精品解析：江苏省扬州市江都区第三中学2023-2024学年七年级下学期第二次月考数学试卷

江都区第三中学2023-2024学年第二学期 七年级数学学科阶段检测 时间120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列式子正确的是（ ） A. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. （a﹣b）2=a2+2ab+b2 D. （a﹣b）2=a2﹣ab+b2 2. 下列各式中，是关于，的二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 6. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛． 问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　） A. B. C. D. 8. 在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②④ B. ①②③ C. ①② D. ①②③④ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 计算：（m+n）（﹣m+n）＝______． 10. 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 ___________． 11. 小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.000175秒，将这个数字用科学记数法表示为________． 12. 若，，则______． 13. 若，则___． 14. 分解因式：______． 15. 把二元一次方程写成用含的式子表示的形式为________． 16. 不等式的最大整数解是__________． 17. 已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为______． 18. 若不等式组的整数解只有四个，则的取值范围是___． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 解二元一次方程组： （1） （2） 20. 解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 21. 先化简， 再求值： ，其中 22. （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 23. 已知：如图，在中，点D、E分别在上，交于点F，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数， 24. 如图，由边长为的小正方形组成的网格，的顶点都在格点上，请分别按下列要求完成解答： （1）平移，使顶点平移到处，顶点平移到处，画出平移后的； （2）与的位置关系为 ，与的数量关系为 ； （3）线段在平移过程中扫过的面积为 ． 25. 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） （1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ； （2）根据（1）中的结论，若，，则 ； （3）拓展应用：若，求的值． 26. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，当x＝2时，2x﹣3＝2×2﹣3＝1，x+3＝2+3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0的“理想解”． （1）已知①，②2（x+3）＜4，③＜3，试判断方程2x+3＝1的解是否是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程； （2）若是方程x﹣2y＝4与不等式的“理想解”，求x0+2y0的取值范围． 27. 一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 28. 对，定义一种新运算T，规定，其中a，b是非零常数，等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：　　（用含，的代数式表示）； （2）已知且． ①求，的值； ②若关于的不等式组恰好有两个整数解，求的取值范围． （3）当时，对任意的有理数，都成立，请直接写出，满足的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江都区第三中学2023-2024学年第二学期 七年级数学学科阶段检测 时间120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列式子正确的是（ ） A. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. （a﹣b）2=a2+2ab+b2 D. （a﹣b）2=a2﹣ab+b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2． 故选A． 2. 下列各式中，是关于，的二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次，不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．据此依次逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．是代数式，故此项不符合题意； B．是二元一次方程，故此选项符合题意； C．是二元二次方程，故此选项不符合题意； D．不是整式方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ； 故选：D． 5. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集，利用不等式的基本性质求出m的范围即可． 【详解】解：∵（m-1）x＞m-1的解集为x＜1， ∴m-1＜0， 解得：m＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 6. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛． 问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，根据题中等量关系列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 7. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意表示出打折后售价以及结合利润与进价之间的关系得出不等式即可． 【详解】解：∵商品标价为500元，打x折销售， ∴商品售价为元， ∵利润率不低于， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确的不等关系是解题关键． 8. 在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②④ B. ①②③ C. ①② D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确， 综上正确的有：①②④． 故选A 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 计算：（m+n）（﹣m+n）＝______． 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（m+n）（﹣m+n） ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 10. 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 ___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形内角和公式． 利用多边形的内角和公式，计算出十边形的内角和，然后再除以10即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 11. 小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.000175秒，将这个数字用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数0.000175用科学记数法表示正确的是， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法，即可求解． 【详解】解：，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 13. 若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 15. 把二元一次方程写成用含的式子表示的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】把含x项移到方程的左边，即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题涉及到了二元一次方程的知识，考查了利用等式的性质对方程进行变形，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 16. 不等式的最大整数解是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最大整数解是． 故答案为：1． 17. 已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，令，y值未知，消去y是解题的关键． 【详解】解：∵关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数）， ∴令，则原方程为， ∴， ∴， ∴a的值为． 故答案为：． 18. 若不等式组的整数解只有四个，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得，再根据不等式组只有四个整数解即可得到答案． 【详解】解： 解不等式得， ∵不等式组的整数解只有四个， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为 【小问2详解】 解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 20. 解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【答案】（1），解集在数轴表示为： （2），用数轴表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）以及在数轴上表示不等式（组）的解集： （1）先解一元一次不等式，然后用数轴表示其解集； （2）分别解两个不等式得到和，则利用同小取小找得到不等式组的解集，然后用数轴表示其解集． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得： 移项得， 解得， 解集在数轴表示为： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以原不等式组的解集为， 用数轴表示为： 21. 先化简， 再求值： ，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式、代数式求值，先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 22. （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂相乘，同底数幂相除，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方运算法则进行运算，然后再进行变形，整体代入求值即可； （2）先根据得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ， 把代入得：原式． （2）∵， ∴， ∴ ． 23. 已知：如图，在中，点D、E分别在上，交于点F，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数， 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． （1）由题意可得，从而得，由平行线的判定条件可得，则有，从而得，即可判断； （2）由（1）可知，再由角平分线的定义得，再由，即可求的度数，即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 平分， ， ， ， 解得， ， ． 24. 如图，由边长为的小正方形组成的网格，的顶点都在格点上，请分别按下列要求完成解答： （1）平移，使顶点平移到处，顶点平移到处，画出平移后的； （2）与的位置关系为 ，与的数量关系为 ； （3）线段在平移过程中扫过的面积为 ． 【答案】（1）如图，为所求； （2）平行，相等； （3）． 【解析】 【分析】（）根据点的平移方式——向左平移格，向上平移格，作出点、，依次连接即可； （）根据平移的性质求解即可； （）利用割补法求出四边形的面积即可； 本题考查了作图——平移变换，平移的性质，熟练掌握连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得，向左平移格，向上平移格， ∴即为所求； 【小问2详解】 由平移的性质可得：，； 故答案为：平行，相等； 【小问3详解】 扫过的面积为， 故答案为：． 25. 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） （1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ； （2）根据（1）中的结论，若，，则 ； （3）拓展应用：若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． （1）由面积公式和同一个图形面积相等列出等式即可； （2）由（1）可得，，求出即可； （3）将式子变形为，代入已知即可求解． 【小问1详解】 解：由题可得，大正方形的面积，或大正方形的面积， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴或， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， 又， ∴， ∴． 26. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，当x＝2时，2x﹣3＝2×2﹣3＝1，x+3＝2+3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0的“理想解”． （1）已知①，②2（x+3）＜4，③＜3，试判断方程2x+3＝1的解是否是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程； （2）若是方程x﹣2y＝4与不等式的“理想解”，求x0+2y0的取值范围． 【答案】（1）∵2x+3＝1 ∴x＝﹣1， ∵x﹣＝﹣1﹣＝﹣＜ ∴方程2x+3＝1的解不是不等式的理想解； ∵2（x+3）＝2（﹣1+3）＝4， ∴2x+3＝1的解不是不等式2（x+3）＜4的理想解； ∵＝＝﹣1＜3， ∴2x+3＝1的解是不等式＜3的理想解； （2）2＜x0+2y0＜8 【解析】 【分析】（1）解方程2x+3＝1的解为x＝﹣1，分别代入三个不等式检验即可得到答案； （2）由方程x﹣2y＝4得x0＝2y0+4，代入不等式解得﹣＜y0＜1，再结合x0＝2y0+4，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）由方程x﹣2y＝4得x0＝2y0+4，代入不等式组，得； ∴﹣＜y0＜1， ∴﹣2＜4y0＜4， ∵ ∴2＜x0+2y0＜8． 【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元一次方程、代数式、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、代数式的性质，从而完成求解． 27. 一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 【答案】（1）需要甲车8辆，乙车10辆 （2）①甲9辆，乙6辆，丙3辆；②甲10辆，乙2辆，丙6辆；方案②最省 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【小问1详解】 解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． 【小问2详解】 解：设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是正整数，且三种车共18辆要求同时参与 ∴x与y都不能大于16， 解得或． ∴共有两种方案：①甲车9辆，乙车6辆，丙车3辆；②甲车10辆，乙车2辆，丙车6辆； 两种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）； ∵， ∴方案②最省． 28. 对，定义一种新运算T，规定，其中a，b是非零常数，等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：　　（用含，的代数式表示）； （2）已知且． ①求，的值； ②若关于的不等式组恰好有两个整数解，求的取值范围． （3）当时，对任意的有理数，都成立，请直接写出，满足的关系式． 【答案】（1） （2）①，；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据不等式组的解集情况求参数，因式分解的应用： （1）根据新定义求解即可； （2）①根据新定义可得，解之即可得到答案；②先求出，，进而解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可； （3）先求出 ， ，进而得到，据此可得，则。 【小问1详解】 解：由题意得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵且， ∴， ∴，； ②由题意得， ， ∴不等式组即为不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得：， ∵不等式组恰好有两个整数解， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵当时，对任意的有理数，都成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $