. 下 说法正 的 ( ) A. f(x) = x3- 3x2的对称中心为 (1 ,-2) B. f(x) = x4- 4x3+ 6x2- 4x关于 x= 1对称 C. f(x) = 2x+1x-1 的对称中心为 (1 ,-2) D. f(x) = x-2 x2-4x+5 的图 关于 (-2 , 0)对称 2 ( 南长 ·高一长 一中 考)我们知 ，函数 y= f x 的图 关于 原点成中心对 称图形的充要条件 函数 y= f x 为奇函数，有 学发现可以 其推 为：函数 y= f x 的 图 关于点P(a , b)成中心对称图形的充要条件 函数 y= f x+a - b为奇函数． (1)请 用 这 个 结 论 得 函 数 的 对 称 中 心 为 ． ( 2 ) 已 知 函 数 与一次函数 y = k x+1 - 3有两个交点 ， ， ． 学科 (北京)股份有 公司 12 【题型 10】通过表达式直接得出周期 (迭代) (1) 解与函数的 期有关的问题， 据 期定义，从而 出函数的 期． (2) 用函数的 期性，可以解决区间上的 值、 交点个数、 解析式等问题． 周期函数的常见条件 一、若 f(x) + f(x+ a) = c(c为 数)， f(x) 期为 2a. 证 ：令 x= x+ a⇒ f(x+ a) + f(x+ 2a) = c，两式相减得 f(x+ 2a) - f(x) = 0 即 f(x+ 2a) = f(x)，故T= 2 a  二、若 f(x+ a) = 1 f(x) ， T= 2 a (相对 见) 证 ：由 f(x+ a) = 1 f(x)，得 f(x+ 2a) = 1 f(x+a) = f(x)⇒T= 2 a  三、其它 期条件 设函数 y= f x ， x∈R， a> 0， a≠ b． (1)若 f x+a = f x-a ， 函数 f x 的 期为 2a； (2)若 f x+a =-f x ， 函数 f x 的 期为 2a； (3)若 f x+a =- 1 f x  ， 函数 f x 的 期为 2a； (4)若 f x+a = 1 f x  ， 函数 f x 的 期为 2a； (5)若 f x+a = f x+b ， 函数 f x 的 期为 a-b ； (6)若函数 f x 的图 关于直线 x= a与 x= b对称， 函数 f x 的 期为 2 b-a ； (7)若函数 f x 的图 既关于点 a,0 对称，又关于点 b,0 对称， 函数 f x 的 期为 2 b-a ； (8)若函数 f x 的图 既关于直线 x= a对称，又关于点 b,0 对称， 函数 f x 的 期为 4 b-a ； (9)若函数 f x  偶函数，且其图 关于直线 x= a对称， f x 的 期为 2a； (10)若函数 f x  奇函数，且其图 关于直线 x= a对称， f x 的 期为 4a． 四、 期与对称性的区 ⑴若 f x+a =±f x+b , f(x)具有 期性；若 f x+a =±f(b- x) , f(x)具有对称性： 口诀：“内 表示 期性，内反表示对称性” 学科 (北京)股份有 公司 13 1 已知函数 f x 对任意的 x∈R都有 f x+8 + f x = 4 f 4 ，若 y= f x+2 的图 关于点 -2,0 对称，且 f 3 = 3， f 43 = ( ) A. 0 B. - 3 C. 3 D. 4 2 已知函数 f 2x+5 的 期 3， f x 的 期为 (    )． A. 3 2 B. 3 C. 6 D. 9 1 已知函数 f x 对任意的 x∈R都有 f x+8 + f x = 4f 4 ，若 y= f x+2 的图 关于 点 -2,0 对称，且 f 3 = 3， f 43 = ( ) A. 0 B. - 3 C. 3 D. 4 2 (多 )已知 f x  定义 R上的函数，且对于任意实数 x恒有 f x+2 =-f x ．当 x ∈ 0,2 时， f x =-x2+ 2x． ( ) A. f x 为奇函数 B. f x  x∈ 2,4 上的解析式为 f x = x2- 6x+ 8 C. f x 的值域为 0,1  D. f 1 + f 2 + f 3 +⋅⋅⋅+f 2022 = 1 学科 (北京)股份有 公司 14 【题型 11】利用周期性求解析式 1 已知函数 f(x)满足 f(x+ 2) = f(x)，当 x∈ (-1 , 0)时，有 f(x) = 2x， 当 x∈ (-3，-2) 时， f(x)等于 ( ) A. 2x B. - 2x C. 2x+2 D. - 2-(x+2) 1 设 f(x) 期为 2的奇函数，当 0< x< 1时， f(x) = x3+ x， 1< x< 2时， f(x) = ． 2 设 f (x) 定义 R上的 期为 2的偶函数，已知 x ∈ [2 , 3]时， f (x) = x， x ∈ -2,0 时， f(x)的解析式为 f(x) = ( ) A. x+ 4 B. 2- x C. 3- |x+ 1| D. 2- x+1  3 已知函数 f x  定义 R上的偶函数，且 y= f x 的图 关于直线 x= 2对称． (1)证 ： f x  期函数． (2)若当 x∈ -2,2 时， f x =-x2+ 1，求当 x∈ 2,6 时， f x  的解析式． 学科 (北京)股份有 公司 15 【题型 12】由对称性进而得出周期 一、若 f(x)关于 x= a b,c 对称， T= 4 a-b (类比三角函数) 证 ：由对称轴可得 f(x) = f(2a- x)， 由对称中心可得 f(x) + f(2b- x) = 2c⇒ f(x) = 2c- f(2b- x) 有 f(2a- x) = 2c- f(2b- x)， 令 x= 2a- x， 有 f(x) = 2c- f(2b- 2a+ x)⇒ f(x) + f(2b- 2a+ x) = 2c， 故T= 2 2a-2b = 4 a-b  三、若 f(x)关于 a,c  b,c 对称， T= 2 a-b (类比三角函数) 证 ：由对称性可得 f(-x)+ f(x+2a)=2c f(-x)+ f(x+2b)=2c  ， f(x+ 2a) = f(x+ 2b)，故T= 2a-2b  四、若 f(x)关于 x= a x= b对称， T= 2 a-b  证 ：由对称性可得 f(-x)= f(x-2a) f(-x)= f(x-2b)  ⇒ f(x- 2a) = f(x- 2b)，故T= 2a-2b  1 设 f x  定义域为R的奇函数，且 f 1+x = f -x .若 ， f 53 = ( ) A. B. C. D. 2 已知函数 f x  奇函数，且满足 f (x) = f (x + 3)，若当 x ∈ 0, 32 时， f (x) = x， f(2021) = . 3 函数 y= f x  y= f x-2  为R上的奇函数，若 f 1 = 2， f 2023 = ( ) A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 2 4 已知函数 f x 的定义域为 ， f x+2 为偶函数， f 2x+1 为奇函数， ( ) A. B. C. f 2 = 0 D. f 4 = 0 学科 (北京)股份有 公司 16 5 ( 八中 2024期末)设函数 f x 的定义域为R， f x+1 为奇函数， f x+2 为偶函数，当 x∈ 1,2 时， f x = ax2+ b.若 f 3 + f 4 = 6， f 133 = ( ) A. - 43 B. 32 9 C. 14 9 D. 4 3 6 ( 淮安、南 )已知奇函数 f x 的图 关于直线 x= 1对称，当 x∈ 0,1 时， f x = 2x+ b， f 20232 = ( ) A. - 1- 2 B. 1- 2 C. 2+ 1 D. 2- 1 7 (多 )已知偶函数 f(x)的定义域为 ， 为奇函数，且 f(x) 上单 ， 下 结论正 的 ( ) A. B. f 4 3 > 0 C. f(3)< 0 D. 8 ( 2024 高一上期末 ) (多 ) 已知函数 满足：对任意的 ，都存 ，且 ， ( ) A. 奇函数 B. C. 的值域为 D. f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(18) + f(19) = 0 9 函数 f x 的定义域为 R，且满足 f x = 2 - f -x = f 2-x ，若 f 1 = 3， f 1 + f 2 + f 3 +⋯+f 2023  f 2 + f 4 + f 6 +⋯+f 2024 = ( ) A. 2023 1012 B. 2024 1013 C. 2 D. 1 10 已知函数 f x 的定义域为 ，且 f x+2 - 2为奇函数， f 3x+1 为偶函数， f 1 = 0， 学科 (北京)股份有 公司 17 f 1 + f 2 ++ f 3 +⋯+f 2024 = ( ) A. 4036 B. 4040 C. 4044 D. 4048 11 已知函数 f x 的定义域为 ， f x-2 为偶函数， ，当 x∈ -1,0  时， f x = x+ 1， f 1 + f 2 ++ f 3 +⋯+f 19 = ( ) A. B. C. D. - 1 12 设函数 f(x)定义域为 ， f(2x- 1)为奇函数， 为偶函数，当 x∈ [0 , 1]时， f(x) = x2- 1， ( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 13 (多 )已知函数 f x 的定义域为 R，若 f 2x-1 + f 3-2x = 2，且 f x-2 为偶函数， f 2 = 2， ( ) A. f x+4 = f x  B. f 2024 = 0 C. f 3 + f 9 = 2 D. 25 i=1 f i  = 25 14 已知定义 上的函数 f x 满足： ，且 f 0 = 2． 若 i∈N *， f 1 + f 2 ++ f 3 +⋯+f 2024 = ( ) A. 506 B. 1012 C. 2024 D. 4048 1 (2024· 南长 )已知定义 R上的函数 f x  奇函数，对任意 x∈R都有 f x+1 = f 1-x ，当 f -3 =-2时， f 2023 等于 ( ) A. 2 B. - 2 C. 0 D. - 4 学科 (北京)股份有 公司 18 2 (2024·辽宁营口·期末)设函数 f x 的定义域为R， f x+1 - 3为奇函数， f x+2 为 偶函数，当 x∈ 1,2 时， ．若 ， f 20232 = ( ) A. - 3712 B. C. D. 2 3 3 设函数 f x 的定义域为 R， f x+1 为奇函数， f x+2 为偶函数，当 x∈ 1,2 时， f(x) = ax2+ b．若 ， f 92 = ( ) A. - 94 B. C. D. 4 (2024·内蒙古 贝 ·二模)已知定义 R上的函数 f x 满足 f 2+x - f 2-x = 4x．若 f 2x-3 的图 关于点 2,1 对称，且 f 0 = 0， f 1 + f 2 +⋅⋅⋅+f 50 = ( ) A. 0 B. 50 C. 2509 D. 2499 5 (2024·全国·三模) (多 )已知函数 f x 定义域为R且不恒为零，若函数 y= f 2x-1  的图 关于直线 x= 1对称， y= f 2-x + 1的图 关于点 0,1 对称， ( ) A. f x+6 = f x  B. f 10 = 0 C. x= 7 f x 图 的一条对称轴 D. 56,0  f x 图 的一个对称中心 学科 (北京)股份有 公司 19 【题型 13】由条件不等式构造新函数解不等式 过构 新函数来解决问题 见的构 函数模 (1) x1 f x1 -x2 f x2  x1-x2 ⇒ g(x) = xf(x) (2) f x2 - f x1  x2-x1 > a⇒ g(x) = f(x) - ax (3) x1-x2  f x1  x2 - f x2  x1      ⇒ g(x) = f(x) x 1 若函数 f x  定义域为R，且对∀ x1 , x2∈R，且 x1< x2，有 f x1 - f x2 < x2- x1，不等 式 f x - f 2-x + 2x> 2的解 为 ( ) A. -1,+∞  B. 0,+∞  C. 1,+∞  D. 2,+∞  2 (厦门 2024高一上期末)已知定义 R上的奇函数 f(x)满足① f(2) = 0；②∀ x1， x2∈ (0 , +∞)，且 x1≠ x2， x2 f x2 -x1 f x1  x2-x1 > 0， f(x) x > 0的解 为 ( ) A. (-∞ ,-2) ∪ (2 ,+∞) B. (-2 , 0) ∪ (0 , 2) C. (-∞ ,-2) ∪ (0 , 2) D. (-2 , 0) ∪ (2 ,+∞) 3 ( 东 宁 期末)已知函数 f x  定义 R上的偶函数，若∀ a， b∈ 0,+∞ ，且 a≠ b， 都有 af a -bf b  a-b < 0 成 ， 不等式 f 1 t - 2t2-t f 2t-1 > 0的解 为 ( ) A. -1,0 ∪ 12 ,+∞  B. - 1 2 ,0 ∪ 1,+∞  C. -∞,-1 ∪ 12 ,+∞  D. -∞,- 1 2 ∪ 1,+∞  学科 (北京)股份有 公司 20 4 ( 盐 一中 2024期末)已知 f x 为 R上的奇函数， f 2 = 2，若对于 ∀ x 1， x 2 ∈ 0,+∞ ，当 x1> x2时，都有 x1-x2  f x1  x2 - f x2  x1      < 0， 不等式 x+1 f x+1 > 4的 解 为 ( ) A. -3,1  B. -3,-1 ∪ -1,1  C. -∞,-1 ∪ -1,1  D. -∞,-1 ∪ 3,+∞  5 已知偶函数 f x 的定义域为 x∈R x≠0 ，且有 f 2x = 8f x ， f 1 = 1，若对∀ x1， x2∈ 0,+∞ ，都有 x1-x2 x22 f x1 -x21 f x2 > 0， 不等式 f x  2x ≥ x的解 为 . 1 ( 北 武 联考期末)已知函数 f x  定义 R上的偶函数，若∀ a , b∈ 0,+∞ ， 且 a≠ b，都有 af a -bf b  a-b < 0 成 ， 不等式 f 1 t - t2-2t f t-2 > 0的解 为 ( ) A. 1- 2 ,0 ∪ 0,1+ 2  B. -∞,1- 2 ∪ 1+ 2 ,+∞  C. -∞,-1 ∪ 12 ,+∞  D. -∞,- 1 2 ∪ 1,+∞  2 设 f (x) 定义 上的奇函数，对任意的 ， x 2 ∈ (0 ,+∞)， x 1 ≠ x 2，满足： ，若 f(2) = 4， 不等式 f(x) - 2x≤ 0的解 为 . 学科 (北京)股份有 公司 21 3 (多 )定义 R上的函数 f(x)满足 f(3- x) - f(3+ x) = 4x，函数 f(2x+ 1)的图 关于 (0 , 2)对称， ( ) A. 8 f(x)的一个 期 B. f(2) = 4 C. f(x)的图 关于 (1 , 2)对称 D. f(2025) =-4046 4 定义 R上的函数 f x 满足： f x - f -x = 2x，且对于 0,+∞ 上的 x1 , x2 x1≠x2  有： f x2 - f x1  x2-x1 > 1. 关于 f x - f 1-2x2 > 2x2+ x- 1的不等式解 为 . 5 (中 2024高一上期末) (多 )设偶函数 的定义域为 ，且满 足 ，对于任意 ，都有 成 ( ) A. 不等式 的解 为 B. 不等式 的解 为 C. 不等式 的解 为 D. 不等式 的解 为 学科 (北京)股份有 公司 22 【题型 14】类周期函数与倍增函数 类 期函数的定义：若 y= f(x)满足： f(x+m) = kf(x)或 f(x) = kf(xm)， y= f(x)横 每 m个单 ， 函数值扩大 k倍．此函数称为 期为m的类 期函数． 1、类 期函数 若 满足： 或 ， 横 每 个单 ， 函数值扩大 倍．此函数称为 期为 的类 期函数． 2、倍 函数 若函数 满足 或 ， 横 每扩大 倍， 函 数值扩大 倍．此函数称为倍 函数． 1 设函数 f(x)的定义域为R，且 f(x) = 1 2 f(x+ 2)， f(2) = 1， f(20) = ． 2 定义 R上函数 f x 满足 f x+1 = 1 2 f x ，且当 x∈ 0,1 时， f x = 1- 2x-1 ， 得 f x ≤ 116 m,+∞ 上恒成 的m的最 值 ． 3 已 知 函 数 f x 的 定 义 域 为 ， 满 足 ， 且 当 x ∈ 0,1 时 ， ， 的值为 ． 学科 (北京)股份有 公司 23 4 定义 上的函数 满足 ，且当 时， ， 当 时， 的值域为 ( ) A. B. C. D. 1 设函数 f x 的定义域为R，且 f x+4 = 2f x ，当 x∈ 0,4 时， f x = 2x2- 8x，若 对于∀ x∈ -∞,t ，都有 f x ≥- 32 恒成 ， t的取值 围 ( ) A. -∞,-7  B. -∞,-5  C. -∞,-3  D. -∞,-1  2 设函数 f x 的定义域为R，满足 f x = 2f x-2 ，且当 x∈ 0,2 时， f x = x 2-x ． 若对任意 x∈ -∞,m ，都有 f x ≤ 3， m的取值 围 ( ) A. -∞, 5 2  B. -∞, 7 2  C. -∞, 9 2  D. -∞, 11 2  3 已知定义 上的函数 y = f x ，满足 ，当 x ∈ 0,2 时， ，若方 f x = a 区间 内有实数解， 实数 的取值 围为 . 学科 (北京)股份有 公司 24 【题型 15】已知一个对称轴 (中心)和周期 已知一个对称轴轴 (中心) 期的问题不能直接套用结论来得出另一个对称中心 (轴) 1 已知 f x  期为 的函数，且∀ x∈R都有 ， f 2024 = ( ) A. B. C. D. 2 若偶函数 f(x)对任意 x∈R都有 f(x+ 3) =- 1 f(x) ，且当 x∈ [-3 ,-2]时， f(x) = 4x， f 113 = ． 3 已知函数 的定义域为 ，且满足 偶函数， ，若 ， h(-103) + h(-102) + h(-101) +⋯+h(102) + h(103) = ( ) A. 202 B. 204 C. 206 D. 208 4 (多 )已知定义 上的函数 满足 ，且 奇 函数. ( ) A. B. C. = + D. f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2023) + f(2024) = 2024 1 函数 f x 的定义域为 R，且 f x+2 =- f x+1 - f x ， f x = f 2-x ， f 365 = -1， f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2023) = . 学科 (北京)股份有 公司 25 2 已知函数 f x 的定义域为 R，且满足 f x + f x+4 = f 21 ， f 8-x = f x-4 ， f 0 = 1， f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2025) = . 3 定义 R上的函数 f x 满足 f 2x+1 + f 2x-1 = f 2022 ， f x+1 = f -x+1 ，若 f 1 2 = 1 2 ， f 2022 = ， f 12 + 2 f 3 2 + 3 f 5 2 + 4 f 7 2 +⋯+200 f 399 2  . 4 已知函数 f x 的定义域为R，且 ， f 2x+1 为奇函数， f 12  = 12 ， f 1- 1 2 + 2f 2- 1 2 + 3f 3- 1 2 ⋯+21f 21- 1 2 + 22f 22- 1 2 = ( ) A. - 11 B. C. 0 D. 5 定义 R上的函数 f(x)满足 f(x+ 1) + f(x- 1) = f(2022)， f(-2x+ 1) = f(2x+ 5)，若 f 1 2 = 1 2 ， f(2022) = ， f 1 2 + 2 f 3 2 + 3 f 5 2 + 4 f 7 2 +⋯+100 f 199 2 = ． 学科 (北京)股份有 公司 26 【题型 16】两个函数混合型 两个函数混 的对称性 期性问题一 先 过等式的 减运算 掉其中一个函数，得 只 有 另外一个函数的等式，再 析对称性 期 双函数性质： ⑴双函数 自对 的对称中心 对称轴等性质 ⑵双函数之间存 互相转化或者互相表示的函数等 关系 1 ( 东 头 金 中学高一上学期期末考试数学试题) (多 )已知函数 ， 的定 义域 为 ，且 ， ，若 y= f x 的图 关于直线 对称， 以下说法正 的 ( ) A. 为奇函数 B. C. ， D. 若 的值域为 ， 2 已知函数 f x , g x 的定义域 为R , f x + g 2-x = 5 , g x - f x-4 = 3，若 g x+2  偶函数且 f 0 = 0， f 1 + f 2 ++ f 3 +⋯+f 2024 = ( ) A. 0 B. 4 C. 2023 D. 2024 3 已知函数 f(x)， g(x)的定义域 为R， f(3x+ 1)为奇函数， g(x+ 2)为偶函数， f(x+ 1) + g(1- x) = 2， f(0) =- 12 ， g 1 + g 2 + g 3 +⋯+g 102 = ( ) A. - 51 B. 52 C. 415 2 D. 409 2 学科 (北京)股份有 公司 27 4 已知函数 f x , g x 的定义域 为 R , g x+4 - 3 奇函数，且 ， ， ( ) A. g 4 = 3 B. f x 为奇函数 C. g x+2 为偶函数 D. f 1 + f 2 ++ f 3 +⋯+f 175 = 174 5 已 知 函 数 的 定 义 域 为 奇 函 数 ， 且 图 关于 对称， ， ( ) A. 4 B. 8 C. D. 1 已知函数 的定义域 为 R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ， f 1 + f 2 ++ f 3 +⋯+f 22 = ( ) A. B. C. D. 2 已知函数 f x 、 g x 的定义域 为R，函数 f(2x- 1) + 1的图 关于原点对称，函数 g(x+ 1)的图 关于 y轴对称， f(x+ 2) + g(x+ 1) =-1 , f(-4) = 0， f(2030) - g(2017) = ( ) A. - 4 B. - 3 C. 3 D. 4 学科 (北京)股份有 公司 28 3 已知函数 f x 的定义域为R，令 g x = f x+1 - 2，若函数 g x 为奇函数， g x+1  为偶函数，且 f 2 = 1， g 1 + g 2 + g 3 +⋯+g 2023 = ． 4 (多 )已知函数 f x 与 g x 的定义域 为 R， f x+1 + g x-2 = 3， f x-1 - g -x = 1，且 g -1 = 2， g x-1 为偶函数，下 结论正 的 ( ) A. f x 的 期为 4 B. g 3 = 2 C. g 1 + g 2 + g 3 +⋯+g 2024 = 4048 D. f 1 + f 2 ++ f 3 +⋯+f 2024 = 4048 5 (2024· 南衡 ) (多 )已知函数 f(x)， g(x)的定义域为R，若函数 g(x+ 1) - 1 奇 函数，函数 f(x+ 1) 偶函数， f(3) = 1，且 f(x) - g(1+ x) = 2. 下 结论正 的 ( ) A. 函数 f(x)图像关于直线 x= 2对称 B. 函数 g(x)为偶函数 C. 4 函数 g(x)的一个 期 D. g 1 + g 2 + g 3 +⋯+g 36 = 36 学科 (北京)股份有 公司 29 【题型 17】抽象函数赋值计算 赋值法 解抽 函数问题最基本的方法，一 有以下几种： 1、⋯⋯-2，-1 , 0 , 1 , 2⋯⋯等特殊值代入 解 1 已知函数 f x 满足 ， 下 结论中正 的 ( ) A. f 1 4 =-2 B. f 2 = 0 C. f 4 = 1 D. f 8 = 2 2 已知定义 0,+∞ 上的函数 f x 满足 ， 的值为 ( ) A. 15 2 B. C. D. 3 已知函数 f x 的定义域为 R，若 对任意实数 x， y都成 ， f 0 = ； . 1 已知 f ( x ) 定义 上且不恒为零的函数，对于任意实数 ， 满足 ，若 f 2 = 2， ． 2 已知定义域为 的函数 f x ，满足 ，且 f 0  ≠ 0， f -2 = 0， f 2 = . 学科 (北京)股份有 公司 30 3 已知函数 f x 对任意 ，恒有 ，且 f 1 =-1， ( ) A. f 0 =-1 B. f 2 = 6 C. f 0 =-2 D. f 2 = 2 4 已 知 函 数 f x  的 定 义 域 为 ， 且 ， ， 的值 ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【题型 18】抽象函数的单调性与奇偶性 1、证 奇偶性： 用定义 赋值的方法找 f(-x)与 f(x)的关系 2、 断抽 函数单 性的方法： (1)凑：凑定义或凑已知, 用定义或已知条件得出结论; (2)赋值：给变 赋值要 据条件与结论的关系.有时可能要进行多次 试. ①若给出的 “ ”抽 函数 ， 断符号时要变形为： 或 ; ②若给出的 “积 ”抽 函数 ， 断符号时要变形为： 或 . 1 已知 f x  定义 R上的函数，且对任意实数 ， . (1)若 f 1 =-2，求 f 12 ， f 2 3 的值. (2)若 x> 0时恒有 f x < 0，试 断函数 f x 单 性，并说 理由. 学科 (北京)股份有 公司