第3章 第6讲 二次函数的图象与性质-【中考宝典】2024年中考数学(深圳专用版)

第二部分。知识梳理 第6讲二次函数的图象与性质 命题分折 深圳近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 二次函数的图象及性质 题20,8分 待定系数法求二 次函数的解析式 题22(1)，3分 题21(1)，1分 a,b,c,b一4ac符号 的确定 题9,3分 题11,3分 题9,3分 二次函数图象的 平移规律 二次函敏与一次、二次 方程的关系 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数 与图象形状和对称轴的关系 新课标要求 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应 的实际问题 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一 元二次方程的近似解 考点知识梳 理 考点口二次函数的定义 懂核心笔记 w【跟踪训练】 一般地，形如y=a.x2十b.x十c(a,b,c是常数，a≠0)的 L.(2023秋·湖南益阳·九年级统考期末)下列 函数叫做二次函数 函数中，是二次函数的是 () 审特别提醒：当b=0或c=0或b,c同时为0时，也 是二次函数 A.y=-2 B.y=√E x C.y=2x+1 D.y=-2x2+1 》994 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 考点2二次函数的图象及性质 矿核心笔记 抛物线 y=ax y=ax'+c y=a(x-h)2 y=a(x-h)十k y=ax'+bx+ey=a(x+ ):Aac 2a 当a>0时，开口向上，并向上无限延伸 开口方向 当a<0时，开口向下，并向下无限延伸 顶点坐标 (0.0) (0,c) (h,0) (h,k) b Aac-b 2a'4a 对称轴 y轴 y轴 直线x=h 直线x= b 直线r= 2a x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， b a>0 Aac-b 1=- 最值 ymin=0 ynin-c ymin=0 ymin 2a 时，ymn= Aa x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， a<o Aac-b yx=0 x= ymu=c yma=0 ymax=k 2时，y 4a >0 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 增减 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 性 a<0 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而城小 审【跟踪训练】 2.已知抛物线y=x2-2x-1. (1)化为顶点式为y= (2)该抛物线的开口方向 ,对称轴为直线 ,顶点坐标为 (3)当x 时，y随x的增大而增大，x 时，y随x的增大而减小： (4)当x= 时，函数y有最 值，是 考点③待定系数法求二次函数的解析式 核心笔记 【跟踪训练】 设解析式的 待定系 3.一个二次函数，当x=0时，y=一5：当x=一1时，y=一4：当 已知条件 形式 致法求 解析式 x=一2时，y=5,则这个二次函数的关系式是 已知顶 A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5 点(h,k) 顶点式：y= C.y=2x2-x+5 D.y=2.x2+x-5 十其他 a(x-h)+k 点坐标 4.若二次函数图象的顶点坐标为(2，一1)，且过点(0,3)，则该二 已知与x 次函数的解析式为 () 联立方 轴的两 程得出 个交点 交点式：y= 结果，再 A.y-(-2):-1 B.y=(x+2)°-1 (4,0), a(x-n)(r- 代回所设 (0)+ x2) C.y=(x-2)2-1 D.y=-(x-2)2-1 解析式 其他点 坐标 已知任 意三个 一般式：y= ax+bx+c 点坐标 。100。 第二部分 知识梳理 考点④a,b,c,b一4ac符号的确定 r核心笔记 【跟踪训练】 抛物线y=ar2+b.r十c. 5.关于二次函数y=2(x+3)十6，下列说法正 1,a决定抛物线的开口方向和开口大小 (1)a相同=抛物线的形状相同1 确的是 ( 上正 (2)a>0=抛物线的开口向上 A.开口向下 下负 (3)d<0→抛物线的开口向下 B.对称轴为直线x=3 特别提醒：a还决定开口大小，即a越大，开口越小 C.顶点坐标为(3,6) 2.a,b决定对称轴的位置 D.当x<一3时，y随x的增大而减小 抛物线y=ax十b.x十c的对称抽为直线x= 2a' 6.(2023·上海一模)已知二次函数y=a.x2十bx (1)a与b同号曰对称轴在y轴的左侧 左同 十c的图象如图所示，则a,b,c满足() (2)a与b异号台对称轴在y轴的右侧 右异 (3)b=0曰对称轴就是y轴 A.a<0,b<0,c<0 B.a>0.b<0.c<0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c>0 D ②) 3.c决定抛物线与y轴的交点位置 抛物线y=a.x2十bx十c,当x=0时，y=c,即抛物 线与y轴的交点为(0，c) (1)c>0台抛物线与y轴相交于正半轴】 上正 (2)c=0曰抛物线与y轴相交于原点 (3)c<0=抛物线与y轴相文于负羊轴下负 4.b一4ac的符号决定抛物线与x轴的交点个数. (1)一4ac>0曰抛物线与x轴有2个交点： (2)?一4ac=0曰抛物线与x轴有1个交点： (3)一4ac<0=抛物线与x轴没有交点. 考点⑤二次函数图象的平移规律 审核心知识 审【跟踪训练】 平移前的 移动方向 平移后的 7.(2023秋·河北张家口·九年级统考期末)将 解析式 解析式 简记 (m>0) 向左平移 y=a(x-h十 抛物线y=2(x一1)十3的图象向左平移1个 m个单位 m)”十 左“十” 单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物 向右平移 y=a(x-h- 右“一” y=a(x- m个单位 m)2十是 线的解析式为 h)2+k 向上平移 y=a(.t-h)'+ A.y=2.x2 B.y=2x2+6 m个单位 k十m 上“十” 向下平移 y=a(x-h)'+ 下“一” C.y=2(x-2) D.y=2(x-2)2+6 m个单位 k一m 101。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 考点⑥二次函数与一元二次方程的关系 核心知识 【跟踪训练】 抛物线y=a.x2十 一元二次方程 8.(2023春·盐城期中)抛物线y=2x2一x十1与 △=F-4ac bxr十c与x轴的 ax+bx+c=0 y轴的交点坐标是 ( 交点个数 的根 A.(0,1) B.(-1,0) b-4ac>0 两个 两个不和等的实数根 C.(0,-1) D.(2,0) b-4ac=0 一个 两个相等的实数根 9.(2022秋·南通阶段练习)抛物线y=(x一3)2-4 b-4a<0 无 无实数根 与y轴的交点坐标是 44 题 精 讲 考点口二次函数的平移规律 例1.(2023秋·浙江)将二次函数y=5x的图变1.将抛物线C:y=x2-2x十3向左平移2个 象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，单位长度后得到抛物线C,则抛物线C:与y轴 得到的函数图象的解析式为 ( 的交点坐标是 A.y=5(x+3)+2 B.y=5(x-3)+2 C.y=5(.x+3)-2 D.y=5(x-3)-2 考点2二次函数的图象和性质 常考题型：1，根据二次函数的性质判定对错：2.求二次函数的最值. 44444444444444444444444444444444 例2.(2023·兰州)已知二次函数y=-3(x一2)- 变2.(2023·泰安)二次函数y=一x一3x+4的 3,下列说法正确的是 最大值是 A.对称轴为x=一2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是一3 D.函数的最小值是一3 考点③待定系数法求二次函数解析式 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：已知抛物线y=a.x2十x十c(a≠0)经过 解：将A(-1,0),B(2,0)代入y=a.x2+x十c(a≠0)得 A(一1,0)，B(2,0)两点，与y轴相交于点C,该 十200解释但2. 4a+2+c=0, A 抛物线的顶点为点M.求该抛物 M 故抛物线的解析式为y=一x2十x十2…2分 线的解析式及点M的坐标. y=-x2十x十2=-(x- 2)+9 解： 故顶点M(分，)】 …3分 满分：3分 实得： ●1024 第二部分。知识梳理 例3.(2023·大庆节选)如图所示，在平面直角坐变3.(2022·广州二模节选)如图，抛物线y= 标系中，抛物线与x轴分别交于A(3,0), ax2十br+c经过点A(一2,5)，与x轴相交于 C(一1,0)两点，抛物线与y轴的交点为B(0,一3). B(-1,0),C(3,0)两点 求抛物线的解析式。 求抛物线的函数解析式。 C 拉©考点讲练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：/9】 考点☑二次函数的图象及性质 1.下列关于二次函数y=一3x2+3.x十6的图象和性质的叙述中，正确的是 A.点（一1,4）在函数图象上 B.开口方向向上 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时，y随x的增大而减小 2.已知抛物线y=(x-1)+2,下列说法错误的是 A.顶点坐标为(1,2) B.对称轴是直线x=1 C.开口方向向上 D.当x>1时，y随x的增大而减小 考点2二次函数解析式的确定 3.若抛物线的顶点为(1，一1)，且过点(0,0)，则函数的关系式为 4.已知二次函数y=a.x2十bx一1的图象过A(2,0)和B(4,5)两点，则这个二次函数的解析式为 考点3二次函数图象的平移 5.将抛物线y=3x向上平移1个单位，得到抛物线 A.y=3(x-1) B.y=3(x+1) C.y=3x2-1 D.y=3.x2+1 6.抛物线y=x2一4x+7先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后解析式是 A.y=(x-4)2+6 B.y=x2+6 C.y=(.x-2)+6 D.y=(x+4)2+6 考点④二次函数图象与Q,b,c的关系 7.已知抛物线y=(a一3)x的图象开口向下，则a的值可能是 ( A.5 B.4 C.3 D.2 ●》1034。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 8.二次函数y=ax2十+bx十c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是 A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.b-4ac>0 考点⑤二次函数与一元二次方程的关系 9.抛物线y=x2一8x十7与x轴的交点坐标为 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 正确率：/7】 1.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,当x在一定范 围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是 ( A.一次函数关系 B.二次函数关系 C.正比例函数关系 D.反比例函数关系 2.将抛物线y=一4x十3向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为( A.y=-4(.x+2)-1 B.y=-4(x-2)*+2 C.y=-4(x-2)2-1 D.y=-4(x+2)+2 3.无论m为任何实数，二次函数y=x2十(2一m)x十m的图象一定过的点是 A.(1,3) B.(1,0) C.(-1,3) D.(-1,0) 4已知（一2），()，1)是二次函数y=号十x十c图象上的三点，则y的大小关系 为 ( A.ys>y:>y B.ya<y<y C.y<ys<y D.y<y:<y 5.在同一平面直角坐标系中，函数y=a.r2+b与y=bx十ax的图象可能是 A 6.已知二次函数y=(k一1)x2+2x一1与x轴有交点，则k的取值范围是 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b与二次函数y=一x十m.x十n交于点A(3,0), B(0,3)两点.求一次函数y=kx十b和二次函数y=一x2十m.x十n的解析式. 7PN 》1044- 第二部分知识梳理 保圳中考你往行 1.(2019·深圳)已知y=a.x2+bx+c(a≠0)的图象如图，则y=ax十b和y=二的图象为 扑.水 2.(2020·深圳)二次函数y=a.x十bx十c(a≠0)的顶点坐标为（一1，n),其部分图象如图所示.以下 结论错误的是 A.abe0 B.4ac-b<0 C.3a+c>0 -2-0 D.关于x的方程a.x十bx十c=n十1无实数根 3.(2021·深圳)二次函数y=a.x2十bx十1的图象与一次函数y=2a.x+b在同一平面直角坐标系中 的图象可能是 4.(2022·深圳)二次函数y=2,先向上平移6个单位，再向右平移3个单位.用光滑的曲线画在平 面直角坐标系上 (1)m的值为 y-=2(x-3)+6 (00) (3,m) 1】 4,】 (2,2) (2,8) (-1,2) 2.】 (-2,2) (1,8) 1054. 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） (2)在坐标系中画出平移后的图象并求出y=一2十5与y=2的交点坐标： (3)点P(x1y).Q(x2y2)在新的函数图象上，且P,Q两点均在对称轴的同一侧，若y1>y2,则x1 x(填“>”“<”或“=”) ● 创新考法 【跨学科】(2023·大同)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升 高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强：超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升 高逐渐减弱，甚至会失去活性，现已知某种酶的活性值y(单位：IU)与温度x(单位：C) 的关系可以近似用二次函数y=一十14：十142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性 值为 IU. 总结反思： 审请完成精练本第27一28页习题 ●》106。新课标中考宝典·数学(深圳专用版 #1-4-- 5.解:(1)设r-0,代入y=ar+2ax-3 3.-24.--1-1 则y--3. 2.抛物线和y轴的交点为C(0.-3). 5.D 6.B 7.D 8. B 9.(1,0).(7,0) (二)能力提升 最大。 :sinOBC- 1.A 2.B 3.A 4.A 5.D 【综合调练】 OC-3.*.B(-3.0). 1.B 2.3 6.0且1 将B(-3,0)代入y=ar+2ar-3.得 7.解:把点A(3,0),B(0.3)代人y=kr十 3.解:(1),'一次函数y-r十2的图象与 {3十b-0解得{ 9-6-3-0.'a-1. 6.得 {--1. 反比例函数y=-8的图象相交于 6-3. 'y=+2r-3y=(r+1-4. -3. :.D(-1.-4). A(a.-2a),B(4,-2)两点。 2.一次函数的解析式为y=一r+3; 将D(-1,-4)代入y-kr-3,得 -1. .-2-4+2. 把点A(3,0),B(0,3)代人=-+$$ ..直线DC的解析式是v二r-3; '--1. mr十n. (2)如答图,过点D作DE1y轴于点E. .-十2. 得 -9+3m+n-0. 则E(0.-4). n-3. 代人A(a,-2a)得,-2a--a+2. 解得/”-2. 解得a=-2, 1-3. 'a的值为一2,b的值为-1; 2.二次函数的解析式为y一一+ 不等式tr+2+8<0的解集为-2<r 2r十3. <0或4; 深圳中考你在行 #为 1.C 2.C 3.A 答图 (3)如答图,AB与v轴交于点C.由真线 4.解:(1)当x-3时. 3.--x+2可知C(0,2). 又·B(-3,0),C(0.-3),D(-1.-4. n-2(3-3)+6-6.n-6 .S-S-S-S- 1×(1+3)×4- (2)平移后的图象如图所示; -3. 第6讲 二次函数的图象与性质 答图 考点知识梳理 1.D (2)△AOB的面积-x2X4+×2 2.(1)(r-1)-2 ×2-6. (2)向上 -1(1,-2)(3)>1 <1 4.解:(1),反比例函数y.--(m学0)的 (4)1小-2 3.A 4.C 5.D 6.D 7.A 8.A 9.(0.5) 图象经过点A(6.2).B(a,一6). 例题精讲 '-6x2=12--6.--2. 例1:D变1:(0.3) *B(-2.-6). 例2.C 变2:2 把A(6,2),B(-2.-6)代-r+& [6+62. (-1. 例3:解;根据题意设物线的解折式为y 得 解得 6--4.)=) -2+b--6. a(r1)(r-3). -4. ·把B(0,-3)代入得-3--3a, 2.一次函数解析式为3一c-4,反比例 .-1. '抛物线的解析式为y=x一2x-3. 2. 函数解析式为y:- 由题意得一 ##+$-_,解得-士 (4a-26+c=5. (2)在y=r-4中,令x=0,则y--4. 变3:解:由题意得:a-b十c-0. 5.当r-v5时,y-0.则交点坐标为 .C(0.-4). (9a+3+-0. (v.),当x--5时,y-0.则交点 .点E是点C关于x轴的对称点, a-1. 解得-2. *E(0.4...EC-8. 坐标为(-/5.-),综上所述,y- 1--3. '.Sm-So+S= ×8x2 '抛物线的函数解析式为y一一 +5与y-)的交点坐标分别为 1×8×6=32; 2r-3. 核心考点讲练 (、5.)和(一) (3)A(6,2),B(-2.-6)...由图象可 (一)基础过关 得,当函数值y<时,r<一2或0<r 1.D 2.D (3)由平移后的二次函数可得,对称轴 6. -3.a-20,..当r3时,y随x的增 数学 参考答案 (3)令y--0.02(x-12)+2.88-0,得 大而减小:当x3时,x随子的增大而 {-3} 增大...当P.Q两点均在对称轴的左倒 -0或1-24. 2+-0 解得: 时,若v,则x ,当P.Q两点均 &.炮弹落在距离炮口24百米的地方 -2+b-3. 在对称轴的右侧时,若y>,则乙 “炮弹的最大杀伤半径为2百来,山丘 --3,·太阳光为平行光, x.综上所述,点P(x,).Q(x·)在 M顶部距炮口的水平距离为8百米, 新函数图象上,且P,Q两点均在对称轴 2.为使射击有效,目标物设置在距山丘 设过点K平行于AC的光线的解析式为 同一侧,若y,则x<&或r. 顶部水平距离d应满足24-2-8< 故答案为<或>. 24+2-8. 创新考法 .14<d18. 240 深圳中考你在行 与抛物线相切,联立 ,整 第7讲 函数的实际应用 1.解;设该产品的销售利涧为tc元,由题意 考点知识梳理 得w-y(x-8)-(-5r+90)(x-8)- 理得-3r+4m-16-0,则A-(-3) 一,1.A -5+130-720--5(x-13) -4(4m-16)-0.解得m= . 2.解;(1)设y与1之间的函数关系式为3 +125. -hx+(0). .-5<0.,当x-13时,w最大,最大 将(1,110).(3,130)代人y-kx+b得 值为125(万元). k-10. 110-十b. 答:当销售单价为13万元时,有最大利 .K(.o). 130-3题+6 解得 b-100. 涧,最大利润为125万元. '.y与x之间的函数关系式为y 2.解;().抛物线AED的顶点E(0,4). 10r+100: 设抛物线的解析式为y-ar+4, 创新考法 (2)根据题意得:(60一x一40)(10x+ .四边形ABCD为矩形,OE为BC的中 $0 0)-1760,整理得-10r-24-0. 垂线。..AD-BC-4m,OB-2m..AB 解:(1)设6关于。的函数解析式为h-上. 解得x=12,x=-2(不符合题意, -3m.,点A(-2,3).代入y=ar+4. 把 -1,h-20代入解析式,得-1×20- 1. 舍去). 得3-4a+4,.a-- 20.1.关于。的函数解析式为h-20.(2) .60---60-12-48(元). 士4; 把石-25代人b-20.得25-20.解得- 答:这种排球每个的实际售价是48元; 2.抛物线的解析式为y-一 二、1.0.6 0 1 0.8. 2.解:(1)设y与x之间的函数解析式头 -(>0). 答:该液体的密度。为0.8gcm. 第8讲 二次函数综合题 将(4,32)代入可得:32- 考点知识梳理 1.解:(1):点A(一1,0)关于对称轴的对 .-4×32-128. BHOJC+ 称点为点B,对称轴为直线x-1. 2.y与x之间的函数解析式为 (2)·四边形LFGT,四边形SMNR均 .点B为(3,0); -128(×o); (2)当x-0时,y-3. 为正方形.FL-NR-0.75m. ..C(0.3):连接BC.如答图1 (2)将(a.80)代入-128 ..FG-MN-FL-NR=0.75m 延长LF交BC于点H,延长RN交BC .80128. a-1.6. 于点1.则四边形FH/N,四边形ABFH 均为矩形. 实际意义:当面条的横截面积为1.6mm *FH-AB-3m,FN-H1. 时,而条长度为80m. *.HL-HF+FI-3.75m. 三、1y--2r+400-16800 14. 答图1 2.解;(1)炮弹飞行的水平距离是12百米 ._-一 ·B(3,0)BC-3+3-3/2. 时,达到最大高度是2.88百来, 士&+4. 当y-3.75时,3.75-- .点A关于对称轴的对称点为点B. ·.设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为 *.PA+PC-PB+PCBC. y-a(x-12)*+2.88. 解得-士1, '.当P,B.C三点共线时,PA十PC的值 代人(0,0)得144a+2.88-0. *.H(-I,0),1(1,0)...FN-HJ-2m 最小,为BC的长, '=-002,.--0.02(-12)+ $.GM-FN-FG-MN-0.5m: 设直线BC的解析式为y一kx十n,则 2.88; (3).BC=4m.OE垂真平分BC...OB (-3 解得 n-3。 (2)·$山丘M顶部距炮口的水平距离为 -0C-2m...B(-2.0).C(2.0).设直 3+n-0. _-1, 8百米, 线AC的解析式为y=x十b,则 '.y-r十3..点P在抛物线的对称轴 当r-8时,y-2562.3. 上...P(1.2); ·.炮弹能够越过山丘 '点P(1.2).PA+PC的最小值为