精品解析：浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月教学质量检测数学试题

2023学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑. 3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（虚数单位，），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算得，即可求解． 【详解】解：， 得， 得， 故选：A 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行列出方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得或3，经检验，均满足要求. 故选：C 3. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以， 又，由面面垂直的判定定理，可得，D正确. 故选：D 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】当时，满足，但，故充分性不成立， 若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确. 故选：B 5. 在中，角对应的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据内角和求B的值，然后再根据正弦定理求a的值. 【详解】由题意得, 由正弦定理得 ,则 , 故选:B. 6. 为了得到函数的图象，可以把的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】异名变同名，再由平移个单位得到，两个解析式相等即可. 【详解】， 可将的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：D. 7. 在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案. 【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为， 设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意 ，两边取对数得， 可得. 所以至少经过个小时才会“药物失效”. 故选：D. 8. 已知是方程的两个实根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】借助函数的单调性判定A、B、D；利用作差法判定C. 【详解】函数上单调递减，由，得，A错误； 函数上单调递增，由，得，B正确； ， 因为，根据在上单调递增，所以，则，， 则，则，C错误； 函数， 因为为增函数，且恒成立，所以为减函数， 而，则，D正确. 故选：BD 10. 如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（ ） A. 每一个直角三角形的面积为1 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，小正方形的边长为，大正方形的边长为，可判定A正确；设直角三角形的边长分别为，求得，结合三角的定义和三角恒等变换的公式，可判定C、D正确. 【详解】对于A中，由小正方形的面积为1，大正方形的面积为5， 则小正方形的边长为，大正方形的边长为， 且可得每个直角三角形的面积为，所以A正确； 对于B中，设直角三角形的边长分别为（其中），由，可得， 则， 联立方程组，解得， 又因为，所以，所以B不正确； 对于C中，由，所以，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数是周期为的函数 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意分别求出，，则，代入法判断A；由可判断B；利用换元法令可对C判断；化简，可判断D. 【详解】由题意得在角的终边上，且， 所以，， 则， ，所以不是函数的一条对称轴，A错误； ， 因为为周期为的函数，故B正确； ， 令， 所以， 当时，取到最大值为，所以，故C正确； 因为，则， 则 ，D正确. 故选：BCD 点睛】关键点点睛：根据题意求出，，则. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合．若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或， 若时，，则，与题意不符，舍去； 若时，，则，符合题意，所以， 当时，解得，此时，不满足，舍去， 综上，即实数的值为. 故答案为： 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 14. 一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：，侧面部分是底边长为，高为的矩形，即可求解． 【详解】解：因为直三棱柱的密闭容器的底面边长为，且为正三角形，容器的高为，小球的半径为，如图所示： 则小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分， 上下底面部分是正三角形，其边长为：， 其面积为：； 侧面部分是底边长为，高为的矩形，其面积为：； 则小球能接触到的容器内壁的最大面积为：． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1）函数在上单调递增；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过定义法即可判断； （2）由，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解． 【小问1详解】 函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 ， 因为， 所以， 所以，得， 所以函数在上单调递增； 【小问2详解】 解：因为，则，， 所以， 由（1）的证明过程知，函数在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又， 显然，故， 所以函数的值域为： 16. 如图，点分别是矩形的边上的点，． （1）若，求的取值范围； （2）若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即得. （2）取的中点，利用中点向量公式求和即可得解. 【小问1详解】 在矩形中，， ，即， 所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，由依次为边的2025等分点， ， 得， 所以. 17. 已知实数，设函数，且． （1）求实数，并写出的单调递减区间； （2）若为函数的一个零点，求． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）代入求出值，再利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求出单调减区间. （2）利用函数零点的意义，结合和角的余弦公式求解即得. 【小问1详解】 函数，由，得，而，则， ， 由，得， 所以单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以. 18. 在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点． （1）求线段的长度； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合正三角形、直角三角形求解即得. （2）取的中点，确定二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得. （3）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 依题意，直线平面，而平面，则， 由，得，由为正三角形，得，则， 又为正三角形，即，因此. 【小问2详解】 取的中点，连接，则有， 因此是二面角的平面角，显然， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值. 【小问3详解】 由（2）知，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过点作于，又平面平面， 于是平面，， 则点到平面距离， 由（1）知的面积，， ，显然， 则，，在中，， ，的面积， 设点到平面的距离为，由，得， 因此， 所以点到平面的距离为. 【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 19. 已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”． （1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值； （3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 【答案】（1）与关于“维交换”，理由见解析； （2）0； （3）. 【解析】 【分析】（1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断. （2）由与关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出，借助恒恒等式求解即得. （3）根据给定条件可得，再按讨论分段函数零点即可得解. 【小问1详解】 函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，令，即， 解得，因此有唯一解， 所以与关于“维交换”. 【小问2详解】 依题意，对任意，恒有成立， 即对任意，存在函数，， 显然等式左边是关于的4次多项式，则设， 于是， 由奇次项系数得，又，则，，解得， 因此存在，使得与关于“任意交换”，所以. 【小问3详解】 令，依题意，函数在R上有3个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，函数在时只有1个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有2个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点， 当时，在时无零点，当时，在时有1个零点， 综上所述，当时，有3个零点， 所以当与关于“3维交换”时，. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑. 3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（是虚数单位，），则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，角对应的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数的图象，可以把的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知是方程的两个实根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C D. 10. 如图“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（ ） A. 每一个直角三角形的面积为1 B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数是周期为的函数 C D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合．若，则实数______． 13. 已知，则的最小值为______． 14. 一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （2）若，求函数的值域． 16. 如图，点分别是矩形的边上的点，． （1）若，求的取值范围； （2）若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值． 17. 已知实数，设函数，且． （1）求实数，并写出的单调递减区间； （2）若为函数的一个零点，求． 18. 在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点． （1）求线段的长度； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”． （1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求值； （3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$