第08讲 一元二次方程的解法（二）（3个知识点+4种经典题型+试题练习）2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第08讲 一元二次方程的解法（二）（3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【例1】（2023秋•静安区校级期中）方程的解是　　 A． B． C．或 D． 【变式1】（2023秋•静安区校级期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为　　 A．16 B．22 C．24 D．16或22 【变式2】（2023秋•嘉定区期末）方程的解是 　　． 【变式3】（2023秋•普陀区校级期中）已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 　　． 【变式4】（2023秋•浦东新区期末）解方程： 知识点2．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【例2】（上海期末）如果，那么的值为　　 A．1 B． C．1或 D．或3 【变式1】（2021秋•徐汇区校级期中）若，则　　． 【变式2】（2023秋•浦东新区期中）已知、为实数，且，则的值为 　　． 【变式3】（奉贤区期末）解方程： 【变式4】（2023秋•浦东新区期中）求值： （1）如果实数、满足，那么的值为 　　； （2）如果实数、满足，求代数式的值； （3）如果实数满足，求代数式的值． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 【例3】（2020秋•浦东新区校级月考）将化成的形式 　　． 【变式1】（上海期末）若，则　　 A．3 B．2 C．1 D． 【变式2】（浦东新区期中）　　　 　． 经典题型汇编 题型一．解一元二次方程-因式分解法 1．（2023秋•浦东新区校级期末）方程的解为 　　． 2．（2023秋•杨浦区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为　　 A．1或 B． C．1 D．2 3．（2023秋•静安区校级期末）解方程：． 题型二．换元法解一元二次方程 4．（闵行区期中）设，则的值为　　 A．或3 B．或5 C．3 D．5 5．（2021秋•浦东新区校级月考）已知，则　　． 6．（2021秋•普陀区校级月考）解方程：． 题型三.配方法的应用 7．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知为实数，若，那么的值为 ． 9．（22-23八年级上·上海·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________． (2)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． (4)已知代数式（其中a、b、c为常数，且），探究此代数式的最值情况，若果有，请直接写出答案，如果没有，请说明理由． 题型四.一元二次方程的根与系数的关系 10．（20-21八年级下·上海·阶段练习）下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·上海·期末）设是方程的两个根， ． 12．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）方程的实数根有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知满足，则关于的一元二次方程的解的情况为（ ） A． B． C．方程的解与的取值有关 D．方程的解与的取值有关 3．（21-22八年级上·上海·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）将一元二次方程变形为的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．下列结论：①若关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程，则h＝±3；②方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；③若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0是倍根方程，其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题 7．（22-23八年级上·上海宝山·期末）方程的解是 ． 8．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）方程的根是 ． 9．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）方程，用配方法可把原方程化为，其中k= ． 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的根是 ． 11．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）的最大值为 ． 12．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于y的整式方程为 ． 15．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为和： ． 16．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 17．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 18．（22-23八年级上·上海·期中）已知为实数，且则的值为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 20．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 21．（21-22八年级上·上海浦东新·阶段练习）我们知道：对于任何实数x． ①∵x2≥0， ∴x2+1＞0； ②∵（x﹣）2≥0， ∴（x﹣）2+＞0． 模仿上述方法解答： 求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0； （2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值． 22．（22-23八年级上·上海·期中）阅读下列材料并完成练习题： 已知一元一次方程的两个实数根分别为和 ∵ ∴ 对比系数可得：， 类比上面的证明方法： (1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______． (2)已知方程，求值：______． 23．（21-22八年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 24．（23-24八年级上·上海崇明·期末）解方程：． 25．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解： 26．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 27．（21-22八年级上·上海·期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个实数根分别是，那么，． 例如：已知是方程的两个实数根，则，． 请同学们阅读后完成以下问题： (1)已知是方程的两个实数根，求和的值． (2)已知是方程的两个实数根，求的值． (3)已知某一元二次方程的两根为，，二次项系数为2．请写出该方程的表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元二次方程的解法（二）（3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【例1】（2023秋•静安区校级期中）方程的解是　　 A． B． C．或 D． 【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程变形得：， 分解因式得：， 解得：，． 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式1】（2023秋•静安区校级期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为　　 A．16 B．22 C．24 D．16或22 【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【解答】解：， ， 解得，， 第三边的长为二次方程的一根，， 边长4，4，8不能构成三角形，4，8，10能构成三角形， 三角形的周长为， 故选． 【点评】本题考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键． 【变式2】（2023秋•嘉定区期末）方程的解是 　，　． 【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 【变式3】（2023秋•普陀区校级期中）已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 　6　． 【分析】先求出方程的解，根据等腰三角形的性质得出①当等腰三角形的三边为，，1时，②当等腰三角形的三边为，1，1时，看看是否符合三角形的三边关系定理，再求出等腰三角形的周长即可． 【解答】解：解方程得：或， ①当等腰三角形的三边为，，1时，符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形的周长是； ②当等腰三角形的三边为，1，1时，不符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形不存在； 所以等腰三角形的周长是6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，解一元二次方程等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 【变式4】（2023秋•浦东新区期末）解方程： 【分析】先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得． 【解答】解：将方程整理为一般式为， ， 或， 解得或． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 知识点2．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【例2】（上海期末）如果，那么的值为　　 A．1 B． C．1或 D．或3 【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把当成一个整体进行考虑． 【解答】解：设，则原方程变形为， 解得或． 故选． 【点评】此题主要是把当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解． 【变式1】（2021秋•徐汇区校级期中）若，则　2或3　． 【分析】运用换元法把转化为一元二次方程求解即可． 【解答】解：设，则原方程可变形为， 则， 解得，， 所以或， 故答案为：2或3． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确用换元法解方程的方法． 【变式2】（2023秋•浦东新区期中）已知、为实数，且，则的值为 　4　． 【分析】先设，把原方程化为：，解方程，求出的值即可． 【解答】解：设，则原方程化为：， ， ， ，， ，， 的值为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的一元二次方程的方法． 【变式3】（奉贤区期末）解方程： 【分析】设，原方程转化为，然后利用因式分解法解该方程求得的值，然后根据一元一次方程的解法解答． 【解答】解：设，原方程转化为， 整理，得， 解得或， 故或， 解得，． 【点评】考查了换元法和因式分解法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【变式4】（2023秋•浦东新区期中）求值： （1）如果实数、满足，那么的值为 　9或　； （2）如果实数、满足，求代数式的值； （3）如果实数满足，求代数式的值． 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【解答】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为81； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 【例3】（2020秋•浦东新区校级月考）将化成的形式 　　． 【分析】原式提取，利用完全平方公式配方即可得到结果． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式1】（上海期末）若，则　　 A．3 B．2 C．1 D． 【分析】根据非负数的性质，可求出、的值，然后再代值求解即可． 【解答】解：，即， ，， ，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 【变式2】（浦东新区期中）　　　 　． 【分析】根据配方法可以解答本题． 【解答】解：， 故答案为：，． 【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是明确配方法． 经典题型汇编 题型一．解一元二次方程-因式分解法 1．（2023秋•浦东新区校级期末）方程的解为 　，　． 【分析】根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 2．（2023秋•杨浦区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为　　 A．1或 B． C．1 D．2 【分析】根据题意易得：关于的方程两个实数根为或，然后利用解一元二次方程因式分解法可得的根为或，再根据互为“同伴方程”的定义可得或，即可解答． 【解答】解：关于的方程的参数同时满足和， 关于的方程两个实数根为或， ， 或， 的根为或， 与互为“同伴方程”， 或， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，一元二次方程的解，理解互为“同伴方程”的定义是解题的关键． 3．（2023秋•静安区校级期末）解方程：． 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ， 或， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 题型二．换元法解一元二次方程 4．（闵行区期中）设，则的值为　　 A．或3 B．或5 C．3 D．5 【分析】由题已知的方程进行换元转化为一元二次方程，即可转化为解一元二次方程的问题． 【解答】解：设，则原方程可化为， 或， 又， ． 故选：． 【点评】本题考查了用换元法一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 5．（2021秋•浦东新区校级月考）已知，则　6　． 【分析】设，把原方程转化为含的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定的值． 【解答】解：设，原方程可变形为：， 即． ， 解得，． ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键． 6．（2021秋•普陀区校级月考）解方程：． 【分析】先移项，再把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：移项，得， ， 或， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，也可以用换元法解方程． 题型三.配方法的应用 7．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论． 【详解】解：设围成矩形的长为厘米， ∴围成矩形的宽为：， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的值不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键． 8．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知为实数，若，那么的值为 ． 【答案】2或3 【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解解，， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键． 9．（22-23八年级上·上海·阶段练习）阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________． (2)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． (4)已知代数式（其中a、b、c为常数，且），探究此代数式的最值情况，若果有，请直接写出答案，如果没有，请说明理由． 【答案】(1)小， (2)大，13 (3)时，代数式有最小值；过程见解析 (4)当，时，代数式有最小值， 当， 时，代数式有最大值；理由见解析 【分析】（1）把配方，得到，根据，推出当时，代数式有最小值； （2）把提负号再配方，得到，根据，推出当时，代数式有最大值13； （3）把提公因式2后配方，得到，根据，推出当时，代数式有最小值； （4）将提公因式a再配方，，根据时，，推出当时，代数式有最小值；根据时，，推出当时，代数式有最大值． 【详解】（1）∵， 且， ∴当时，代数式有最小值； 故答案为：小，； （2）∵， 且， ∴当时，代数式有最大值13； 故答案为：大，13； （3）∵， 且， ∴当时，代数式有最小值； （4）∵ ， 且时，， ∴当时，代数式有最小值， ∵时，， ∴当时，代数式有最大值． 【点睛】本题主要考查了代数式的最值等，解决问题的关键是熟练掌握配方法，完全平方式的非负性．配方的前提须使二次项的系数化为“1”． 题型四.一元二次方程的根与系数的关系 10．（20-21八年级下·上海·阶段练习）下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系可对A、B、D进行判断；根据根的判别式对C进行判断． 【详解】解：A、x1+x2=0，所以A选项不符合； B、x1+x2=2，所以B选项符合； C、Δ=4-4×2＜0，方程没有实数根，所以C选项不符合； D、x1+x2=-2，所以D选项不符合． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=，也考查了一元二次方程的根的判别式． 11．（23-24八年级上·上海·期末）设是方程的两个根， ． 【答案】177 【分析】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．根据根与系数的关系及根的定义得到，，然后利用整体代入的方法计算计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：177． 12．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）方程的实数根有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】利用直接开方法解方程即可得． 【详解】由直接开方法得：， 则此方程的实数根有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知满足，则关于的一元二次方程的解的情况为（ ） A． B． C．方程的解与的取值有关 D．方程的解与的取值有关 【答案】A 【分析】根据已知条件求出之间的关系，代入方程即可解答．本题考查了一元二次方程的概念及利用因式分解法解一元二次方程，理解一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：∵,， ∴，， ∴得， 将代入得：， ∴， 将，代入得：， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选． 3．（21-22八年级上·上海·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，则原式变形为：，解关于m一元二次方程即可． 【详解】解：设， 则原式变形为：， ， ∴或， ∴或， 即的值为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意将原式整理为一元二次方程是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解本题的关键．方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 故选：B． 5．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）将一元二次方程变形为的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式直接进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 一元二次方程变形为一般形式为：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 6．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．下列结论：①若关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程，则h＝±3；②方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；③若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0是倍根方程，其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】①设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；②通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④求出关于x的方程px2﹣q＝0的两个根，即可判断． 【详解】解：①关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程， ∴设x2=2x1， ∴x1•x2=2x12=2， ∴x1=±1， 当x1=1时，x2=2， 当x1=-1时，x2=-2， ∴x1+x2=-h=±3， ∴h=±3，故①正确； ②由x2+2x﹣8＝0，得 （x+4）（x-2）=0， 解得x1=-4，x2=2， ∵x1≠2x2或x2≠2x1， ∴方程x2+2x﹣8＝0不是倍根方程． 故②错误； ③关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）的解为：x1=2，x2=， 若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则=1或=4， ∴m+n=0或4m+n=0，即：（m+n）（4m+n）=0， ∴4m2+5mn+n2＝0，故③正确； ④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0，可变形为：px2﹣2p＝0， ∴x2=2，解得：x=，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键． 二、填空题 7．（22-23八年级上·上海宝山·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】系数化为1后，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是本题的关键． 8．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 9．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）方程，用配方法可把原方程化为，其中k= ． 【答案】 【分析】先把二次项系数化为1，再方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可解答． 根据配方法 【详解】解：方程两边同时除以2，得：， 移项得：， 两边同时加1得：， 即：， 故：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−−配方法与直接开方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：，， 故答案为：，． 11．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）的最大值为 ． 【答案】 【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式取得最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解本题的关键． 12．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【详解】解：时，， ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】由，则 ，，转化后再进一步整理得到整式方程即可． 【详解】解：， ，， 则原方程为：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化是解题的关键． 15．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为和： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根与系数的关系．先计算3与的和与积，则根据根与系数的关系得到方程，然后把系数化为整数系数即可． 【详解】解：，， 以3和为根的一元二次方程可为， 即． 故答案为：． 16．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：是的两根，则，． 设方程的另一个实数根为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设方程的另一个实数根为， ∵，关于x的方程有一个实数根为1， ∴， 解得，， 故答案为：2． 17．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 【答案】或0/0或 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 18．（22-23八年级上·上海·期中）已知为实数，且则的值为 ． 【答案】4 【分析】设，然后将原方程变形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到的可能取值，再分情况利用根的判别式判断是否符合题意即可． 【详解】解：设， ∵ ∴ ∴， 整理得：， 因式分解得， ∴或， ∴或， 当时，即， 整理得， ∵， ∴方程有实数根，符合题意， 当时，即， 整理得， ∵， ∴方程没有实数根，不符合题意， ∴的值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得． 20．（23-24八年级上·上海静安·期中）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解即可；本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则或 解得， ． 21．（21-22八年级上·上海浦东新·阶段练习）我们知道：对于任何实数x． ①∵x2≥0， ∴x2+1＞0； ②∵（x﹣）2≥0， ∴（x﹣）2+＞0． 模仿上述方法解答： 求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0； （2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）将代数式前两项提取2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于1，即对于任何实数x，代数式2x2+4x+3的值总大于0，得证； （2）证明3x2-5x-1-（2x2-4x-7）>0即可. 【详解】证明：(1)∵2x2+4x+3 =2(x2+2x)+3 =2(x2+2x+1)+1 =2(x+1)2+1⩾1>0. 2x2+4x+3>0 (2)∵3x2−5x−1−(2x2−4x−7) =3x2−5x−1−2x2+4x+7 =x2−x+6 =(x−)2+>0， ∴多项式3x2−5x−1的值总大于2x2−4x−7的值. 【点睛】本题考查偶次方的非负数的性质以及配方法的应用，解题的关键是掌握偶次方的非负数的性质以及配方法的应用. 22．（22-23八年级上·上海·期中）阅读下列材料并完成练习题： 已知一元一次方程的两个实数根分别为和 ∵ ∴ 对比系数可得：， 类比上面的证明方法： (1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______． (2)已知方程，求值：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，最后得到，，，由此即可求解； （2）由（1）的结论代入即可求得，，，再将变形为，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得， ， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：根据（1）的结论得，一元三次方程中，，，，， ∴，，， 且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的韦达定理推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 23．（21-22八年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】设 则 令 求解的值，再分解因式即可. 【详解】解：设 则 令 即 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，利用一元二次方程的求根公式分解因式，熟练的利用公式法解一元二次方程是解本题的关键. 24．（23-24八年级上·上海崇明·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 25．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】先配方，再采用平方差公式进行分解. 【详解】解：原式= = = = = = 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握配方法与平方差公式是解题的关键. 26．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 【答案】的值为7或1 【分析】 设，则，对原方程进行变形，求出y的值，即为的值． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或1， ∴的值为7或1． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把看作整体，直接求出的值是解题的关键． 27．（21-22八年级上·上海·期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个实数根分别是，那么，． 例如：已知是方程的两个实数根，则，． 请同学们阅读后完成以下问题： (1)已知是方程的两个实数根，求和的值． (2)已知是方程的两个实数根，求的值． (3)已知某一元二次方程的两根为，，二次项系数为2．请写出该方程的表达式． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】（1）直接利用题中所给的韦达的发现，即可求得和的值； （2）先利用题中所给的韦达的发现，即可求得和的值，然后求值，从而求出的值，即可求解； （3）根据题意，设所求方程的表达式为，再由，，即可求出． 【详解】（1）解：是方程的两个实数根， ，， ，； （2）解：由（1）知：，； ； ， ， 故； （3）解：一元二次方程的二次项系数为2． 设所求方程的表达式为， 一元二次方程的两根为，， ，， ， 设所求方程的表达式为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、乘法公式等知识，灵活运用题目中所给的根与系数的关系与乘法公式是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$