第07讲 一元二次方程的解法（一）（3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第07讲 一元二次方程的解法（一）（3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例1】（2022秋•长安区期中）方程有实数根的条件是　　 A． B． C． D．为任何实数 【变式1】（2023秋•长宁区校级期末）方程的根为 　　． 【变式2】（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程有实数根，则条件是　　 A．， B．， C．，，异号或 D．， 【变式3】（2022秋•青浦区校级期中）解方程：的根是 　　． 【变式4】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：（开平方法）． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例2】（2022秋•浦东新区校级期中）用配方法解方程时，原方程变形正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020秋•浦东新区校级月考）一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•闵行区期中）方程的根是 　　． 【变式3】（2023秋•金山区校级月考）把一元二次方程化成的形式是 　　． 【变式4】（2023秋•虹口区校级期末）（1）计算：； （2）用配方法解方程：． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【例3】（2020秋•浦东新区校级期末）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2022秋•静安区校级期中）定义符号，的含义为：当时，，当时，，，如：，，，，则方程，的解是　　． 【变式2】（2023秋•虹口区校级期末）的根为 　　． 【变式3】（2023秋•静安区校级期中）． 【变式4】（2023秋•长宁区校级期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 经典题型汇编 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2023秋•金山区校级月考）方程的根为 　　． 2．（2020秋•虹口区期末）下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•静安区校级期中）． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2022秋•奉贤区校级期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上　　 A．4 B．8 C．16 D．64 5．（2020秋•浦东新区校级月考）用配方法解一元二次方程，方程变形为　3　　　． 6．（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：． 题型三．解一元二次方程-公式法 7．（崇明县期中）一元二次方程的根是　　 A． B． C． D． 8．（2021秋•浦东新区校级月考）已知关于的方程，其中，，则该一元二次方程的两个解是 　　． 9．（2023秋•浦东新区期中）（1）解方程：． （2）解方程：． 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（    ） A．1或 B． C．1 D． 3．（21-22八年级上·上海虹口·期中）在实数范围内分解因式2x2﹣8x+5正确的是（　　） A．（x﹣）（x﹣） B．2（x﹣）（x﹣） C．（2x﹣）（2x﹣） D．（2x﹣4﹣）（2x﹣4+） 4．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．与互为有理化因式 B．方程的解是 C．方程的解为 D．若方程有两个实数根，则这两实数根互为倒数 6．（20-21八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23八年级上·上海·期中）因式分解： ． 8．（22-23八年级上·上海青浦·期中）方程的解是 ． 9．（21-22八年级上·上海浦东新·期中）当 时，代数式的值等于． 10．（23-24八年级上·上海·期末）的根为 ． 11．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 12．（21-22八年级上·上海静安·阶段练习）把一二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ． 13．（22-23八年级上·上海青浦·期中）因式分解： ． 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 15．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）方程的根是 ． 16．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 17．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若是关于的方程的根，则关于的方程的根是 ． 18．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）解方程：． 20．（21-22八年级上·上海静安·期末）用公式法解方程：． 21．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 22．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）用配方法解方程：         （2）解方程： 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 24．（23-24八年级上·上海长宁·期中）（1）解方程：； （2）用配方法解方程：． 25．（22-23八年级上·上海·期中）解方程 (1) (2) 26．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 27．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程的解法（一）（3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例1】（2022秋•长安区期中）方程有实数根的条件是　　 A． B． C． D．为任何实数 【分析】根据题意得出，再进行整理即可． 【解答】解：方程有实数根， ， ； 故选：． 【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出． 【变式1】（2023秋•长宁区校级期末）方程的根为 　，　． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：， ， 则，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【变式2】（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程有实数根，则条件是　　 A．， B．， C．，，异号或 D．， 【分析】由于 可以变为，若方程有解，那么，并且，由此即可确定方程有实数根的条件． 【解答】解：， ， 若方程有解， ，并且， ，，异号或． 故选：． 【点评】此题这样考查了方程是否有解的问题，结合方程的形式和非负数的性质即可解决问题． 【变式3】（2022秋•青浦区校级期中）解方程：的根是 　，　． 【分析】移项，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：移项得：， 开方得：， 解得：，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 【变式4】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：（开平方法）． 【分析】直接开方，再解一元一次方程即可． 【解答】解：， ， ，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法求解一元二次方程是解决问题的关键． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例2】（2022秋•浦东新区校级期中）用配方法解方程时，原方程变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】方程移项，配方得到结果，即可做出判断． 【解答】解：方程变形得：， 配方得：，即， 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式1】（2020秋•浦东新区校级月考）一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【变式2】（2022秋•闵行区期中）方程的根是 　，　． 【分析】先将原方程化简，然后根据因式分解法可以求得该方程的根． 【解答】解：， ， ， 解得，， 故答案为：，． 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法． 【变式3】（2023秋•金山区校级月考）把一元二次方程化成的形式是 　．　． 【分析】方程移项变形后，配方即可得到结果． 【解答】解：方程整理得：， 配方得：，即． 故答案为：． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式4】（2023秋•虹口区校级期末）（1）计算：； （2）用配方法解方程：． 【分析】（1）根据平方差公式、分母有理化计算即可； （2）利用配方法解出方程． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， 则， ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法、实数的运算，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤、平方差公式、分母有理化是解题的关键． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【例3】（2020秋•浦东新区校级期末）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解． 【解答】解：， ， ， 化为， ，． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法． 【变式1】（2022秋•静安区校级期中）定义符号，的含义为：当时，，当时，，，如：，，，，则方程，的解是　或　． 【分析】根据定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：当时， 即， 此时， 解得：， ， ； 当时， 即， 此时， 解得：， ， ， 故答案为：或 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式2】（2023秋•虹口区校级期末）的根为 　　． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式3】（2023秋•静安区校级期中）． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：， ， ， 则或， 解得，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【变式4】（2023秋•长宁区校级期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）； ， ， ， 或， ，； （2）， 整理得， △， ， ，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键． 经典题型汇编 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2023秋•金山区校级月考）方程的根为 　，　． 【分析】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求的平方根． 【解答】解：由原方程移项，得 ， 直接开平方，得 ， ； ，； 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 2．（2020秋•虹口区期末）下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】将代入方程使得左右两边相等的即可确定正确的选项． 【解答】解：、当时，，故错误，不符合题意； 、当时，，故正确，符合题意； 当时，，故错误，不符合题意； 当时，，故错误，不符合题意； 故选：． 【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是代入进行检验，难度较小． 3．（2023秋•静安区校级期中）． 【分析】先两边都除以4，再利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：， ， 则， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2022秋•奉贤区校级期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上　　 A．4 B．8 C．16 D．64 【分析】根据配方法的步骤，利用完全平方公式进行求解即可． 【解答】解：进行配方，方程两边应同时加上一次项系数的一半的平方， 即， ， 在方程两边应同时加上16． 故选：． 【点评】本题考查配方法，用配方法解一元二次方程得一般步骤：（1）化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．熟知配方法的步骤是解题的关键． 5．（2020秋•浦东新区校级月考）用配方法解一元二次方程，方程变形为　3　　　． 【分析】先移项，再配方，即可得出结果． 【解答】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故答案为3，16． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 6．（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：． 【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程． 【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 配方得， 开方得， 解得． 【点评】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型三．解一元二次方程-公式法 7．（崇明县期中）一元二次方程的根是　　 A． B． C． D． 【分析】找出一元二次方程中，及的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出原方程的解． 【解答】解：， 这里，，， △， ． 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般式，找出二次项系数，一次项系数及常数项的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解． 8．（2021秋•浦东新区校级月考）已知关于的方程，其中，，则该一元二次方程的两个解是 　或　． 【分析】由，可知当时，代入方程得，；当时，代入方程，即可求得方程的解． 【解答】解：当时，代入方程得，；当时，代入方程得，， 该一元二次方程的两个解是或， 故答案为或． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，方程的解是使方程中等号左右两边相等的未知数的值． 9．（2023秋•浦东新区期中）（1）解方程：． （2）解方程：． 【分析】（1）将等号右边化为0，把左边因式分解，可转化为两个一次方程，即可解得答案； （2）化为一般形式，再用公式法可解得答案． 【解答】解：（1）， ， ， 或， ，； （2）， ， △， ； ，． 【点评】本题考查解一元二次方程因式分解法和公式法，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法和步骤． 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 2．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（    ） A．1或 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入方程可得，求出a的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 3．（21-22八年级上·上海虹口·期中）在实数范围内分解因式2x2﹣8x+5正确的是（　　） A．（x﹣）（x﹣） B．2（x﹣）（x﹣） C．（2x﹣）（2x﹣） D．（2x﹣4﹣）（2x﹣4+） 【答案】B 【分析】解出方程2x2-8x+5=0的根，从而可以得到答案． 【详解】解：∵方程2x2-8x+5=0中，a=2，b=-8，c=5， ∴Δ=（-8）2-4×2×5=64-40=24＞0， ∴x=， ∴2x2-8x+5=2（x﹣）（x﹣）， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数范围内分解因式，求出一元二次方程的根是解题的关键． 4．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】 解：， ， 则，即， 故选：C． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 5．（20-21八年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．与互为有理化因式 B．方程的解是 C．方程的解为 D．若方程有两个实数根，则这两实数根互为倒数 【答案】D 【分析】根据有理化因式的定义、利用因式分解法解一元二次方程、直接开方法解一元二次方程和根与系数的关系逐一判断即可． 【详解】解：A．与互为有理化因式，故本选项错误； B． ∴ 解得：，故本选项错误； C． 解得：，故本选项错误； D．若方程有两个实数根， ∴a≠0 设两根为 ∴ 则这两实数根互为倒数，故D正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是有理化因式的判断、解一元二次方程和根与系数的关系，掌握有理化因式的定义、利用因式分解法解一元二次方程、直接开方法解一元二次方程和根与系数的关系是解题关键． 6．（20-21八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可． 【详解】解：令，解得，， 所以， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 二、填空题 7．（22-23八年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根或，再进行因式分解即可． 【详解】解：的两个根分别是或， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握利用求根公式在实数范围内因式分解． 8．（22-23八年级上·上海青浦·期中）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】将方程变形后，直接开平方求解即可． 【详解】解： ∴ 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 9．（21-22八年级上·上海浦东新·期中）当 时，代数式的值等于． 【答案】-1或-3 【分析】根据题意列出方程，，求解即可得出答案． 【详解】根据题意得：， ， 配方得：，即 ， 开方得：， 解得：， ． 故答案为：-1或-3． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．（23-24八年级上·上海·期末）的根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程左边正好是一个完全平方式，利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项再化简，然后利用开平方法可求得结果，正确计算是解答本题的关键． 【详解】解：， 移项得：， 化简得：， 开方得：或， 解得：，， 故答案为：，． 12．（21-22八年级上·上海静安·阶段练习）把一二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ． 【答案】 【分析】先移项，再利用配方法，即可求解． 【详解】解：移项得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 13．（22-23八年级上·上海青浦·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果． 【详解】解：令， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在实数范围内进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 15．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）方程的根是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出配方得出，开方得出：，即可求解得出根． 【详解】解：∵． ∴配方得出， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属于基础题． 16．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 【答案】2 【分析】设，可得，再解方程并结合非负数的性质即可求解． 【详解】解：设， 则， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：2． 17．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若是关于的方程的根，则关于的方程的根是 ． 【答案】， 【分析】根据一元二次方程的根的定义将代入方程，可得，解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 将代入关于的方程， 可得， 解得，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 18．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 20．（21-22八年级上·上海静安·期末）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：， ， ， 则， ∴原方程的根为. 21．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 22．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）用配方法解方程：         （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）移项得：， 配方得： ，即：， 开方得：， 解得：，． （2）移项得：， 因式分解得：， 即：或， 解得：，． 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 24．（23-24八年级上·上海长宁·期中）（1）解方程：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了直接开平方、配方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方、配方法是解题的关键． （1）直接开平方解一元二次方程即可； （2）配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，，； （2）解：， ， ， ， ∴， 解得，，． 25．（22-23八年级上·上海·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程整理后，利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 整理得， ∴ ∴ 解得； （2）解： 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 26．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 【详解】解：将看作常数，令，这是一个关于未知数的一元二次方程， ， ， ，即， ∴． 27．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得； （2）利用公式法求出方程的解，由此即可得； （3）先根据（2）的结论可得，，再根据，代入计算即可得； （4）先化简方程，再比较各项的系数即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， ， 即， 则，， 故答案为：①；②；③． （2）解：， ， 即， 则，， 故答案为：，． （3）解：是方程的两个实根， ，， 则 ． （4）解： ， 则，， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$