第4章 第2讲 一般三角形及其性质-【中考宝典】2024年中考数学(深圳专用版)

第二部分 知识梳理 第2讲一般三角形及其性质 命四分折 深圳近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 三角形的中位线 题6,3分 题5,3分 多边形 题13,4分 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的 稳定性 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌提它的推论：三角形的外角等于与它 新课标要求 不相邻的两个内角的和 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边 4.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线：探索并掌握 多边形内角和与外角和公式 考 点知识梳理 考点口三角形的分类 核心笔记 【跟踪训练】 1按角分类： 1.下列说法不正确的是 锐角三角形 A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 三角形纯角三角形 直角三角形 B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 2.按边分类： C.有两个角互余的三角形是直角三角形 「三边都不相等 D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 三 的三角形 2.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,如果按角分类，那么 南 底边和腰不相等 多 等腰三角形的等腰三角形 △ABC是 三角形 等边三角形 3.在△ABC中，如果∠A:∠B:∠C=1:3:5,那么△ABC是 三角形（按角分类）. 考点②三角形的边角关系 哑核心笔记 1,三角形三边关系： (1)三角形的任意两边之和大于第三边： (2)三角形的任意两边之差小于第三边. 2.三角形的内角和等于180°.三角形的外角和等于360. 推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 1294。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 【跟踪训练】 4.下列长度的三条线段能组成三角形的是 A.3,3,6 B.3,5,10 C.4,6,9 D.4,5,9 5.某班学生对三角形内角和为180°展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明△ABC的内 角和为180°的是 ...D B D 过，点A作AD I BC 延长BC到点D,过，点C作CE NAB 过点A作AD⊥BC于点D 过BC上一，点D作DE AC.DF AB A B C D 考点③三角形中的重要线段 核心笔记 守【跟踪训练】 1.三角形的中线： 6.不一定在三角形内部的线段是 性质：BD=CD= A.三角形的角平分线 重心：三角形三条中线的交点 B.三角形的中线 应用：中线平分三角形的对边，除此之外，每一条中 C.三角形的高 线将三角形分成面积相等的两部分：S△D=S△D, D.三角形的中位线 2.三角形的高： 性质：AE⊥BC:即∠AEB=∠AEC=90: 7.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB,DE∥OB 垂心：三角形三条高的交点： 交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2, 应用：与三角形面积有关. 则OD的长为 3.三角形的角平分线 性质：∠1=∠2=2∠BAC: 内心：三角形三条角平分线的交点， 内心到三角形三边的距离相等， 应用：利用角平分线上的点到角两边的距离相等. A.2 B.23 C.4 D.5 4,三角形的中位线 8.一个三角形的三条边的长度分别为3,4,5，则 性质：GH/BC,GH=BC: G 这个三角形最长边上的中线长为 应用：在三角形中遇到中点时，常构 9.如图，在△ABC中，点D,E分别是 造中位线. AB和AC的中点，S四边形m=15, 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平 则S△Ax= ( 行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中 位线 A.30 B.25 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点 C.22.5 D.20 且与另一边平行的线段，是三角形的中位线. 10.如图，AD是△ABC的中线，AB=8cm, △ABD与△ACD的周长差 为2cm,则AC= cm. ●》130。 第二部分 知识梳理 考点④多边形 核心笔记 a【跟踪训练】 1.由n边形的一个顶，点可以引(n一3)条对角线，它们 11.从一个多边形的一个顶点可以引2023条对 将n边形分为不重叠的(n一2)个三角形，n边形共 角线，则这个多边形的边数为 ( 有。》条对角线。 A.2021 B.2023 2.正多边形的各边相等，各角相等。 C.2025 D.2026 3.多边形的内角和公式(n一2)·180(n>2,n为整数). 12.一个n边形从一个顶点出发最多引出7条对 4.任意多边形的外角和等于360°. 5.银嵌：同一顶点的角之和为360°. 角线，则”的值为 6.三角形有稳定性，四边形没有稳定性 13.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之 比为 ( A.13 B.12 C.2:1 D.31 例 考点☑三角形内、外角和定理 例1.(2023春·绿园区期末)如图，∠ACD是 变1.如图，AE是△ABC的外角∠CAD的平 △ABC的外角，CE平分∠ACD交BA的延长分线，且AB=AC,∠ABC=65°，则∠DAE 线于点E,已知∠B=35°，∠E=25°，则∠ACD 的度数为 考点2三角形的重要线段 常考题型：1.利用三角形的重要线段求角度、线段长；2.利用三角形的重要线段求面积. 例2.以下列每组数为长度（单位：cm)的三根小变2.在△ABC中，BC=3,AC=4,下列说法错误 木棒，其中能搭成三角形的是 的是 ( A.2,2,4 B.1,2,3 A.1<AB<7 C.3,4,5 D.3,4,8 B.S△≤6 C.△ABC内切圆的半径r<1 D.当AB=√7时，△ABC是直角三角形 131《 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 考点3三角形中的重要线段 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2022春·南岗区校级期中)如图，在 (1)证明：，BE平分∠ABC, △ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高， ∴.∠ABE=∠DBF, BE为三角形的角平分线，AD与BE相交于 ,AD是△ABC的高， 点F .AD⊥BC, (1)求证：∠AFE=∠AEF; ∴∠BDF=90°， (2)若BC=13,AC=12,AB=5,求AD的长度. :∠FBD+∠BFD=90°，∠ABE+∠AEF=90°， (1) ∴∠BFD=∠AEF, '∠BFD=∠AFE, ∠AFE=∠AEF:…4分 (2)解：∠BAC=90°， ∴.BA⊥AC,AD⊥BC, (2) ∴.S△we= 2AD·BC=2AB·AC,…6 AD=5X12_60 13 13 即AD的长度为3 0 ………8分 满分：8分 实得： 例3.(2022·荆门)如图，点G为△ABC的重变3.(2022·株洲)如图所示，点O在一块直角三 心，点D,E,F分别为BC,CA,AB的中点，具有角板ABC上（其中∠ABC=30),OM⊥AB于点 性质：AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1.已知M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO= △AFG的面积为3，则△ABC的面积为 度 >132 第二部分知识梳理 核©考点御练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：/5】 考点口三角形的内角和外角 1.(2023·巴中模拟)下列说法正确的是 A.三角形的一个外角等于它的两个内角之和 B.三角形的角平分线是射线 C.三角形至少有一条高在三角形内部 D.x=2是不等式一x十1<0的解集 考点2三角形的高、中位线 2.(2023·长沙模拟)下面的说法正确的是 A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B.直角三角形的高只有一条 C.三角形的高至少有一条在三角形内 D.钝角三角形的三条高都在三角形外面 3.(2022·常州)如图，在△ABC中，点E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1， 则△ABD的面积是 考点③三角形与多边形 D 4.(2023春·清苑区摸拟)如图所示，点A,B,C,D是一个外角为40的正多边形的顶点，若O为正多 边形内一点，且到各顶点的距离相等，则∠OAD的度数为 A.14° B.40° C.30 D.15 5.(2023春·隆回县模拟)下列多边形中，具有稳定性的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.三角形 (二)能九提升 【建议用时：5分钟 正确率：/7】 1.(2023·汨罗市一模)下列命题中是假命题的是 ( A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 B.如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等 C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2.(2023春·惠山区模拟)下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②直角三角形 只有一条高：③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的外角和就增加180°：④在△ABC中， 若∠A=2∠B=号∠C.则△ABC为直角三角形，其中正确的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ●》133。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 3.(2023·澧县模拟)如图，把图(a)称为二环三角形，它的内角和 ∠A+∠B+∠C+∠A,+∠B,+∠C:把图(b)称为二环四边 形，它的内角和∠A十∠B+∠C+∠D+∠A:+∠B,+∠C+ ∠D:依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 度.（用含n的式子表示） 4.(2023·达川区模拟)给出下列说法： ①从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离：②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外：④任何一个三角形都有三 条高、三条中线，三条角平分线：⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内. 正确的说法有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2023春·锦江区模拟)已知m是正整数，且关于x的不等式x一m≤0只有5个正整数解，则正m 边形的一个外角的大小为 6.(2023春·单县模拟)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,点D 是∠ACF与∠ABC平分线的交点，点E是△ABC的两外角平分线的交点，若 ∠B0C=130,则∠E-∠D的度数=一 7.(2023·西宁二模) 1)如图1，E知AD是△ABC的角平分线，请证明光部： (2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，连接AD,将△ACD沿AD所在直线折 叠，点C恰好落在AB边上的点E处.若AC=1,AB=2,求DE的长. 134● 第二部分知识梳理 保圳中考你往行 1.(2019·深圳)下面命题正确的是 A.矩形对角线互相垂直 B.方程x2=14x的解为x=14 C.六边形内角和为540 D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 2.(2022·深圳模拟)如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则 ∠1十∠2的度数为 ( A.120 B.180° C.240 D.300 60 (第2题图) (第3题图) 3.(2023·深圳模拟)如图，AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE,则下列结论中不一 定成立的是 () A.DC=DE B.AB=2DE C.SACDE= 1 D.DE∥AB 创新考击 ● 【新考法】如图：欲将一块四边形的耕地中间一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，请 在图中画出这条直线（保留作图痕迹） (写结论) 总结反思： m请完成精练本第35一36页习题 ●》1354。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 特训营二【专题篇】 遇到中点如何添加辅助线 方法一已知中点，考虑中位线性质 核心笔记 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线定 理来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型 D 可以解决线段之间的倍半、相等及平行问题 取另一边中点 狗造中位线 w【跟踪训练】 1.(2023·尉氏县二模)数学课上，马老师画好图后并出示如下内容：“已知AB为⊙O的直径，⊙O过 AC的中点D,DE为⊙O的切线. (I)求证：DE⊥BC; (2)数学课代表小华举手发言说：如果添加条件“DE=2,tanC= 2,则能 求出⊙O的直径.”马老师认为小华说的非常棒！下面请你写出求解过程. 【综合训练】 1.(2023·灵宝市二模)综合与实践 [经典再现] 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证AE=EF,(提示：取AB的中点H,连 接HE.) (1)请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构 造出 ,进而得到AE=EF: [类比探究] (2②)如图2，四边形ABCD是矩形，且提=，点E是边5C的 图1 困2 3 中点，∠AEF=90,且EF交矩形外角的平分线CF于点F,求票的值（合n的式子表示）： ●136。 第二部分知识梳理 [综合应用] (3)如图3，点P为边CD上一点，连接AP,PF,在(2)的基础上.当n=号，∠PAE=46,PF=5时，请直 接写出BC的长 方法二已知斜边中点，考虑斜边上的中线性质 审核心笔记 在三角形中，当遇见中线时，经常会考虑中线的性质： 1.任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分，中线都把三角形分成面积相等的两个部分 除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分 2.三角形中中线的交点为重心，重心分中线为2：1（顶，点到重心：重心到对边中点） 3,在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半。利用直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形△ACD和△BCD。如果是两直角三角 形共斜边，那么还有隐形国模型，斜边的中点即为该圖的阎心 构造直角三角形 纤边上的中线 w【跟踪训练】 1.如图1，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高线，M,N分别是线段BC,DE的中点. (1)求证：MN⊥DE: (2)连接DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系，并说明理由： (3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC,其余条件不变， 如图2，直接写出∠BAC与∠DME之间的关系. 》137 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 【综合训练】 L.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,点M是BC的 中点，点P是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是 A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2023秋·泉州)如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD⊥BC于点 D,∠ABC的平分线分别交AC,AD于E,F两点，M为EF的中点，AM的延长 线交BC于点N,连接DM,下列结论：①DF=DN:②DM=MN:③NF垂直平 分AB:④AE=NC,其中正确结论有 3.(2022·佛山市二模节选)如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与 点C,D重合)，以CE为边向右作正方形CEFG,连接AF,点H是AF的中点， 连接DH,CH.求证：△ADH≌△CDH. 方法三遇过中点的垂线，考虑垂直平分线的性质 审核心笔记 1.中垂线的定义：经过莱一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线 2.逼过中点的垂线，考虑垂直平分线的性质： (1)垂直平分线垂直且平分其所在线段. (2)垂直平分线上任意一点，到线段两端，点的距离相等. (3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等（且距离最短， 只有这一条)等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相 等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到“边等、角等、三线合一” C连接中点B叫 ●》138。新课标中考宝典·数学（深圳专用版】 ,A0=3-t,0Q=6-21, ∠B=50, 7.(1)证明：过点C作CE∥AB,交AD的 .CQ=21-3. .∠BCE=130°， 延长线于点E,如答图 QH-2PH.C'H-3PH. ,CA平分∠BCE, ∴PH=号CQ-号2-3 ∠ACE=∠BCE=65. AB∥CE, .∠A=∠ACE=65 S=一号++是，综合以上可得 核心考点讲练 .∠BAD=∠E, (一)基础过关 又，∠ADB-∠EDC(对顶角相等)， [-2f+30<4<. 1.A2.B3.B4,A5.B6,D7.5 ∴：△ADB△EDC(两角分别相等的两 个三角形相似)， 1<< 8.4 (二)能力提升 “望-品（相以三角形的对应边收比 1.B2.B3.B4.C5.C 6.证明：方法一： 例)， (3)令F(-1.t),则MF :AD平分∠BAC, 、m+D+a-,ME-号- ∠BAD=∠CAD, 又：∠BAD=∠E, ME-MF-MF-ME- D ∴∠CAD=∠E, 如图，过点E作MN∥AB, -5 六(m+1)+(n-)=(7 AC=C(等角对等边.…是部 AB∥CD, (2)解：在R1△ABC中，∠BAC=90°，AC .AB∥CD∥MN, .m2+2m+1+1-2at= 17289 +16 =1,AB=2, .∠A=∠AEM.∠C=∠CEM. :n=-m-2m十3， :∠AEC=∠AEM+∠CEM, 则BC-AC+AB=5. ∴m2十2m一3=一见 ∠AEC=∠A+∠C 由折叠的性质可知∠CAD=∠BAD,DC 3-n+1+1-2m= 17289 2+16, 方法二： =DE. 如图，延长AE,交CD于点F, f-2w+受。一瓷-=0，当1=时，上 可知品即 1 CD 5-CD ，解得CD 式对于任意n恒成立∴存在（一1，马 -5DE=g 深圳中考你在行 第四章三角形 C 第1讲线、角、相交线与平行线 AB∥CD. 1.D2.C3.A .∠A=∠AFC, 创新考法 考点知识梳理 :∠AEC=∠C+∠AFC, 解：如图，直线MF即为所求 1.D2.C3.C4.B5.C6.C7,D 8.C9.A10.B11.C12.D ∠AEC=∠A+∠C 例题精讲 深圳中考你在行 例1：B变1：C 1.B2.D3.C4.A 例2：C变2：B 创新考法 B 例3：(1)证明：：AD∥BC,AB∥CD. .∠FED=∠FBC,∠2=∠F, 第2讲一般三角形及其性质 BF平分∠ABC,∴∠2=∠FBC, 考点知识梳理 特训营二【专题篇】遇到中点如何 .∠F=∠FED,∴DE=FD: 1.A2.锐角3.饨角4.C5.C6.C (2)解：∠1=150， 7.C8.2.59.D10.611.D12.10 添加辅助线 变3：解：(1)AB∥CE 13.D 方法一 理由：，∠1+∠2=180°（已知）， 例题精讲 【跟踪训陈】 例1：120变1：65 1.(1)证明：如答图，连接OD. .DE∥C文同傍内角互补，两直线平行. ∠ADF=∠B(两直线平行，同位角 例2：C变2：C 相等)， 例3：18变3：15 :∠B=∠E(已知)， 核心考点讲练 :∠ADF=∠F(等量代换)， (一)基础过关 .AB∥CE(内错角相等，两直线平 1.C2.C3.24,C5.D 答图 行)， (二)能力提升 :DE为⊙O的切线，OD⊥DE, (2),AB∥CE. 1.B2.A AD-DC.AO=OB. .∠B+∠BCE=180, 3.360(m-2)4.B5.72°6.10 ∴.OD∥BC,DE⊥BC: 12 敬学参考答案 (2)解：连接BD,如答图， ∴.∠BMD+∠CME=(180'-2∠ABC) 【综合调练】 在△cDE中，mC-既-专，DE-2 DE +(180'-2∠ACB) 1.证明：选择方法一：如题图1，在AB上取 =360°-2（∠ABC+∠ACB 一点D,使得BC=BD,连接CD 则C=4,由勾股定理得CD= =360°-2180°-∠A) ∴∠BCD=∠BDC. √CE+DE=25, =2∠A. ∠ACB=90°，∠A=30°， .BD=5, .∠DME=180°-（∠BMD+∠CME) .∠B=180°-902-30°=60. ∴，BC=√BD+CD=5, =180-2∠A: ∴.∠BCD=∠BDC=60°， :AB为⊙O的直径， (3)解：∠DME=2∠BAC-180 .△BCD是等边三角形， .∠ADB=90, 【综合训练】 .BC=CD. AD-DC. 1.B .∠ACD=90°-60°=30°. ∴.AB=BC=5.即⊙O的直径为5. 2.①②④ ∴.CD=AD,.BC=AD=BD. 【综合训练】 3.证明：连接AC,CF,如答图， 6BC-名AB: 1.(I)△HAE≌△CEF 选择方法二：如题图2，延长C到D,使得 解：(2)在AB上取点H,使BH=BE,连 IBC=CD,连接AD 接HE,如答图1， :∠ACB=90, ,.∠ACD=180°-90°=90°=∠ACB, 在△ACB和△ACD中. 答图 AC=AC. :四边形ABCD和四边形CEFG为正 G ∠ACB=∠ACD. 方形， 签图1 BC=DC. ,.∠ACD=∠ACB=45,∠DCF 由(1)同理可得△HAE△CEF ,.△ACB≌△ACD(SAS), ∠FCG=45. 带提 ∠ACF=∠ACD+∠FCD=90. :.BC-DC.AB-AD.BC-BD. :能-，设BC=2,则BH=BE=CE :H是AF的中点， ∠A=30,∠C=90,∴∠B=60, =rAB=2nr. CH-TAF-AH-HE. AB=BD=AD.BC=号AB. .AH=(2m-1)x 在△ADH和△CDH中， 方法四 器=提-2，= AD=CD, 【跟踪调练】 DH=DH. 1.① (3)BC的长为22. AH-CH. 解：(2)延长AD到E,使DE=AD,连接 方法二 ∴.△ADH≌△CDH(SSS). CE,如答图， 【跟踪训练】 方法三 L.(1)证明：如答图，连接DM,ME, 【跟踪训练】 1.解：连接AM,如答图. E 答图 D为BC的中点， M ∴.BD=CD, M 答图1 答图 在△ABD和△ECD中， :CD,BE分别是AB,AC边上的高线， BD=CD. M是BC的中点， :AB=AC=5,BC=6,点M为BC ∠ADB=∠EDC, DM-BC,AME-号C,iDM 中点， AD=ED. ME,又N为DE中点，.MN⊥DE: ∴AMLBC.BM=CM=2BC=3. ∴△ABD≌△ECD(SAS). AB=5, .AB=CE=5. (2)解：∠DME=180°-2∠A,理由如 ,AM=AB-Bf=√B-3=4. AE=2AD=4.AC=3.CE=5, 下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180 .AE+AC=CE. -∠A, 'MN⊥AC, DM-ME-BM-MC. ∴△EAC为以CE为斜边的直角三 Sae=2MC·AM=zAC.NMN 角形， '.∠ABC=∠BDM,∠ACB=∠CEM. .∠BMD=180'-∠ABC-∠BDM= 即×34-×5XMN ∴∠EAC=90 180°-2∠ABC. ∴.DC=√A+AD=√3+2=√13， ∠CME=180°-∠ACB-∠CEM=180 MN=号 ∴.BC=2CD=2/13: -2∠ACB, (3)CF的长为4或4. 13 新课标中考宝典·数学（深圳专用版】 【综合训练】 例题精讲 11.(1)证明：∠BAC=90,AB=AC 1.(1)BE十CF=EF 例1：B变1：B ,∴.∠B=∠C=45 (3)号2西 例2：B变2，C ·∠BAD+∠ADB=135. 例3：C变3：D 又：∠ADB+∠EDC=135, (1)证明：如答图，延长ED到点G,使符 核心考点讲练 ∴.∠BAD=∠EDC DG=ED,连接GE,GC, (一)基础过关 ∴.△ABD∽△DCE 1.C2.D3.B4.C5.C6.B7.A (2)解：分三种情况： 8.D9.A ①当AD=AE,∠ADE=∠AED=45 (二)能力提升 时，得到∠DAE=90°，点D,E分别与 1.C2.B3.C4.B5.B B,C重合 6.解：(1)AB=3,AC=4.BC=5, .AE=AC=2. 答图 AB+AC=3+4=5=BC, ②当AD=DE时， :DF⊥DE.,EF=FG, ·△ABC是直角三角形. 在△ABD和△DCE中， ,D是BC的中点，.BD=CD, (2)设AP=r,则BP=CP=4一x, I∠B=∠C, 又∠BDE=∠GDC. 在R1△ABP中，：AB十AP=BP, ∠ADB=∠CED. .△DBE≌△DCG(SAS), AD=DE. ..BE=CG. 含+=4-，解得=骨 ∴.△ABD≌△DCE(AAS), 在△CFG中 7 ·AP的长为 ∴.AB=CD=2, CG+CF>GF, 深圳中考你在行 ,BC=√/2+2=2√2， .BE+CF>EF. ∴.BD=CE=2/2-2. 特训营三【方法篇】遇到角平分线如何 1.A2.10-43 .AE=AC-CE=4-22: 添加辅助线 3.(1)证明：如答图，连接BD,:△ABC是 等边三角形，.∠ABC=∠ACB=60, ③当AE-DE时，有∠EAD=∠ADE=45 【跟踪训练】 1.62.13.D4.B5.58°5.12 :点D为AC的中点， =∠C. .∠AIC=∠AED=9,AD=CD,AE= 7.1008.B9.C10.62 CE=DE, 1L.证明：如答图，在AC上取一点E,使 AB=AE. ∴DE=AE=号AC=1,综上所述，当 △ADE是等腰三角形时，AE的长为2 答困 或4-22或1. ∴.∠DBC=30, 重难点二 答图 'CD=CE,.∠E=∠CDE 类型一 在△ABD和△AED中， .'∠ACB=∠E十∠CDEm2∠E=60, 【跟踪训练】 .∠E=30,∠E=∠DBC. 解：(1)把点A(一1,0)，点C(0,3)分别代人 AB=AE. -1-6+c=0, ∠BAD=∠EAD, △DBE是等腰三角形： 一+br十c,得 e=3, AD=AD. (2)解：DE=2DF.理由： 1h=2. ∴.△ABD≌△AED(SAS), :△ABC是等边三角形，·AB=BC 解得 ∠ABC=60.D为AC的中点， c=3, ∴.∠B=∠AED,BD=DE, 又：∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C, ∠DBC=∠ABD=2∠ABC=30 放该抛物线解析式为y=-2+2r+3. (2)由(1)知，该抛物线解析式为y=一+ ∠AED是△EIDC的外角， :∠E=30°.∠DBC=∠E. 2x+3, .∠EDC=∠C ∴.DE=BD, 2 ..ED-EC..BD-EC. :∠BFE=90°.∠ABD=30°， 则该抛物线的对称轴为直线一一1×2 ∴AB+BD=AE+EC=AC. .BD=2DF.即DE=2DF. =1. 12.25+2 创新考法 故设M(1,m), 【综合训练】 B 点A(-1,0),点C(0.3), 1.C2.B3A45546号 特训营四 两个重难点分类讨论 .AC=10,Af=4+m,Cf=1十(m一 重难点一 3) 第3讲等腰三角形及直角三角形 【跟踪训练】 ①AC=AM时，10=4十m, 考点知识梳理 1.70或40°2.120或20 解得m=土√6. 1.B2.C3.B 3.14或164.22 ∴点M的坐标为(1)或(1，一√6)： 4.3高、中线、角平分线 5.11cm或19cm6.21cm ②AC=CM时，10=1+(m-3)产， 5.66.D7.A8.C9.C10.4.5 7.60或120°8.65或25 解得m=0或m=6, 11.B 9.15或115”10.65或50或80 .点M的坐标为(1,0)或(1.6). 14