第2部分 第3章 第6讲 二次函数的图象与性质-【中考宝典】2024年中考数学课件(广东专用版)

第二部分　知识梳理 第三章　函数 第6讲　 二次函数的图象与性质 目 录 01 命题分析 02 考点知识梳理 03 例题精讲 04 核心考点讲练 05 广东中考你在行 06 创新考法 01 命题分析 广东近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 二次函数的图象及性质     题9，3分 题10，3分   题10，3分 待定系数法求二次函数的解析式       题23(1)， 5分   a，b，c，b2－4ac符号的确定   题10，3分       第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 广东近五年真题分析 命题点 2019 2020 2021 2022 2023 二次函数图象的平移规律   题7，3分 题12，4分     二次函数与一次、二次方程的关系 题25(1)，2分         第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 广东近五年真题分析 新课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 02 考点知识梳理 二次函数的定义 ☞核心笔记 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数． ☞特别提醒：当b＝0或c＝0或b，c同时为0时，也是二次函数 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 ☞【跟踪训练】 1．(2023秋·湖南益阳·九年级统考期末)下列函数中，是二次函数的是(　　) A．y＝－ B．y＝ C．y＝2x＋1 D．y＝－2x2＋1 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数的图象及性质 ☞核心笔记 抛物线 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 当a>0时，开口向上，并向上无限延伸 当a<0时，开口向下，并向下无限延伸 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 抛物线 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 顶点坐标 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 对称轴 y轴 y轴 直线x＝h 直线x＝h 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 抛物线 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c y＝a(x＋)2＋ 最值 a>0 x＝0时， ymin＝0 x＝0时， ymin＝c x＝h时， ymin＝0 x＝h时， ymin＝k a<0 x＝0时， ymax＝0 x＝0时， ymax＝c x＝h时， ymax＝0 x＝h时， ymax＝k 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 抛物线 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c y＝a(x＋)2＋ 增减 性 a>0 　 a<0 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 ☞【跟踪训练】 2．已知抛物线y＝x2－2x－1. (1)化为顶点式为y＝____________. (2)该抛物线的开口方向______，对称轴为直线______，顶点坐标为__________； (3)当x_____时，y随x的增大而增大，x_____时，y随x的增大而减小； (4)当x＝___时，函数y有最____值，是_____. (x－1)2－2 向上 x＝1 (1，－2) ≥1 ≤1 1 小 －2 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 待定系数法求二次函数的解析式 ☞核心笔记 已知条件 设解析式的形式 待定系数法求解析式 已知顶点(h，k)＋其他点坐标 顶点式：y＝a(x－h)2＋k 联立方程，得出结果，再代回所设解析式 已知与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)＋其他点坐标 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) 已知任意三个点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 ☞【跟踪训练】 3．一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是(　　) A．y＝4x2＋3x－5 B．y＝2x2＋x＋5 C．y＝2x2－x＋5 D．y＝2x2＋x－5 A 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 4．若二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)，则该二次函数的解析式为(　　) A．y＝ (x－2)2－1 B．y＝(x＋2)2－1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝－(x－2)2－1 C 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 a，b，c，b2－4ac符号的确定 ☞核心笔记 抛物线y＝ax2＋bx＋c. 1．a决定抛物线的开口方向和开口大小 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 3．c决定抛物线与y轴的交点位置 抛物线y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝c，即抛物线与y轴的交点为(0，c)． 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 4．b2－4ac的符号决定抛物线与x轴的交点个数． (1)b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有2个交点； (2)b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有1个交点； (3)b2－4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点． 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 ☞【跟踪训练】 5．关于二次函数y＝2(x＋3)2＋6，下列说法正确的是(　　) A．开口向下 B．对称轴为直线x＝3 C．顶点坐标为(3，6) D．当x<－3时，y随x的增大而减小 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 6．(2023·上海一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则a，b，c满足(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a>0，b<0，c<0 C．a<0，b>0，c>0 D．a>0，b<0，c>0 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数图象的平移规律 ☞核心知识 平移前的 解析式 移动方向(m>0) 平移后的解析式 简记 y＝a(x－ h)2＋k 向左平移m个单位 y＝a(x－h＋m)2＋k 左“＋” 右“－” 向右平移m个单位 y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k＋m 上“＋” 下“－” 向下平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k－m 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 ☞【跟踪训练】 7．(2023秋·河北张家口·九年级统考期末)将抛物线y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为(　　) A．y＝2x2 　　 B．y＝2x2＋6 C．y＝2(x－2)2 　　 D．y＝2(x－2)2＋6 A 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数与一元二次方程的关系 ☞核心知识 Δ＝b2－4ac 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 b2－4ac>0 两个 两个不相等的实数根 b2－4ac＝0 一个 两个相等的实数根 b2－4ac<0 无 无实数根 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 ☞【跟踪训练】 8．(2023春·盐城期中)抛物线y＝2x2－x＋1与y轴的交点坐标是(　　) A．(0，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(2，0) 9．(2022秋·南通阶段练习)抛物线y＝(x－3)2－4与y轴的交点坐标是________. A (0，5) 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 03 例题精讲 二次函数的平移规律 例1.(2023秋·浙江)将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝5(x＋3)2＋2 B．y＝5(x－3)2＋2 C．y＝5(x＋3)2－2 D．y＝5(x－3)2－2 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 变1.将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移2个单位长度后得到抛物线C2，则抛物线C2与y轴的交点坐标是________. (0，3) 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数的图象和性质 常考题型：1.根据二次函数的性质判定对错；2.求二次函数的最值． 例2.(2023·兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　　) A．对称轴为x＝－2 B．顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 变2.(2023·泰安)二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是_____. C 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 待定系数法求二次函数解析式 答题规范 作答区域 示范题：已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M. 求该抛物线的解析式及点M的坐标． 解： 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 答题模板与评分标准 解：将A(－1，0)，B(2，0)代入y＝ax2＋x＋c(a≠0)得 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 例3.(2023·大庆节选)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A(3，0)，C(－1，0)两点，抛物线与y轴的交点为B(0，－3)． 求抛物线的解析式． 解：根据题意设抛物线的解折式为y＝a(x＋1)(x－3)， ∵把B(0，－3)代入得－3＝－3a， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 变3.(2022·广州二模节选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，5)，与x轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点． 求抛物线的函数解析式． 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 04 核心考点讲练 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 　 正确率： /9 】 二次函数的图象及性质 1．下列关于二次函数y＝－3x2＋3x＋6的图象和性质的叙述中，正确的是(　　) A．点(－1，4)在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．当x>1时，y随x的增大而减小 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 2．已知抛物线y＝(x－1)2＋2，下列说法错误的是(　　) A．顶点坐标为(1，2) B．对称轴是直线x＝1 C．开口方向向上 D．当x>1时，y随x的增大而减小 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数解析式的确定 3．若抛物线的顶点为(1，－1)，且过点(0，0)，则函数的关系式为___________. 4．已知二次函数y＝ax2＋bx－1的图象过A(2，0)和B(4，5)两点，则这个二次函数的解析式为_____________. y＝x2－2x 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数图象的平移 5．将拋物线y＝3x2向上平移1个单位，得到抛物线(　　) A．y＝3(x－1)2 B．y＝3(x＋1)2 C．y＝3x2－1 D．y＝3x2＋1 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 6．抛物线y＝x2－4x＋7先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后解析式是(　　) A．y＝(x－4)2＋6 B．y＝x2＋6 C．y＝(x－2)2＋6 D．y＝(x＋4)2＋6 B 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数图象与a，b，c的关系 7．已知抛物线y＝(a－3)x2的图象开口向下，则a的值可能是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是(　　) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．b2－4ac>0 B 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 二次函数与一元二次方程的关系 9．抛物线y＝x2－8x＋7与x轴的交点坐标为________________. (1，0)，(7，0) 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 　 正确率： /7 】 1．如图，用绳子围成周长为10 m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是(　　) A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 A 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 2．将抛物线y＝－4x2＋3向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为(　　) A．y＝－4(x＋2)2－1 B．y＝－4(x－2)2＋2 C．y＝－4(x－2)2－1 D．y＝－4(x＋2)2＋2 B 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 3．无论m为任何实数，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图象一定过的点是(　　) A．(1，3) B．(1，0) C．(－1，3) D．(－1，0) A 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 4．已知(－2，y1)，( ，y2)，(1，y3)是二次函数y＝ x2＋x＋c图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y3>y2>y1 B．y3<y1<y2 C．y2<y3<y1 D．y3<y2<y1 A 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) D 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 6．已知二次函数y＝(k－1)x2＋2x－1与x轴有交点，则k的取值范围是____________. k≥0且k≠1 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点A(3，0)，B(0，3)两点．求一次函数y＝kx＋b和二次函数y＝－x2＋mx＋n的解析式． 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 05 广东中考你在行 1．(2023·广东)如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 B 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 C 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 3．(2021·广东)设O为坐标原点，点A，B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A，B，过点O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为(　　) A 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 4．(2021·广东)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________. 5．(2020·广东)把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为(　　) A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2＋3 y＝2x2＋4x C 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 6．(2020·广东)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0.其中正确的结论有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 7．(2022·广东)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为C， 与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4， ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3； 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 解：如答图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F， 设P(m，0)，则PA＝1－m， ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴C(－1，－4)，∴CF＝4， ∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA， 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 06 创新考法 【跨学科】(2023·大同)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y(单位： IU)与温度x(单位：℃)的关系可以近似用二次函数y＝－ x2＋14x＋142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为_____ IU． 240 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 ☞总结反思： ☞请完成精练本第27－28页习题 第 ‹#› 页 第6讲　二次函数的图象与性质 返回目录 本节内容到此结束！ logo y＝a(x＋)2 ＋ 直线x＝－ y＝a(x＋)2 ＋ x＝－时， ymax＝ x＝－时， ymin＝ 上正下负 ☞特别提醒：a还决定开口大小，即越大，开口越小 2．a，b决定对称轴的位置 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－. 左同右异 上正下负 解得 故抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2 2分 y＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋ 故顶点M. 3分 满分：3分　　　　实得： 解：由题意得： 解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3. y＝x2－x－1 解：把点A(3，0)，B(0，3)代入y＝kx＋b，得解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋3； 把点A(3，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n， 得解得 ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 2．(2021·广东)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝.这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为(　　) A. B．4 C．2 D．5 A． B． C． D．1 ∴B(－3，0)，∴解得 ∴＝，即＝，∴QE＝1－m，∴S△CPQ＝S△PCA－S△PQA ＝PA·CF－PA·QE＝(1－m)×4－(1－m)(1－m)＝－(m＋1)2＋2， ∵－3≤m≤1，∴当m＝－1时，S△CPQ有最大值2， ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为(－1，0)． 8．(2019·广东节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋x－与x轴交于点A，B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点．求点A，B，D的坐标； 解：令x2＋x－＝0，解得x1＝1，x2＝－7.∴A(1，0)，B(－7，0)． 由y＝x2＋x－＝(x＋3)2－2，得D(－3，－2)． $$