第3章 第5讲 反比例函数与几何图形结合-【中考宝典】2024年中考数学(深圳专用版)

第二部分 知识梳理 第5讲 反比例函数与几何图形结合 命分折 深圳近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 反比例函数与三角形、 四边形面积问题 反比例函数与几何 图形综合问题 题16,3分 题15,3分 题14,3分 题14,3分 题14,3分 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数 新课标要求 的解析式 2.能用反比例函数解决简单的实际问题 考点知因梳 理 考点口反比例函数与三角形、四边形面积问题 谭核心笔记 【跟踪训练】 面积求法： (1)公式法：(2)割补法 1.如图是反比例函数y=1的图象，点A(x,y是反 特别提醒：底和高通常选择“横 比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴 的或坚的”线，这样容易通过点的 于点B,连接OA,则△AOB的面积是( 坐标来表示长度 A.1 B.2 C.2 考点2反比例函数与几何图形综合问题 核心笔记 【跟踪训练】 1.找点构成等腰三角形、直角三角 2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A,B 形、平行四边形等问題. 2.找点构成三角形全等、相似 分别在反比例函数y=1(r>0)与y=一 问题. 3.求点的坐标， (x<0)的图象上，则tan∠BAO的值为 审特别提醒：这类题往往要分类 3.(2023春·雁峰区期末)如图，等腰直角△ABC的 讨论 顶点A坐标为（一4,0），直角顶点B坐标为(0,1)， 反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k= x 894 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 例 题精 考点☑反比例函数与三角形面积问题 例L.(2023·锦州)如图，在平面直角坐标系中， 变L.(2022秋·广东梅州校考阶段练习)如图，在 △AOC的边OA在y轴上，点C 平面直角坐标系中，A(0,2),B(3,0),点C在第 在第一象限内，点B为AC的中 象限内，且CB⊥x轴，AC=AB,反 4 点，反比例函数y=(x>0)的 比例函数y=(k>0)的图象交 图象经过B,C两点.若△AOC的面积是6，则kAC于点D,交BC于点E,若点D可 的值为 是AC的中点，则△CDE的面积是 A. 5 4 B.3 D. 15 考点2反比例函数与四边形面积问题 常考题型：1.根据图形面积求比例系数（解析式）：2.已知比例系数求特殊图形的面积. 例2.(2023秋·广东广州校考期末)如图，直线 变2.如图，直线y=一x与反比例 y=一x+2与x轴，y轴分别相交于A,B两点， 函数y=一6的图象相交于A,B 过A,B两点作矩形ABCD,AB=2AD.曲线y 两点，过A,B两点分别作y轴的垂 飞在第一象限经过C,D两点， 线，垂足分别为点C,D,连接AD,BC,则四边形 则k的值是 ACBD的面积为 A.3 B.6 A.4 B.8 C.12 D.24 C.8 D.24 考点☒反比例函数与几何图形综合问题 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2022·西宁)如图，正比例函数y=4x与 解：)？正比州函数y一4r与反北例函数y-(r>0)的图象 反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(a,4), 交于点A(a,4), ,44,a=1,,A(1,4),*+…*+……+++…2分 点B在反比例函数图象上，连接AB,过点B作 六女4X1-4.心反比例函数的解新式为y一生 …4分 BC⊥x轴于点C(2,0), (1)求反比例函数的解析式； (2)当n=2时·y= 22. (2)点D在第一象限，且以A,B,C, .B(2,2),BC=2.…4+ D为顶点的四边形是平行四边 ,点D在第一象限，以A,B.C,D为顶点的国边形是平行四边形 形，请直接写出点D的坐标。 ∴，AD∥BC,AD=BC=2,,BC⊥x抽， ,,D的坐标为(1,2)或(1,6)。+*”8分 解： 满分：8分 实得： 904 第二部分。知识梳理 例3.(2023·商水县一模)如图，在平面直角坐标 变3.(2023仪征市期末)如图，一次函数y1= 系xOy中，直线AB与反比例函数y=的图象kx十b与反比例函数y:=严(x>O)的图象交于 交于点A1,m,B(%-3,-2). A(1.4),B(2,2)两点 (1)分别求出该一次函数和反比 (1)求反比例函数的解析式： 例函数的解析式： (2)求△AOB的面积. (2)取AB的中点E,连接OE,则 △OEC是等腰三角形吗？如O 是，请证明：如不是，请说明理由。 o91。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 核©需点御练 (一)基础过关 【建议用时：10分钟 正确率：/6】 考点)反比例函数与三角形、四边形面积问题 1.(2023·泉州期末)如图，点A在反比例函数y=(r<0)的图象上，AB⊥x轴于点B,C是OB的 中点，连接AO,AC,若△AOC的面积为3，则k的值为 () A.12 B.-12 C.6 D.-6 B C O (第1题图) (第2题图) 2.(2023·商水县一模)正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴和y轴上，点C在反比例函数y= 2(x>O)的图象上，点D在第二象限内，若AO=3BO,则正方形ABCD的边长为 () A./10 B.3 C.7 D.5 考点2反比例函数与几何图形综合问题 3.(2023·重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E,顶点A在 第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y=冬(k≠0，x>O)的图象同时经过顶点C,D,若点 C的横坐标为6，BE=2DE,则k的值为 () 入号 R号 D.18 (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.(2023·丽水期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴上，对 角线交于点E,反比例函数y=(x>O)的图象经过点D,E.若E点坐标为(4,4)，则B点坐标为 5.(2023·新昌县模拟)如图，在Rt△ABC中，AB=CB,直角顶点B在y轴上，边AB交x轴于点 D(号0，点C的坐标为（一4.0），反比例函数y-冬(k≠0)的图象过点A,则的值是一 o924● 第二部分知识梳理 6.(2023·薛城区二模)如图，一次函数y=ax十b与反比例函数y=”(x<0)的图象交于A(一2,4)， B(一4,2)两点，且与x轴和y轴分别交于点C,点D. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)根据图象直接写出不等式>ax十b的解集： (3)若点P在y轴上，且Sm=Sm:请求出点P的坐标， (二)能力提升 【建议用时：10分钟 正确率：/6】 1.(2022·牡丹江)如图，等边三角形OAB,点B在x轴正半轴上，S△4m=4√3，若反比例函数y= (k≠0)图象的一支经过点A,则k的值是 ( A.33 B.23 D.43 2 C33 4 y=0) (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.(2022·郴州)如图，在反比例函数y=二(x>0)的图象上任取一点A,过点A作y轴的垂线交反比 例函数y=一8(x<0)的图象于点B,连接OA,OB,则△4OB的面积是 () A.3 B.5 C.6 D.10 3.(2023·大庆模拟)反比例函数y一在第二象限的图象如图所示，过函数图象上一点P作PA1 x轴交x轴于点A,已知△PAO的面积为3，则k的值为 ●93。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 4.(2023·鹿城区校级三模)如图，菱形OABC的边OC在y轴上，点B在第一象限，y4 且∠B=60°，将这个菱形向右平移2个单位得到菱形OA'B'C'(点A'和A对应). 若反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A',B,则k的值为 5.(2023·贵州模拟)如图，已知点A,B为反比例函数y=1图象上两点，连接AB, 线段AB经过原点O,点C为反比例函数y=(k<O)在第四象限内图象上一点， 当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且器-哥时，k的值为 6.(2022·盘锦)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B 的坐标是（一4,8），反比例函数y=(x<0)的图象经过点C. (1)求反比例函数的解析式； (2②)点D在边C0上，且咒-子过点D作DE/:轴，交反比例两数的图象于 点E,求点E的坐标， 保圳中考你国行 1.(2019·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C(0,-3),CD=3AD,点A在y =上，且y轴平分∠ACB,则k= o944e 第二部分知识梳理 2.(2020·深圳)如图，在平面直角坐标系中，0C0,0),A(3,1),B1,2),反比例函数y=(k≠0)的图 象经过□OABC的顶点C,则k= (第2题图) (第3题图) (第4题国) (第5题图) 3.(2021·深圳)如图，已知反比例函数过A,B两点，A点坐标(2,3)，直线AB经过原点，将线段AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则C点坐标为 4.(2022·深圳)如图，已知直角三角形ABO中，AO=1,将△ABO绕点O点旋转至△A'B'O的位置， 且A在OB的中点，B在反比例函数y=上，则k的值为 5.(2023·深圳)如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB-∠BOC-30°，BA⊥ OA,CB⊥OB,若AB=3,反比例函数y=(k≠0)恰好经过点C,则k 创新考法 ● 【新考法】定义运算：mina,b,当a≥b时，mina,b=b:当a<b时，mina,b=a.例如：min一1,3= -1;min-1,-2=-2. 完成下列任务 (1)①min(-3)°，2=：②min-√/14，-4= (2)如图，已知反比例函数=和一次函数y,=一2x十b的图象交于A,B两点.当 一2<<0时，min,-2x+b=(c+1)(x-3)一x.求这两个函数的解析式. 审总结反思： 请完成精练本第23一24页习题 ●y954。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 特训营一【专训篇】 函数中的面积问题 睡核心笔记 审【跟踪训练】 三角形一边平行于坐标轴（或在坐 标轴上) 1.如图，一次函数y=号x十+3的图象与x轴交于 A O 41 点A,与y轴交于点B,则△AOB的面积是 2.如图，直线y=一2x+4分别交x轴，y轴于点A,B,直线y=x十 1交x轴于点C,交直线AB于点P,则△POC的面积是( A.2 B.3 c D.1 S△= BC·AD. 可核心笔记 审【跟踪训练】 三角形三边都不平行于坐标轴（或 不在坐标轴上)，常见方法： 3.如图，反比例函数y一在第一象限的图象上有两点A,B,它们的 ①延长一边 横坐标分别是2,6，则△AOB的面积是( A.5 B.6 C.7 D.8 0 S△AB=Sahc-S么r 4如图，二次函数)y=一号-专十2的图象与轴交于A,B两 ②构造与坐标轴平行的线段 点，与y轴交于点C (1)直接写出A,B,C三点坐标： (2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当 △ACP的面积最大时，求点P的坐标. OC D'x S△H=S△0·十SB一S△m >d B D S△w=S△AD十S△D D:AF B---. x S△r=SE一SD一S一S ●964 第二部分知识梳理 【综合训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B,C在反 比例函数y=2(r>0)的图象上，则△OAB的面积等于 x A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2022春·忠具期未)如图，已知一次函数)=2十a与y=-x十b的图象都经过 A(2,0),且与y轴分别交于点B,C,则△ABC的面积为· 3.(2022春·泰兴市期末)如图，一次函数y=k.x十2的图象与反比例函数必=一 的图象相交于A(a,一2a),B(4,-2)两点， (1)求a,k的值 (2)结合图象，直接写出不等式kx+2+<0的解集： (3)连接OA,OB,求△AOB的面积 o97。 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 4(2023春·常德·九年线统考期中)如图，一次函数=虹十6（≠0）的图象与反比例函数头=只 (m≠0)的图象交于点A和点B,与x轴交于点F,与y轴交于点C,点A的坐标为(6,2)，点B的坐 标为(a,一6). (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)若点E是点C关于x轴的对称点，连接BE,AE,求△ABE的面积： (3)当函数值y<y:时，直接写出x的取值范围. 5.(2022春·大埔县期中)如图，已知二次函数y-ax十2ax一3的图象与x轴交于点A,点B,与y 轴交于点C,其顶点为D,直线DC的解析式为y=kr一3.已知im∠OBC= 2 (1)求二次函数的解析式和直线DC的解析式： (2)连接BD,求△BCD的面积. 面总结反思： 审请完成精练本第25一26页习题 ●984。新课标中考宝典·数学(深圳专用版 1$2X2+1x2×4-2+4-6. 将y-2或-2代人y--得x-2或- 6-2 △CDO的面积是6. 2..'点P(2,2)或(-2.-2). (二)能力提升 1.反比例函数的解析式为y-2 深圳中考你在行 1.解:(1)·一次函数y--2r十2的图象 1.解;(1)将点A(2,4)代入y--中,得m 将点A(1,2)代入y=nr,得m-2 与v输:x轴分别交于点C,点D: 2.正比例函数的解析式为y-2x ·点C(0,2):点D01:0).:0F-4: -2×4一8..,反比例函数的解析式为y '.OC-CE-2. -8.将点B(a,1)代入y-8中,得a= (2)解方程组 I-2r. ·AEC=DOC=90.ACE= 8..$B(8,1).将点A(2,4).B(8.1)代入 DCO...△AEC△DOC(ASA). 1=1,=-1. 8+6-1 得: 'AE-OD-1.',点A(-1,4. y-r十6中,得 1-2.--2. 2+6-4” ,点A在反比例函数y:一-的图象上, 7.点B的坐标为(-1,一2). .-## 例3:解;(1)一次函数y=--十m与反 '-1×4--4.,反比例函数的解 比例函数y-相交于点A和点B b-5 析式为o=一 . .一次函数解析式为y=- 1+ (3.-1). (2)r的取值范围为-1<r<0; (2)r8或0<r<2. (3)由于直线PA AB,可设直线PA的 关系式为y-+6. 创新考法 解得n-2,b--3. 105 第5讲 -1,解得 '.反比例函数的解析式为二一 反比例函数与几何图形结合 把点A(-1,4)代入得4-- 考点知识梳理 (y-+2. (2)解方程组 1.B 2.5 3.-5 .直线PA的关系式为y-+当y 例题精讲 # 例1:4 变1:D -0时,z一-9.,点P的坐标为(-9,0). 例2;A 变2:C .A(-1.3). 2.解:(1).点A(n,4)在反比例函数y 例3:解:(1).将点A.B坐标代人反比例 观察图象可得,当xv>v时,c的取值 (m一 范围为r-1或0<r3. 4. _3 变3:解:把A(m,2)代入y-得: 又,点A(1,4),C(0,3)都在一次函数y 1-2.解得n-4.v.A(4.2), 解得 {-3. 一十b的图象上. #= m=3. .. (^十b-4 ,解得 把A(4,2)代入-(c>0)得:- 1-3 .反比例函数的解析式为y-3. ..一次函数的解析式为y一r十3: 2.解得k-8. (2)由(1)得:A点坐标为(1.3).B点坐标为 (2)对于y-x十3,当y-0时,r--3. (-3,一2). 2.反比例函数的解析式为一 .OB-3. .C(0.3)...0C-3. 核心考点讲练 设直线AB的解析式为y=x十b. (一)基础过关 如答图:过点A作AH v轴干点H:过 -16,{ 点P作PD:轴于点D. 解得/6=2, 1.A 2.B 3.A 4.A 5.4 -2- 1-1. #。# 6.解;(1)在y=x+2中,令x-0得y-2. 令-0得x--2..A(0.2),B(-2. .直线AB的解析式为y-2r+1. ). 如答图,设一次函数与r轴的交点 AB-BC.A为BC的中点,:.C 为D. _# (2.4),把C(2.4)代人y- -#得4-## 答图 解得一8:.的值为8; 'S.2..oB· Pp2x (=+2. ### (2)由 得: 1.C·AH,即x3XPD-2X (## 答图 3×1. 令y-0.0-2r+1. 解得PD一2.'.点P的纵坐标为2或 解得-一 。. *D(-4.-2).'S-S+S -2. 。 数学 参考答案 .点D的坐标为(-,o). -2<r<0或-4; ·.点E的坐标为(-7.12). #.-# (3)在y-r+6中,当y-0时,r--6. .C(-6.0). 深圳中考你在行 1ocx(一 1.7 .$-寸3 2.-2 3.(4.-7) $S-S-S= 4.③ #)-6×2-6.$= ##2# 5.4v3 创新考法 6-3. 变3:解;(1)把(1,4)和(2,2)分别代入y (1)1-4 点P在y轴上.oPx|xl-3 {-4, 解:(2)由函数图象可知当一2<x<0时. -十可得 2+b-2. $OP-3P(0,3)或(0.-3). #2-+. (^--2。 (二)能力提升 解得 6-6. . :n 2-+0 1.D 2.B 3.-6 4.3 5.-9 --2+6. '.y=-2r+6. 又”min-2+ol 把(2.2)代人y-“可得”-2. -(r+1)(r-3) 6.解:(1)根据题意,过点B作BF y轴于 点F,如答图: 一. 四边形OABC是菱形,设点A为(0. '.-2r+b-(r+1)(r-3)-. n).OA-BC-AB-m (2)△OEC是等腰三角形, “.b一3,.一次函数的解析式为y” ·点B为(一4.8). 证明:.A(1,4).B(2,2),点E为AB -2x-3,当x-2时,=1; '.BF-4.AF-8-n. $.A(-2.1),将A(-2.1)代入=得& 的中点,.E(,3). 在直角△ABF中,由勾股定理,则AB -BF+AF,即n-4+(8- } 过点E作CF1OC于F,如答图 --2×1--2. 解得n-5. _# .反比例函数的解析式为y=一 ..OA=BC-AB-5. 2点C的坐标为(一4.3). 特训营一【专训篇】,函数中的面积问题 【跟踪训练】 1.3 2.D 3.D oFC , .反比例函数的解析式为y--12 4.解:(1)A(-3.0).B(1.0),C(0.2) 答图 7 (2)如答图,过点P作PD/y轴交AC (r0); 于点D. 2 'OF-()+3-3. 把y-0代入--2r+6可得-2r+ 6-0.-3.C(3.0)0C-3. $.CF-oc-0F-3-- HGO . 答图 答图 $.CF-EF叶CF-3+() (2)作DG1r轴,CHI-轴,垂足分别为 设直线AC的解析式为y一r十b( 点G.点H,如答图. . -3十b-0解得{ ★ 2}# -35 晚 6-2. ·OE-CE:'.△OFC是等腰三角形. 1-2. 0 ·DG/CH...△ODG0△OCH. 核心考点讲练 (一)基础过关 1.B 2.A 3.C 4.(0.6) 5.3 .点C的坐标为(一4.3). 设点 P(a--a+2)#)则(a,} 6.解:(1)将A(-2,4)代入y-望(r<0) '.OH-4.CH-3. a十2. 得4-..--8. #$PD---4+2-(+2)- .0c-15.DG-2. - -2a .点D的纵坐标为12. 将A(-2,4),B(-4.2)代入y=ar+b .ssu+Sso-(-2 -4a+b-2. 'DE/c轴.v.点E的纵坐标为2. -6. 1.一次函数的解析式为y=x+6. .当a--时,s有最大值,此时一 (2)观察图象可知,”→ax十6的解集为 新课标中考宝典·数学(深圳专用版 #1-4-- 5.解:(1)设r-0,代入y=ar+2ax-3 3.-24.--1-1 则y--3. 2.抛物线和y轴的交点为C(0.-3). 5.D 6.B 7.D 8. B 9.(1,0).(7,0) (二)能力提升 最大。 :sinOBC- 1.A 2.B 3.A 4.A 5.D 【综合调练】 OC-3.*.B(-3.0). 1.B 2.3 6.0且1 将B(-3,0)代入y=ar+2ar-3.得 7.解:把点A(3,0),B(0.3)代人y=kr十 3.解:(1),'一次函数y-r十2的图象与 {3十b-0解得{ 9-6-3-0.'a-1. 6.得 {--1. 反比例函数y=-8的图象相交于 6-3. 'y=+2r-3y=(r+1-4. -3. :.D(-1.-4). A(a.-2a),B(4,-2)两点。 2.一次函数的解析式为y=一r+3; 将D(-1,-4)代入y-kr-3,得 -1. .-2-4+2. 把点A(3,0),B(0,3)代人=-+$$ ..直线DC的解析式是v二r-3; '--1. mr十n. (2)如答图,过点D作DE1y轴于点E. .-十2. 得 -9+3m+n-0. 则E(0.-4). n-3. 代人A(a,-2a)得,-2a--a+2. 解得/”-2. 解得a=-2, 1-3. 'a的值为一2,b的值为-1; 2.二次函数的解析式为y一一+ 不等式tr+2+8<0的解集为-2<r 2r十3. <0或4; 深圳中考你在行 #为 1.C 2.C 3.A 答图 (3)如答图,AB与v轴交于点C.由真线 4.解:(1)当x-3时. 3.--x+2可知C(0,2). 又·B(-3,0),C(0.-3),D(-1.-4. n-2(3-3)+6-6.n-6 .S-S-S-S- 1×(1+3)×4- (2)平移后的图象如图所示; -3. 第6讲 二次函数的图象与性质 答图 考点知识梳理 1.D (2)△AOB的面积-x2X4+×2 2.(1)(r-1)-2 ×2-6. (2)向上 -1(1,-2)(3)>1 <1 4.解:(1),反比例函数y.--(m学0)的 (4)1小-2 3.A 4.C 5.D 6.D 7.A 8.A 9.(0.5) 图象经过点A(6.2).B(a,一6). 例题精讲 '-6x2=12--6.--2. 例1:D变1:(0.3) *B(-2.-6). 例2.C 变2:2 把A(6,2),B(-2.-6)代-r+& [6+62. (-1. 例3:解;根据题意设物线的解折式为y 得 解得 6--4.)=) -2+b--6. a(r1)(r-3). -4. ·把B(0,-3)代入得-3--3a, 2.一次函数解析式为3一c-4,反比例 .-1. '抛物线的解析式为y=x一2x-3. 2. 函数解析式为y:- 由题意得一 ##+$-_,解得-士 (4a-26+c=5. (2)在y=r-4中,令x=0,则y--4. 变3:解:由题意得:a-b十c-0. 5.当r-v5时,y-0.则交点坐标为 .C(0.-4). (9a+3+-0. (v.),当x--5时,y-0.则交点 .点E是点C关于x轴的对称点, a-1. 解得-2. *E(0.4...EC-8. 坐标为(-/5.-),综上所述,y- 1--3. '.Sm-So+S= ×8x2 '抛物线的函数解析式为y一一 +5与y-)的交点坐标分别为 1×8×6=32; 2r-3. 核心考点讲练 (、5.)和(一) (3)A(6,2),B(-2.-6)...由图象可 (一)基础过关 得,当函数值y<时,r<一2或0<r 1.D 2.D (3)由平移后的二次函数可得,对称轴 6. -3.a-20,..当r3时,y随x的增