第3章 第8讲 二次函数综合题-【中考宝典】2024年中考数学(深圳专用版)

新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 第8讲 二次函数综合题 命四分折 深圳近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 与面积有关的问题 题22,9分 与相似三角形有关的问题 与特殊四边形有关的问题 考点知因梳理 核心笔记 二次函数综合题中常考的题型如下： (一)基础题型 1.求二次函数解析式一一常用待定系数法. 2.求特殊点的坐标： (1)与x轴的交，点，令y=0,求出x: (2)与y轴的交，点，令x=0,求出y: y=kx+b, (3)两图象的交点联立组成方程组，常用代入法解方程，例如： y=ax+br+c. (二)提高题型 3。二次函数中三角形，四边形面积问题，利用面积求，点的坐标. 面积求法：①公式法，②割补法， 注意：底和高通常选择“横的或竖的”的线，这样容易通过点的坐标来表示长度. 4.存在性问题 (1)找，点构成等腰三角形、直角三角形、平行四边形等问题： ()找，点构成三角形全等，相似问题. 康特别提醒：注意这类题往往要分类讨论 5.函数与最值问题 (1)如二次函数最值问题： (2)最短路径问题（线段和最小问题、线段差最大问题）， 6.函效与动点问题，如利用动点坐标表示线段的长度，图形重叠部分面积问避 ●》1124。 第二部分知识梳理 【跟踪训练】 类型1与线段、周长有关的问题 1.(2023·宁夏)如图，抛物线y=a.x十bx十3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知点 A的坐标是（一1,0），抛物线的对称轴是直线x=1. (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P,使PA十PC的值最小，求点P的坐标 和PA+PC的最小值： (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴， 各用图 垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补全图形，当 MQ+2CQ的值最大时，求点M的坐标. 113 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 类型2与面积有关的问题 2.(2023·黑龙江)如图，抛物线y=ax2十bx+3与x轴交于A(一3,0)，B(1,0)两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线上是否存在一点P,使得S。m=S。,若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请 说明理由 类型3与角度有关的问题 3.(2023·常德)如图，二次函数的图象与x轴交于A(一1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为 D.O为坐标原点，tan∠AC0=号 (1)求二次函数的解析式： (2)求四边形ACDB的面积： (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC,求P点 备用图 的坐标。 114。 第二部分知识梳理 类型4与特殊三角形有关的问题 4.(2023·凉山)如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(一5,0)两点，与y轴交于点C.=-33 直线y=一3.x十3过抛物线的顶点P. (1)求抛物线的解析式； (2)若直线x=m(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F. ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当△EFC是等腰三角形时，直接写出点E的坐标， 》1154c 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 类型5与特殊四边形有关的问题 5.(2023·辽宁)如图，抛物线y=一2+h十c与x轴交于点A和点B4,0,与y轴交于点C0,4, 点E在抛物线上. (1)求抛物线的解析式： (2)点E为该抛物线在第一象限内一点，过点E作EF∥y轴，交BC于点F,作EH∥x轴，交抛物 线于点H,点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFGH的周长 为11时，求线段EH的长： (3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标. 备用图 116。 第二部分知识梳理 类型6与相似三角形有关的问题 6.(2023·随州)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a.x+bx+c过点A(一1,0)，B(2,0)和 C(0,2),连接BC,点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M, 交x轴于点N. (1)直接写出抛物线和直线BC的解析式； (2)如图2，连接OM,当△OCM为等腰三角形时，求m的值： (3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q,使得以O,P,Q为顶点的三角形与以B,C,N为 顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存 在，请说明理由。 40 图 图2 备用国 117。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 类型7其他问题 7.(2023·宿迁)规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为 “兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点” )下列三个函数①y=x+1:②y=-:③y=-+1,其中与二次函数y=2x-4红-3互为兄 弟函数”的是 (填写序号)： (2)若函数1=ax-5x十2(a≠0)与=一1互为“兄弟函数”，x=1是其中一个“兄弟点"的横坐标. ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 (3)若函数y=x一m(m为常数)与=一2互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为 x1,x2,x,且x1<x2<x3,求(x2十x3-2x1)2的取值范围. 。1184 第二部分知识梳理 保圳中考你往行 1.(2023·深圳模拟)如图，抛物线y=ax十bx十2经过点A(一1,0)，B(4,0),交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式（用一般式表示）： (②点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S。=号S?若存在请直接给出点D坐 标：若不存在请说明理由： (3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E,求BE的长. 119。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 2.(2020·深圳)如图1，抛物线y=a.x2十bx+3(a≠0)与x轴的交点A(-3,0)和B(1,0),与y轴交 于点C,顶点为D (1)求该抛物线的解析式： (2)连接AD,DC,CB,将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度 向左平移，得到△OB'C',点O,B,C的对应点分别为点O',B', C,设平移时间为t秒，当点O与点A重合时停止移动.记△O BC'与四边形AOCD重合部分的面积为S,请直接写出S与t之 间的函数关系式： 图 图2 (3)如图2，过该抛物线上任意一点Mmm)向直线14y一号作垂线垂足为E,试问在该抛物线的对称轴 上是否存在一点F,使得ME-MF=?若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由。 師请完成精练本第31一32页习题 ●》120。敬学参考答案 大而减小，当x≥3时，y随x的增大而 (3)令y=一0.02(x-12)+2.88=0,得 k- 增大，当P,Q两点均在对称轴的左侧 x=0或r=24, 2k+b=0, 解得： 时，若y>边，则<，当P,Q两点均 ,,炮弹落在距离炮口24百米的地方， -2k+b=3, b 3 2 在对称轴的右侧时，若出>，则> :炮弹的最大杀伤半径为2百米，山丘 综上所述，点P(r),Q(·为)在 M顶部距炮口的水平距离为8百米， y一子+号“太阳光为平行光， 3 新函数图象上，且P,Q两点均在对称轴 ∴为使射击有效，日标物设置在距山丘 设过点K平行于AC的光线的解析式为 同一侧，若为>为，则n<x或x>, 顶部水平距离d应满足24一2-8≤d≤ 故答案为<或>， 24+2-8. y=- 十m,由题意得y=一3 3 创新考法 14≤d18. y= 深圳中考你在行 有r+4 240 与抛物线相切，联立 ,整 第7讲 函数的实际应用 1.解：设该产品的销售利润为e元，由题意 3 y r十m 考点知识梳理 得=y(x-8)=(-5r十90)(x-8)= 现得r2一3r十4m一16=0，则△=（一3） 一，1.A -5x2+130x-720=-5(x-13) 2.解：(1)设y与r之间的函数关系式为y +125, 一4(4m-16)=0,解得m= 161 =kx十(k+0) -5<0,.当x=13时，0最大，最大 3 ∴y= 将(1,110)，(3,130)代人y=kx+b得 值为125（万元》， +得当y-0时一得， 110=k十：解得 k=10, 答：当销售单价为13万元时，有最大利 k(得o) 130=30+h. b=100 涧，最大利润为125万元. y与x之间的函数关系式为y= 2.解：(1)抛物线AED的顶点E(0,4), 设抛物线的解析式为y=ar十， 联-2.0.a歌-2+得-器 10r+100: 创新考法 (2)根据题意得：(60一x一40)(10x十 :四边形ABCD为矩形，OE为BC的中 100)=1760,整理得x2-10.x-24=0, 垂线，.AD=BC=4m,OB=2m.:AB 解：()设h关于p的函数解析式为h= 解得x=12,■一2（不符合题意， =3m,点A(-2,3).代人y=ar+4, 把p=1,h=20代入解析式，得k=1×20= 舍去)， 得3=4a+4,a=-1 20h关于p的函数解析式为h=2:(2 .60-x=60-12=48(元). p 答：这种排球每个的实际售价是48元： 1 ,抛物线的解析式为y=一 x2+4 把6=25代人6=20，得25=20.解得p 二，1.0.6 0.8. 2,解：(1)设y与x之间的函数解析式为 答：该液体的密度p为0.8gcm. y=(r>0, 第8讲二次函数综合题 将(4,32)代入可得：32= 考点知识梳理 4 L.解：(1)：点A(一1,0)关于对称轴的对 ,.k=4×32=128, C 称点为点B,对称轴为直线x=1, y与x之间的函数解析式为 .点B为(3,0)： y=12s(>0: (2),四边形LFGT,四边形SMNR均 (2)当x=0时，y=3, 为正方形.FL=VR=0.75m, (2)将(a,80)代人y=128, .FG=MN=FL=NR=0.75m. ∴.C(0,3),连接BC,如答图1， 延长LF交BC于点H,延长RN交BC 80=128.∴a=1.6, 于点J,则四边形FH」N,四边形ABFH 均为矩形， 实际意义：当面条的横截面积为1.6mm ..FH=AB=3m.FN=HI. 时.而条长度为80m ∴.HL.=HF+FL.=3.75m, 三，1，y=-2x2+400x-16800 答图1 2.解：(1)炮增飞行的水平距离是12百米 “y-+4 ,B(3,0),.BC=√3+3=3√2， 时，达到最大高度是2.88百米， ∴设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为 当y=3.75时，3.75=- 了r+4, ,点A关于对称轴的对称点为点B, .PA+PC=PB+PC≥BC, y=u(x-12)F+2.88, 解得x=士1， ∴当P,B,C三点共线时，PA十PC的值 代人(0.0)得144a+2.88=0. .H(-1,0》,J(1,0),.FN=HJ=2m 最小，为BC的长， a=-0.02,y=-0.02(r-12)2+ ∴GM=FN-FG-MN=0.5mi 设直线BC的解析式为y=r十，则 2.88: (3)BC-4m,OE垂直平分BC,.OB H=3, (2)”山丘M顶部距炮口的水平距离为 =(C=2m.∴.B(-2,0).C(2,0),设直 得 3k十n=0, 8百米， 线AC的解析式为y=x十，则 ∴ym一x十3，，点P在抛物线的对称轴 .当x=8时，y=2.56>2.3, 上∴.P(1,2): .炮弹能够越过山丘： ∴点P(1,2),PA+PC的最小值为 9 新课标中考宝典·数学（深圳专用版】 32 网边形ACDB的面积=S么N十SN 5k十4=0 (k=1, (3)过点M作MN⊥r轴，垂足为N,连 -SAOM+SAIM b=5, 则二5· 接BC交MN于点Q,如答图2所示， ×1x5+2X9- = .×2×(9-5)+ ∴直线BC的解析式为y=x+5, :直线r=m(一5<m<0)与抛物线交于 2×6-2)X9=30: 点E,与直线BC交于点F,如答图。 (3)如答图2，P是地物线上的一点，且在 第一象限，当∠ACO-∠PBC时， 连接PB,过点C作CE⊥BC交BP于点 答图2 E,过点E作EF⊥OC于点F, :A(-1.0).B(3.0) :0C=OB=5,则 设抛物线的解析式为y=a(r十1)(r △OCB为等腰直角 3),C0,3)..3=-3a,.a=-1, 答图 三角形，∠OCB- .E(m,一m-4m+5),F(m,m+5). .y=-(x+1)(x-3)=x2+2r+3, 45,由勾股定理得 ∴.EF=一m2一4m十5一(m十5)=一m 设M(m,一m十2m十3)，则N(m,0),由 CB=52, (2)知，直线BC:y=一x+3, :∠ACO=∠PBC. -5m=-m++ .Qm,一m十3)， 答图2 ,.tan∠ACO=an,∠PBC, -1<0, ∴.MQ=一m+2m+3+m-3= 一+3m, 时器器 :当m=一吾时，EF有最大值，最大值 C0,3),B(3,0). ∴.CE=2,由CE⊥BC,得∠BCE=90, ∴.OC=OB=3,BN=3一m, 为智 ∴.∠ECF=180°-∠BCE-∠OCB= ∠OBC=∠OCB=45, ②点E的坐标为(-3.8)或(-4,5)或 180°-90°-45"=45， ·.∠NQB=∠OBC=45, (2-5,6√2-2). ,△EFC是等樱直角三角形， ∴.BQ=/2BN=2(3-m), ∴FC=FE=1..点E的坐标为(1,6) 5解，：抛物线y=一+c+c经 .CQ=BC-BQ=3√2-3√2+√2m= ∴过B,E两点的直线的解析式为y= 过点B(4,0)和C(0,4), 2m, 3 ∴.MQ+√/2CQ=一m+3m十2·2m= 2 -号×4+4h+c-0 2 一+5m=-(a-受)广+ y3 =4, 4 + y=-(x+1)(x-5), :当m=号时，MQ+巨CQ有最大值， 1 此时M(受，子) x= 解得 六抛物线的解析式为y=一专十 y=0, 27 x十4： 2.解：(1)因为抛物线y=ax+bx十3经过 (2):点B(4.0)和C(0.4).设直线BC 点A(一3,0)和点1,0)两点，所以 ∴直线BE与抛物线的两个交点为B(5, 的解析式为y=kx十4，期0=4k+4,解 阳动生30·解得以二所以驰 0,P(合，翠)，即所求点P的坐标 得k=一1， 1a+b+3=0, 16=-2, 物线的解析式为y■一x2一2x十3， 为（侵） ∴直线BC的解析式为y=一+4，设E (2)存在，点P的坐标为（一2,3）或 4.解：(1)抛物线与r轴交于A(1,0)和 (,-号++4)小且0<r<4,则F (3.-12). B(-5,0)两点， (x,-r十4)。 3.解：(1)二次函数的解析式为y=一(x+ 一抛物线的对称轴为直线x=5十1 ∴GH=EF=- 2x++4-(-r+4) 1)(x-5)=-x2+4x+5: 2 (2),y=-(x十1)(-5)=-(x-2) -2, = 2+2r 十9，，顶点的坐标为(2,9) 在y=一3x+3中，当x=一2时，y=9, 过点D作DN⊥AB于点N,作DMLOC ∴抛物线顶点P的坐标为（一2,9）， ,抛物线的对称轴为直线 于点M,如答图1. 设抛物线的解析式为y=a(x+2)+9. 2×(-) .a(1+2)+9=0,.4=-1, =1, ∴.抛物钱的解析式为y=一(x+2)+9 H(2-x,-++4） =-r-4r+5: (2)①：抛物线的解析式为y=一r一4.r .GF=EH=x一(2-x)=2x-2. 十5，点C是抛物线与y轴的交点， 依题意得2(-之+2x+2x-2） .C(0,5), 11,解得x=5(舍去)或x=3,∴.EH=4: 答图1 设直线BC的解析式为y=kr十， 将B,C两点的坐标代人y=kr+b,得： (3)点N的坐标为4，)或（一子·是） 10 敬学参考答案 成（厨5，二1） ②当x一m<0时，一(x一m》=一 ，即 2/5...AC+BC=AB. ∴△ABC为直角三角形，即BCLAC,如 成(5@37-12)月 x-mr一2=0，则△=m+8>0, 答图，设直线AC与直线BE交于点F, r=m±m+8, 过点F作FM⊥x轴于点M 6.解：(1)抛物线的解折式为y=一(r十1) 2 (r一2)，即y=一x十x十2. 由图可知，两个函数图象的交点只能在 直线BC的解析式为y=一x十2 第二象限，从而x<0,再根据三个“兄弟 (2),点M在直线BC上，且P(m,m), 点“的横坐标分别为·，西，且< 点M的坐标为(m,一m十2). TJ .(C=2.CF=(m-0)+(-m+2-2 =2r,Of=m+(-m+2y=2- n=m+8m-m=8 4m+4. 0=m十√m8 答图 当△(OCM为等腰三角形时： 2 由题意可知∠FBC=45, ①若CM=(0M.则CF=Of,即2m= .∠CFB=45, ∴（十五-2y=(m-m8+ 2m一4m十4，解得m=1: 2 ∴CF-BC-V④+2=25， ②若CM=0C,则Cf=O,即2m= m+m-8-2×m-m+8) 4,解得m=2或m=一√②（舍去）： 2 2 品答甲赢是解得0 ③若OM=OC,则OM=OC,即2m ■(m一m十√m+8) 4m十4=4，解得加=0（舍去）或m=2. =(/m十8) 2瓷-船即品后解得N 综上，m=1或m=、2或m=2. =m+8, =6, 由m-8>0得到m+8>16,即(+ 六F(2,6).且B(4,0).∴直线BE解析 (3)P(2.2).Q(0.2-1)或P(1+√5. -1-3),Q(0,1)或P(1+5,-3 6-2.x)2>16. 式为y=一3r+12,联立直线BE和抛物 深圳中考你在行 y=-3x+12, 5),Q(0. 2)或 线解析式可得 1,解：(1)：抛物线y=a:x+6r十2经过点 P(+,+, 9 A(-1,0),B(4,0), 解得 .x=5, Q(0.4-2） 1y=0,1y=-3, 9 /0-6+2=0, 解得 116a+4b+2=0, ∴.E(5.-3), .a@e+4÷- 2· ∴BE=√(5-4)+(-3)F-√10. 4 1 解：(2)①：函数-a2-5r+2(a≠0)与 “抛物线解析式为y=一立+ 2.解：(1)抛物线y=a2+r十3过点 (9a-3h+3=0, 为=一子五为”兄弟函数“，=1是其中一 +2: A(-3,0),B(1.0), 1a+b+3=0, (2)由题意可知C(0,2),A(一1,0)，B(4, 个“兄弟点”的横坐标， 0),AB=5,=2. 解得a=一1， ·4=a-3,为=-1.则a-3=一1，解 b=-2, 得u=2: 5w=AB0-号X52-5 ∴.抛物线的解析式为y=一x2一2x+3: (3)在平面直角坐标系中作出”= (2)①0<t<1时，如答图1，若BC'与y SAMC 2 1一m为宿数)与为一兰的图 轴交于点F.OO=1,OB=1-t,∴.OF 盟设DC =30B-3-3,s-C0+0F) 象，如容图所示： 宁AB-号×5·-号相得 0= 2(3+3-31=-2+3. 1y1=3, ①当y=3时，由-之+号+2=3， 解得r=1或r=2,此时D点坐标为(1， 答图 3)或(2,3)： 3=一m, 联立〈 =-2 即x-n=一 @当)y-3时，由一r+号r+2 答图1 答图2 一3，解得x=一2（舍去）或x=5,此时D ①当一m≥0时一m=一子甲 点坐标为(5，一3) @1<时，- 综上可知存在满足条件的点D,其坐标 mx+2=0,当4=m-8>0时，x 为(1,3)或(2,3)或(5，-3： ③2<1<3时，知答程2，C0与AD交 =m士m一8 (3)AO=1,0C=2,OB=4.AB=5, 于点Q,BC'与AD交于点P,过点P作 2 AC=√+2=5，BC=√+2= PH⊥CO'于H,,AO=3,00=t, 11 新课标中考宝典·数学（深圳专用版】 ,A0=3-t,0Q=6-21, ∠B=50, 7.(1)证明：过点C作CE∥AB,交AD的 .CQ=21-3. .∠BCE=130°， 延长线于点E,如答图 QH-2PH.C'H-3PH. ,CA平分∠BCE, ∴PH=号CQ-号2-3 ∠ACE=∠BCE=65. AB∥CE, .∠A=∠ACE=65 S=一号++是，综合以上可得 核心考点讲练 .∠BAD=∠E, (一)基础过关 又，∠ADB-∠EDC(对顶角相等)， [-2f+30<4<. 1.A2.B3.B4,A5.B6,D7.5 ∴：△ADB△EDC(两角分别相等的两 个三角形相似)， 1<< 8.4 (二)能力提升 “望-品（相以三角形的对应边收比 1.B2.B3.B4.C5.C 6.证明：方法一： 例)， (3)令F(-1.t),则MF :AD平分∠BAC, 、m+D+a-,ME-号- ∠BAD=∠CAD, 又：∠BAD=∠E, ME-MF-MF-ME- D ∴∠CAD=∠E, 如图，过点E作MN∥AB, -5 六(m+1)+(n-)=(7 AC=C(等角对等边.…是部 AB∥CD, (2)解：在R1△ABC中，∠BAC=90°，AC .AB∥CD∥MN, .m2+2m+1+1-2at= 17289 +16 =1,AB=2, .∠A=∠AEM.∠C=∠CEM. :n=-m-2m十3， :∠AEC=∠AEM+∠CEM, 则BC-AC+AB=5. ∴m2十2m一3=一见 ∠AEC=∠A+∠C 由折叠的性质可知∠CAD=∠BAD,DC 3-n+1+1-2m= 17289 2+16, 方法二： =DE. 如图，延长AE,交CD于点F, f-2w+受。一瓷-=0，当1=时，上 可知品即 1 CD 5-CD ，解得CD 式对于任意n恒成立∴存在（一1，马 -5DE=g 深圳中考你在行 第四章三角形 C 第1讲线、角、相交线与平行线 AB∥CD. 1.D2.C3.A .∠A=∠AFC, 创新考法 考点知识梳理 :∠AEC=∠C+∠AFC, 解：如图，直线MF即为所求 1.D2.C3.C4.B5.C6.C7,D 8.C9.A10.B11.C12.D ∠AEC=∠A+∠C 例题精讲 深圳中考你在行 例1：B变1：C 1.B2.D3.C4.A 例2：C变2：B 创新考法 B 例3：(1)证明：：AD∥BC,AB∥CD. .∠FED=∠FBC,∠2=∠F, 第2讲一般三角形及其性质 BF平分∠ABC,∴∠2=∠FBC, 考点知识梳理 特训营二【专题篇】遇到中点如何 .∠F=∠FED,∴DE=FD: 1.A2.锐角3.饨角4.C5.C6.C (2)解：∠1=150， 7.C8.2.59.D10.611.D12.10 添加辅助线 变3：解：(1)AB∥CE 13.D 方法一 理由：，∠1+∠2=180°（已知）， 例题精讲 【跟踪训陈】 例1：120变1：65 1.(1)证明：如答图，连接OD. .DE∥C文同傍内角互补，两直线平行. ∠ADF=∠B(两直线平行，同位角 例2：C变2：C 相等)， 例3：18变3：15 :∠B=∠E(已知)， 核心考点讲练 :∠ADF=∠F(等量代换)， (一)基础过关 .AB∥CE(内错角相等，两直线平 1.C2.C3.24,C5.D 答图 行)， (二)能力提升 :DE为⊙O的切线，OD⊥DE, (2),AB∥CE. 1.B2.A AD-DC.AO=OB. .∠B+∠BCE=180, 3.360(m-2)4.B5.72°6.10 ∴.OD∥BC,DE⊥BC: 12