第2章 第3讲 一元二次方程-【中考宝典】2024年中考数学(深圳专用版)

第二部分。知识梳理 第3讲一元二次方程 命四分折 深圳近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 一元二次方程及其解法 题10,3分 题12,3分 一元二次方程根与 系数的关系 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解 的意义，经历估计方程解的过程 2.掌握等式的基本性质 新课标要求 3.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 5.了解一元二次方程的根与系数的关系 6.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 考 点知识梳理 考点一元二次方程及其解法 更核心笔记 【跟踪训练】 1.一元二次方程的定义 1.(2023·武进区校级模拟)在下列方程中，属于一元二次方程的是 只含有一个未知数，并且未知数 ( 的最高次数是2的方程叫一元 二次方程 A.x2-5=x B.x2+y2=4 2.一元二次方程的一般形式是： D.x(1-2x2)=5x ax2+bx十c=0(a,b,c是常数， c是-1=0 a≠0). 2.(2023·东莞市校级一模)一元二次方程5x2一2x十2=0的一 3.常用解法 次项系数是 () (1)直接开平方法：形如x2=p A.5 B.-2 C.2 或(m.r十n)=p(p≥0)： D.0 (2)配方法：形如(x十)=p: 3.(2023·儋州模拟)用配方法解方程x2十8x十7=0，则配方正确 (3)公式法：形如ax2十bx十c= 的是 ( 0(a≠0)， A.(x+4)2=9 B.(x-4)2=9 求根公式是x=一吐VB一c C.(x-8)=16 D.(x+8)2=57 2a (6-4ac0): 4.(2023·斯华区校级模拟)方程x2一5x=0的解是 (4)因式分解法：容易变形为形 A.x1=x2=0 B.x1=x:=5 如(x一a)(x-b)=0 C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,x=5 ●)454. 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 考点2一元二次方程根的判别式 核心笔记 a【跟踪训练】 一元二次方程根的判别式：△= 5.(2023·长春模拟)方程x2一3x一1=0的根的情况是( h-Aac. A.没有实数根 B.有一个实数根 1.当△>0白原方程有两个不相等 的实数根：2.当△=0曰原方程有 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 两个相等的实数根：3.当△<0曰 6.(2023·西山区二模)关于x的一元二次方程x十2x-k=0有 原方程没有实数根。 两个不相等的实数根，则k的取值范围是 特别提醒：△0方程有实数根 A.k>-1 B.k≥-1 C.k≤1 D.k<1 考点☒一元二次方程根与系数的关系 核心笔记 【跟踪训练】 若一元二次方程a.x2十b.x十c=0 7.已知x,2是一元二次方程x十4x十3=0的两根，则x1十2十 (a≠0，B一4ac≥0)的两根分别 2x1x的值为 ( 为工和x,则：1十=一 b A.-2 B.-1 C.1 D.2 8.已知关于x的方程x2+px十q=0的两根为一3和2，则9的值为 A.-6 B.- 6 D.6 6 考点④一元二次方程的实际应用 球核心笔记 w【跟踪训练】 1,列一元二次方程解应用题的“六 9.(2023·博乐市校级二模)日前以5G等为代表的战略性新兴产 字诀”一审、设、列、解、验、答 业蓬勃发展.某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年 2.主要题型： (1)变化牵问题 底全市5G用户数达到9.68万户.设全市5G用户数年平均增 设a为原来的量，n为增长次数， 长率为x,则可列方程为 ( b为增长后的量.当x为平均增 A.2(1+2x)=9.68 B.2(1+x)=9.68 长率时，则a(1十x)"=b:当x为 C.2(1+x2)=9.68 D.2(1+x)2=9.68 平均下降率时，则a(1一x)”=b. 10.(2023·鸡西二模)一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全 (2)利润问题 单件利润=售价一成本：总利润 组共送贺卡90张，则这个小组共有 ( 单件利润×销售量. A.9人 B.10人 C.12人 D.15人 (3)椭环问题 ①n(n>1)个人握手，单循环赛 总次载：2 2:②n(n>1)个 人互送礼物总份数：n(n一1). (4)面积问题 1 S都=长X宽：S△= 2 ×底X高 464 第二部分 知识梳理 例题精讲 考点☑一元二次方程的根 例1.(2023·浦江县模拟)一元二次方程x2一4x十 变1，(2023·莲池区二模)已知一元二次方程的 3=0的解是 )两根分别为=3，=一4：则这个方程为( A.x1=3,x2=1 B.x1=-3,x2=1 A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0 C.x1=3,x2=-1 D.x01=-3,x2=-1 C.(x十3)(x十4)=0 D.(x-3)(x-4)=0 考点2一元二次方程根的判别式 常考题型：1.利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；2.利用根的判别式求字母的值或取值范国. 例2.(2023·广东模拟)关于一元二次方程x2+变2.(2023·宜阳县三模)若关于x的方程2x2+ 2x十1=0根的情况，下列说法中正确的是( )4x十c=0没有实数根，则c的值可能为( A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 A.0 B.1 C.2 D.3 C.没有实数根 D.无法确定 考点3一元二次方程及其解法 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2023·齐齐哈尔)解方程：x2一3x+ 解：，x2-3x+2=0, 2=0. .(x-1)(x-2)=0,…2分 解： x一1=0或x一2=0，…4分 x=1,x=2.………5分 满分：5分 实得： 例3.(1)当m的值为多少时，关于x的方程(m 变3.(2023·新华区校级模拟)下面是小明解一元 1).x2+2x一6=0是一元一次方程： 二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. (2)解一元二次方程x十2x一6=0. 解：2x2+4x一8=0. 二次系数化为1，得x2十2x一4=0，…第一步 移项，得x2十2x=4,……第二步 配方，得x2十2x十4=4十4，即(x十2)y=8,… 第三步 由此，可得x十2=士22，… 第四步 所以，x1=一2十2v2,x2=一2-2、2.…第五步 (1)小明同学解题过程中，从第 步开始出 现错误； (2)请给出正确的解题过程 47 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 核点御练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：/8】 考点☐一元二次方程及其解法 1.(2023·河东区校级模拟)若关于x的方程(a一1)x十ax一1=0是一元二次方程，则a的取值范围 是 A.a≠1 B.a=1 C.a≥1 D.a≠0 2.(2023·长沙县三模)若x=1是一元二次方程2x2一4.x十k=0的根，则k的值为 考点2一元二次方程根的判别式 3.(2023·吉林)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是 A.33 B.23 C.17 D.√17 4.(2023·商丘四模)已知关于x的一元二次方程x2十bx十1=0有两个不相等的实数根，则在下列选 项中，b的值可以是 ( A.b=-1 B.b=-2 C.b=-3 D.b=0 考点3一元二次方程根与系数的关系 5.(2023·泰州)关于x的一元二次方程x2+2x-1=0的两根之和为 6.（2023·芳泽)一元二次方程r+3x-1=0的两根为则十号的值为 ( A号 B.-3 C.3 n-号 考点④一元二次方程的应用 7.(2023·郑城县一模)某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠 活动（即两次打折数相同），优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程 () A.500(1-2x)=320 &50(信) =320 C.5001-0)=320 D.500(1-x)2=320 8.(2023·黑龙江模拟)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果 每天要盈利800元，每件应降价 () A.12元 B.10元 C.11元 D.9元 (二)能力提升 【建议用时：5分钟正确率：6】 1.(2023·大同校联考模拟)将方程2x2一12x十1=0配方成(.x一m)=n的形式，下列配方结果正确 的是 A.(x+3)2=17 B(x+3)2=17 C.(x-3)2=17 D.(x-3)2=17 2 ●48。 第二部分知识梳理 2.(2023·西山区校级模拟)已知关于x的一元二次方程x一2x十m十2=0有实数根，则一次函数 y=x十m的图象一定不经过 () A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.(2023·林州市模拟)已知等腰△ABC的边是方程x一7x十10=0的根，则△ABC的周长为() A.9 B.9或12 C.6或15 D.6或12或15 4.(2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程x2十2m.x十m一m十2=0有两个不相等的实数根，且x 十x:十xx2=2,则实数m= 5.(2023·郴州)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游 客人数为2.5万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该 景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是 多少万人？ 6.(2023·东营)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊 圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）. (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m°的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 49e 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 保圳中考你往行 1.(2021·深圳)已知方程x2十mx一3=0的一个根是1，则m的值为 2.(2022·深圳)已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 3.(2023·深圳模拟)一个矩形周长为56厘米. (1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由. 创新考击 【教材拓展】我们知道，一元二次方程x=一1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于一1，如果我 们规定一个新数“”使它满足严=一1（即x=一1有一个根为i),并且进一步规定：一切实数可以与新 数“”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i=i,=一1，=·i=一i,= ()”=1,…那么2s= 甲总结反思： 4444444444444444444444444444444444 请完成精练本第10一11页习题 ●》504。敬学参考答案 例2：B变2：D 3)(3.x-2), 均增长率为25%. 例3解马-之 整理得：7.r2一20r十13=0， (2)设5月份后10天日均接待游客人数 分解因式得：(r一1)(7x一13)=0： 是a万人， 方程两边同乘r(x一1》得2r■r一1. 13 由题意可得2.125+10a≤2.5(1+ 移项解得x=一1， 解得：r=1,= 25%),解得a≤0.1. 将x=-1代人r(x-1)≠0， 经检验1=1与 .x=一1是原分式方程的解 13都为分式方 答：5月份后10天日均接待游客人数最 7 多是0.1万人 变3：解：去分母得，x(x一1)=2， 程的解。 去括号得x2一r=2, 3.解：设甲类型的笔记本电脑单价为x元， 6.解：(1)设矩形ABCD的边AB=rm,则 边BC-70-2x+2=(72-2rm 移项得，r2一x一2=0 则乙类型的笔记本电脑为(x十10)元. 根据题意，得x(72-2x)=640, .(x2)(x+1)=0 由题意得：0-120 化简，得2一36x十320=0，解得= x=2或x=一1， 解得：x=11经检验=11是原方程的 16,=20, 将x=2代人原方程，原方程左右 解，且符合题意.∴.乙类型的笔记本电脑 当x=16时，72-2x=72-32=40: 相等， 单价为：11+1=12（元）， 当x=20时，72-2.x=72-40=32, .x=2是原方程的解： 答：甲类型的笔记本电脑单价为11元， 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长 将x=一1代人，使分母为0， 乙类型的笔记本电脑单价为12元 为32m,宽为20m时，能围成一个面积 上m一1是原方程的增根， 创新考法 为640m的羊圈： .原方程的解为x=2. (2)答：不能， 核心考点讲练 第3讲 一元二次方程 理由：由题意，得r(72-2r)=650, (一)基础过关 考点知识梳理 化简，得x2一36.r+325=0, 1.B2.B3.C4.C 1.A2.B3.A4.D5.D6.A7.D △=(-36)°-4×325=-4<0. 5,解：由题意得量简公分母为2(r一1)， 8.A9.D10.B ·一元二次方程没有实数根. .原方程可化为2+2一2=3， 例题精讲 ∴.羊圈的面积不能达到650m, = 例1：A变1：A 深圳中考你在行 1.22.9 检验：把x=号代入2(r-1)=1≠0，且 例2：B变2：D 例3：解：(1)1： 3.解：设矩形的长为x厘米，则另一边长为 原方程左边=右边 (2)2+2x-6=0, (28一x)厘米， “原方程的解为=受 x+2.r=6, (1)依题意有r(28-x)=180, x2+2x+1=7, 解得，=10（舍去）， 6.解：设每台A型机器每天搬运货物x吨， (r+1)°=7， x=18,28-x=28-18=10. 则每台B型机器每天撒运货物(x十 x+1=±/7. 故长为18厘米，宽为10厘米： 10)吨， (2)依题意有x(28-x)=200, 由超意得学-0解得一如，当 所以1=-1+7，=一1一7. 即x2-28x+200=0,则△=28一4× 变3：(1)三 200=784一800<0，原方程无解，故不能 r=90时，x(r+10)≠0， 解：(2)2.r+4r-8=0, 围成一个面积为200平方厘米的矩形. x■90是分式方程的根，r+10 +2.x-4■0， 创新考法 90+10=100. .r2+2x=4, 答：每台A型机器每天搬运货物90吨， .x2+2x+1=4+1 第4讲一元一次不等式（组） 每台B型机器每天搬运货物100吨. ∴.即(x+1)2=5, 考点知识梳理 (二)能力提升 r+1=±5 1.B2.D3.B4.A5.D6.-3 1.D2.A3.D4.x=4 所以x=一1+5，=-1一5 7.D8.B9.710.D 5,解：设第一批足球单价为x元，则第二批 核心考点讲练 例题精讲 足球的单价为(x一2)元， (一)基础过关 例1：D变1：D 由题意得×2=52 1.A2.23.C4.C5.-26.C r-2 例2：B变2：A 7.B8.B 解得x=80, 例3：A (二)能力提升 经检验，x=80是原方程的解，且符合 变3：解：解不等式①，得>一1， 1.D2.C3.D4.3 题意， 解不等式②，得<3， 5.解：(1)设这两个月中该景区游客人数的 则-2=78,0+10=30， 在同一条数轴上表示不等式①②的 月平均增长率为， 解集， 答：该学校两批共购买了30个足球。 由题意可得1.6(1+)2=2.5 原不等式组的解集是-1<r<3, 深圳中考你在行 解得4=25为一是（不合题意舍去 整数解为0.1,2 1.B 2.解：去分母得：3r2-2r+10.r-15=4(2.r 答：这两个月中该景区游客人数的月平 -3-10123 3