2024年浙江省杭州市中考数学二模试题分层汇编-04图形的性质

浙江省杭州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 一．选择题（共19小题） 1．（2024•上城区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠ACB＝60°，则（　　） A． B．3 C． D． 2．（2024•杭州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（　　） A．26° B．70° C．104° D．128° 3．（2024•钱塘区二模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（　　） A．a，b＝2，∠A＝45° B．a＝5，b＝12，c＝13 C．a＝5，∠A＝30°，∠B＝120° D．a＝5，b＝2，∠A＝60° 4．（2024•上城区二模）如图，△ABC圆内接于⊙O，连接OA，DB，OC，∠AOB＝2∠BOC．若∠OBC＝65°，则∠ABC的度数是（　　） A．95° B．105° C．115° D．135° 5．（2024•上城区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1＜y2.下列命题正确的是（　　） A．若|x1+1|＞|x2+1|，则a＜0 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a＞0 C．若|x1+1|＞|x2+1|，则a＞0 D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a＜0 6．（2024•临安区二模）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝100°，则∠A为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 7．（2024•临安区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点H恰为DE中点，若，则阴影部分的面积为（　　） A． B．20 C．25 D． 8．（2024•萧山区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BC上一点，沿DE折叠，点C恰好落在点O处，则∠DBC的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 9．（2024•萧山区二模）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（　　） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 10．（2024•拱墅区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，AB＝CD．若∠BOC＝120°，则∠ACO的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 11．（2024•萧山区二模）如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一小正方形EFGH拼成，连结DE．设∠BAE＝α，∠CDE＝β，若，则tanβ的值是（　　） A． B． C． D． 12．（2024•拱墅区二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为（　　） A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步 13．（2024•拱墅区二模）如图，BD是△ABC的角平分线，分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径在BD两侧作圆弧，交于点E，点F．作直线EF，分别交AB，BC于点G，H，连结DG，DH．设△ADG的面积为S1，四边形BGDH的面积为S2，若，则的值为（　　） A． B． C． D．1 14．（2024•拱墅区二模）已知直线a∥b，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若∠1＝44°20'，则∠2＝（　　） A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40′ 15．（2024•滨江区二模）如图，折扇的骨柄OA长为7，折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 16．（2024•杭州二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，E是AB边上的中点，以E为圆心，AD长为半径画弧，交边BC于点F，连结EF交对角线BD于点G，则的值是（　　） A． B． C． D． 17．（2024•杭州二模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 18．（2024•拱墅区二模）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 19．（2024•萧山区二模）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．108° C．117° D．135° 二．填空题（共15小题） 20．（2024•上城区二模）如图，矩形ABCD，点E、F分别是BC，CD上一点，连接EF，令∠AEB＝α，已知AE＝AF，BE＝5CE，，则sin∠AFD＝　 　． 21．（2024•临安区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，B为弧AC的中点．若∠ACB＝2∠OCA，则∠AOC＝　 　度． 22．（2024•临安区二模）关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有以下命题： ①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若该方程的两根为﹣3和1，则3a+c＝0； ③若上述方程有两个相等的实数根，则ax2+bx+c＝﹣1必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根． 其中真命题是 　 　.（只需填写序号） 23．（2024•临安区二模）如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．若，△BEF的面积为1，则菱形ABCD的面积为 　 　． 24．（2024•萧山区二模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，则图中两个阴影部分面积的和为 　 　． 25．（2024•萧山区二模）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形ABCDEF上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则AB与CF之间的距离为 　 　． 26．（2024•萧山区二模）如图，是一把椅子的侧面图，椅面DE与地面AB平行，∠DEC＝60°，∠DCE＝70°，则∠DBA＝　 　． 27．（2024•拱墅区二模）如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 　 　． 28．（2024•滨江区二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为A（1，1），B（2，4），C（3，1）．则△ABC的内切圆半径长为 　 　． 29．（2024•滨江区二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1＝130°，则∠2的度数为 　 　． 30．（2024•钱塘区二模）如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π） 31．（2024•杭州二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，连结EG并延长交AB于点M，交CD于点N，连结MF．当AM：MB＝3：4时，tan∠MFB＝　 　． 32．（2024•杭州二模）已知扇形的圆心角为150°，扇形的面积S＝5π，则这个扇形的半径r＝　 　． 33．（2024•杭州二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以BC为直径在矩形内作半圆，圆心为点O，自点A作半圆的切线AE，则BE的长为 　 　． 34．（2024•钱塘区二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD．已知∠1＝40°，∠2＝140°，则∠3的度数为 　 　． 三．解答题（共18小题） 35．（2024•上城区二模）如图1，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AD＝DC，E是的中点，连接AE交直径BC于点F，连接BD． （1）求证：AE⊥BD． （2）若BC＝10，求AE的长． （3）如图2，连接EO并延长交AC于点G，连接OD．求的值． 36．（2024•上城区二模）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F是线段BD上的两点，且∠AEB＝∠CFD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）从下列条件：①AC平分∠EAF，②∠EAF＝60°，③AB＝BC中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形AECF为菱形．我选的是 　 　（请填写序号），并证明． 37．（2024•临安区二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母． （1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A． （2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得． 38．（2024•临安区二模）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F． （1）求证：△CFD≌△EBC． （2）若AE＝1，，求BC的长． 39．（2024•临安区二模）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED＝EB，求证：ED∥BC． 【场景迁移】 （2）如图2，四边形BCGE为平行四边形，BD平分∠ABC交EG于D，延长BE，CD交于A，若，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在圆O的中，直径AB＝10，点D在圆上，点C在圆外，若四边形OBCD是菱形，连接AC交OD于点E，OF平分∠AOD交AC于点F，在AB上找一点G，使FG为定值，说明理由并求出AG的值． 40．（2024•萧山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC． （1）作∠BDE＝∠ABD，DE交AB于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：CD＝BE． 41．（2024•拱墅区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝4，求BD的长． 42．（2024•拱墅区二模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠DAB+∠ABC＝90°，点E为弦AB的中点，连结BD．延长AD，BC相交于点F，连结EF，与CD相交于点G，与BD相交于点H． （1）求证：CD⊥EF． （2）若点C是BF的中点，，求的值． （3）连结OE，探究OE与CD之间的等量关系，并证明． 43．（2024•拱墅区二模）综合与实践 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H．点P是线段CF的一点，且CP＝FP． 探究发现： （1）点点发现结论：△BCG≌△FEH．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由． 深入探究： （2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答． ①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，AE＝2，ED＝4，求FG的长． ②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若∠PEF＝∠EFB，AB＝4，AD＝6，求tan∠HBF的值． 44．（2024•滨江区二模）（1）如图1，PQ是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，Q为切点．A，B是直线l上两点（不与点Q重合，且在直径PQ的两侧），连结PA，PB分别交于⊙O点C，点D．连结DQ．求证：△PCD∽△PBA． （2）将图1中的直线l沿着QO方向平移，l与OQ交于点M，如图2．结论△PCD∽△PBA是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由． （3）在（1）的条件下，连结QC，得如图3，当tan∠CPD＝2，时，求的值． 45．（2024•滨江区二模）如图1，矩形A1BC1D1是矩形ABCD以点B为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为x°所得的图形，其中0＜x≤90．连结BD，BD1，CC1．已知AB＝4，BC＝2． （1）求∠BCC1的度数（用含x的代数式表示）． （2）如图2，当BD1经过点C时，求的值． （3）如图3，当BA1平分∠DBD1时，求CC1的长. 46．（2024•拱墅区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，以AE为斜边，在AE上方作Rt△AEF，使∠EAF＝∠ABC，延长CF与BA交于点G． （1）当∠ABC＝45°时，若CE＝1，BE＝3，求线段AF的长． （2）求证：点F为线段CG的中点． 47．（2024•杭州二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD． （1）求证：∠BAC＝∠DAC． （2）若AB∥CD，AB＝5，求四边形ABCD的周长． 48．（2024•杭州二模）如图1，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上的动点，连结CD交AB于点E，连结AO并延长交CD于点F，连结BD． （1）当∠BDC＝40°时，求∠BAF的度数； （2）如图2，当，EF＝2，CF＝3时，求BE的长； （3）如图3，当CD为⊙O的直径，，时，求k的值． 49．（2024•钱塘区二模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点（不与点B，C重合），连结DA，DB，DC，且DA交BC于点E． （1）若∠ABC＝65°，∠BAD＝20°，求∠CBD的大小． （2）若∠ABC＝45°，CD＝2BD＝4，求BE的长． （3）若∠ABC＝60°，求四边形ABDC的面积S关于线段AD的长x的函数解析式． 50．（2024•钱塘区二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×6的网格中，△ABC的顶点均在格点上． （1）△ABC的面积＝　 　，sin∠BAC＝　 　． （2）不使用圆规，只用无刻度直尺画出AC边上的高线BD，并求出BD的长．（保留痕迹并标注字母） 51．（2024•拱墅区二模）某同学尝试在已知的▱ABCD中利用尺规作出一个菱形，如图所示． （1）根据作图痕迹，能确定四边形AECF是菱形吗？请说明理由． （2）若∠B＝60°，BA＝2，BC＝4，求四边形AECF的面积． 52．（2024•拱墅区二模）如图，在半径为3的⊙O作内接矩形ABCD，点E是弦BC的中点，BC＝4，连结AE并延长交⊙O于点F，点G是的中点，连结CG分别交AB、AF于点H、点P． （1）证明：； （2）求BH的长； （3）若存在一个实数m，使得tan∠APH＝mBH，试求出m的值． 浙江省杭州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共19小题） 1．（2024•上城区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠ACB＝60°，则（　　） A． B．3 C． D． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OB， ∵∠ABC＝60°， ∴ABO＝30°， ∴tan30°， ∴， 故选：C． 2．（2024•杭州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（　　） A．26° B．70° C．104° D．128° 【解答】解：∵∠BAC∠BOC，∠BAC＝52°， ∴∠BOC＝2×52°＝104°． 故选：C． 3．（2024•钱塘区二模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（　　） A．a，b＝2，∠A＝45° B．a＝5，b＝12，c＝13 C．a＝5，∠A＝30°，∠B＝120° D．a＝5，b＝2，∠A＝60° 【解答】解：A、SSA不能确定三角形，本选项符合题意； B、SSS能确定三角形，本选项不符合题意； C、AAS能确定三角形，本选项不符合题意； D、△ABC只能是钝角三角形，能唯一确定，本选项不符合题意． 故选：A． 4．（2024•上城区二模）如图，△ABC圆内接于⊙O，连接OA，DB，OC，∠AOB＝2∠BOC．若∠OBC＝65°，则∠ABC的度数是（　　） A．95° B．105° C．115° D．135° 【解答】解：∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝65°， ∴∠BOC＝50°， ∵∠AOB＝2∠BOC＝100°，OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB（180°﹣100°）＝40°， ∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝40°+65°＝105°， 故选：B． 5．（2024•上城区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1＜y2.下列命题正确的是（　　） A．若|x1+1|＞|x2+1|，则a＜0 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a＞0 C．若|x1+1|＞|x2+1|，则a＞0 D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a＜0 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3图象的对称轴为直线x＝1， ∵y1＜y2， ∴若|x1﹣1|＜|x2﹣1|，则a＞0； 若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则a＜0； 故选：D． 6．（2024•临安区二模）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝100°，则∠A为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠ABC＝∠1＝55°， ∴∠A＝∠2﹣∠ABC＝100°﹣55°＝45°． 故选：A． 7．（2024•临安区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点H恰为DE中点，若，则阴影部分的面积为（　　） A． B．20 C．25 D． 【解答】解：∵四边形ABHK，四边形BCDE是正方形， ∴AB＝BH＝AK，BC＝BE＝DE，∠ABH＝∠BAK＝90°，∠E＝90°， ∴Rt△ABC≌Rt△HBE（HL）， ∴AC＝HE， ∵H是DE中点， ∴HEDE， ∴BC＝2AC， ∴AC2+（2AC）2＝AB2，即5AC2＝（5）2， ∴AC＝5，BC＝10， ∵∠ACB＝90°，∠BAK＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝∠MAK+∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠KAB， ∵AK＝AB，∠K＝∠BAK， ∴△BAP≌△AKM（ASA）， ∴△BAP的面积＝△AKM的面积， ∴△ABC的面积＝阴影的面积5×10＝25． 故选：C． 8．（2024•萧山区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BC上一点，沿DE折叠，点C恰好落在点O处，则∠DBC的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OCAC，OB＝ODBD，∠BCD＝90°， ∴OB＝OC＝OD， ∴∠DBC＝∠OCB， 根据折叠的性质得，CD＝OD， ∴CD＝OD＝OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠COD＝∠DBC+∠OCB， ∴∠DBC＝30°， 故选：C． 9．（2024•萧山区二模）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（　　） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【解答】解：作AB和AC的垂直平分线，它们相交于O点，如图， ∵AC为小于直径的弦， ∴为劣弧． 故选：B． 10．（2024•拱墅区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，AB＝CD．若∠BOC＝120°，则∠ACO的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【解答】解：∵OB＝OC，∠BOC＝120°， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣120°）＝30°， ∵AB＝CD， ∴， ∴∠ACB＝∠DCB， ∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠DCB＝45°， ∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝45°﹣30°＝15°， 故选：B． 11．（2024•萧山区二模）如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一小正方形EFGH拼成，连结DE．设∠BAE＝α，∠CDE＝β，若，则tanβ的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接CH交DE于点K，如下图所示： 在Rt△ABE中，∠BAE＝α，tanα， ∴， ∴可设BE＝a，AE＝2a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠CDA＝90°， ∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH是互相全等的直角三角形， ∴AH＝BE＝CF＝DG＝a，AE＝BF＝CG＝DH＝2a， ∴HE＝AE﹣AH＝2a﹣a＝a， ∴正方形EFGH的边长为a， 即HE＝EF＝FG＝GH＝a，∠FGH＝∠GHE＝90°， ∴CG为线段DH的垂直平分线， ∴CH＝CD＝√5a， ∴∠CHG＝∠CDG， 在△DAH和△DEH中， ， ∴△DAH≌△DEH（SAS）， ∴∠ADH＝∠EDH， ∵∠ADH+∠CDG＝90°，∠CHG＝∠CDG， ∴∠EDH+∠CHG＝90°， ∴∠DKH＝180°﹣（∠EDH+∠CHG）＝90°， 即DK⊥CH， 由三角形的面积公式得：S△CDHCH•DKDH•CG， ∴， ∴DK， 在Rt△DKC中，由勾股定理得：CK， ∴tanβ＝tan∠CDK． 故选：C． 12．（2024•拱墅区二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为（　　） A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步 【解答】解：∵扇形所在圆的直径是16步， ∴扇形所在圆的半径是8步， ∵弧长是30步， ∴扇形的面积弧长×半径（平方步）， 即这块田地的面积为120平方步， 故选：A． 13．（2024•拱墅区二模）如图，BD是△ABC的角平分线，分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径在BD两侧作圆弧，交于点E，点F．作直线EF，分别交AB，BC于点G，H，连结DG，DH．设△ADG的面积为S1，四边形BGDH的面积为S2，若，则的值为（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：由作图得：EF垂直平分BD， ∴BG＝DG，BH＝DH， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴BG＝BH， ∴BG＝DG＝BH＝DH， ∴四边形BHDG是菱形， ∴DG∥BC，DH∥AB， ∴△ADG∽△ACB，△CDH∽△CAB， 设CH＝2a，△ABC的面积为S，△CDH的面积为S3， 则DH＝DG＝BH＝3a， ∴S1S，S3S， ∴S2＝S﹣S1﹣S2S， ∴S1：S2S：S， 故选：C． 14．（2024•拱墅区二模）已知直线a∥b，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若∠1＝44°20'，则∠2＝（　　） A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40′ 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠1＝44°20'， ∴∠3＝45°40'， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝45°40'， 故选：D． 15．（2024•滨江区二模）如图，折扇的骨柄OA长为7，折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，骨柄OA长为7， ∴AB＝74， ∴OB＝7﹣4＝3， ∴S扇面π， 故选：C． 16．（2024•杭州二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，E是AB边上的中点，以E为圆心，AD长为半径画弧，交边BC于点F，连结EF交对角线BD于点G，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：延长EF交DC的延长线于H， ∵E是AB边上的中点， ∴BEAB＝1， ∵EF＝AD， ∴BF1， ∴CF1， ∵CD∥AB， ∴△CHF∽△BEF， ∴， ∴， ∴CH， ∵DH∥BE， ∴△DHG∽△BEG， ∴， 故选：B． 17．（2024•杭州二模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， 由勾股定理得：AB5， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBD， ∵D，E分别为BC，AC的中点， ∴DE∥AB，DEAB，BDBC＝2， ∴∠ABF＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠FBD， ∴DF＝BD＝2， ∴EF＝DE﹣DF， 故选：A． 18．（2024•拱墅区二模）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点Q作QN⊥AB于N，连接Q、B、F，则∠QNE＝∠QNM＝90°， ∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形CPQE是正方形， ∴EC＝EQ，CB＝CD，∠GBE＝∠CEQ＝∠BCD＝∠PCE＝∠A＝90°， ∵点Q、B、F三点共线， ∴∠QBN＝∠EBF＝45°， ∴△EBF、△BQN都是等腰直角三角形， ∴QN＝BN， ∵∠BCE+∠BEC＝90°，∠QEN+∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝∠QEN， 在△ENQ和△CBE中， ， ∴△ENQ≌△CBE（AAS）， ∴EN＝CB，QN＝EB， ∵QN＝BN， ∴EN＝CB＝2EB， ∴EB＝QN＝BN＝BG＝CG， 设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝2a﹣a＝a， ∵∠DCP+∠BCP＝90°，∠BCE+∠BCP＝90°， ∴∠DCP＝∠BCE， 在△CBE和△CDP中， ， ∴△CBE≌△CDP（ASA）， ∴BE＝DP＝a， ∴PA＝2a﹣a＝a， ∴PA＝QN， 在△PAM和△QNM中， ， ∴△PAM≌△QNM（AAS）， ∴， ∴， 在Rt△PAM中，， 在Rt△BCM中，， ∵tanα＝ntanβ， ∴， ∴， 故选：A． 19．（2024•萧山区二模）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．108° C．117° D．135° 【解答】解：过点B作直线c∥a，如图所示： ∴∠1+∠MBA＝180°， 即∠1+∠MBD+∠ABD＝180°， ∵∠1＝63°，∠ABD＝45°， ∴63°+∠MBD+45°＝180°， ∴∠MBD＝72°， ∵直线a∥b，直线c∥a， ∴直线c∥b， ∴∠2+∠MBD＝180°， ∴∠MBD＝180°﹣∠2＝180°﹣72°＝108°． 故选：B． 二．填空题（共15小题） 20．（2024•上城区二模）如图，矩形ABCD，点E、F分别是BC，CD上一点，连接EF，令∠AEB＝α，已知AE＝AF，BE＝5CE，，则sin∠AFD＝　　． 【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝BC， ∵∠AEB＝α， ∴sin∠AEB＝sinα， 设AB＝3x，则AE＝5x， ∴BE4x， ∵AE＝AF， ∴AF＝5x， ∵BE＝5CE， ∴CEBE， ∴AD＝BC＝BE+EC＝5CE+CE＝6CE， ∴sin∠AFD， 故答案为：． 21．（2024•临安区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，B为弧AC的中点．若∠ACB＝2∠OCA，则∠AOC＝　144　度． 【解答】解：∵B为弧AC的中点， ∴OB⊥AC，， ∴∠BOC+∠OCA＝90°，∠AOB＝∠BOC＝2∠ACB， ∵∠ACB＝2∠OCA， ∴∠BOC＝4∠OCA， ∴∠OCA∠BOC， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝72°＝∠AOB， ∴∠AOC＝72°+72°＝144°， 故答案为：144． 22．（2024•临安区二模）关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有以下命题： ①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若该方程的两根为﹣3和1，则3a+c＝0； ③若上述方程有两个相等的实数根，则ax2+bx+c＝﹣1必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根． 其中真命题是 　①②④　.（只需填写序号） 【解答】解：若a﹣b+c＝0，则b＝a+c， ∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，故①是真命题； 若该方程的两根为﹣3和1，则﹣3×1， ∴c＝﹣3a， ∴3a+c＝0，故②是真命题； 若ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣4ac＝0， ∴ax2+bx+c+1＝0的判别式：b2﹣4a×（c+1）＝b2﹣4ac﹣4a＝﹣4a， ∵a的符号不确定， ∴方程ax2+bx+c＝﹣1根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则ar2+br+c＝0， ∵ac≠0， ∴r≠0， ∴0， ∴a+b•c•（）2＝0， ∴是cx2+bx+a＝0的一个根，故④是真命题； ∴真命题有：①②④； 故答案为：①②④． 23．（2024•临安区二模）如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．若，△BEF的面积为1，则菱形ABCD的面积为 　18　． 【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠DEA＝∠DFG＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠A＝∠C，AD∥BC， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴AB﹣AE＝BC﹣CF， 即BE＝BF， 设BE＝BF＝3a， ∵AD∥BC， ∴∠FBG＝∠A， ∴cos∠FBGcosA， ∴BGBF＝2a， ∴FGa， ∵S△BEFBE•FG3aa＝1， ∴3a2＝2， ∵cosA， ∴BEAB， ∴AB＝3BE＝9a， ∴AEAB＝6a， ∴DE3a， ∴S菱形ABCD＝AB•DE＝9a×3a＝9×3a2＝9×2＝18， 故答案为：18． 24．（2024•萧山区二模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，则图中两个阴影部分面积的和为 　5﹣π　． 【解答】解：如图，连接OD，OE， ∵以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∵∠A＝90°， ∴四边形ADOE是矩形， ∵OD＝OE， ∴四边形ADOE是正方形， ∴AD＝DO＝OE＝AD，∠DOE＝90°， ∵∠A＝∠OEC＝90°，∠ACB＝∠ECO， ∴△ACB∽△∠ECO， ∴， 设AD＝DO＝OE＝AD＝r， 则EC＝AC﹣AE＝6﹣r， ∴， 解得r＝2， ∴AD＝DO＝OE＝AD＝2， ∵∠DOE＝90°， ∴△DOB和△EOC所包含扇形的面积之和为：， ∴图中两个阴影部分面积的和为：， 故答案为：5﹣π． 25．（2024•萧山区二模）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形ABCDEF上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则AB与CF之间的距离为 　2　． 【解答】解：如图，由题意可知，正六边形ABCDEF，CF＝12﹣4＝8，连接BE交CF于点O，由正六边形的对称性可知，点O是正六边形ABCDEF的中心，过点B作BM⊥CF，垂足为M， ∵点O是正六边形ABCDEF的中心， ∴∠BOC60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC是正三角形， ∴OB＝OC＝BCCF＝4， ∵BM⊥CF， ∴∠OBM60°＝30°， 在Rt△BOM中，∠OBM＝30°，OB＝4， ∴BMOB＝2， 即AB与CF之间的距离为2， 故答案为：2． 26．（2024•萧山区二模）如图，是一把椅子的侧面图，椅面DE与地面AB平行，∠DEC＝60°，∠DCE＝70°，则∠DBA＝　50°　． 【解答】解：∵∠DEC＝60°，∠DCE＝70°， ∴∠D＝180°﹣60°﹣70°＝50°， ∵DE∥AB， ∴∠DBA＝∠D＝50°． 故答案为：50°． 27．（2024•拱墅区二模）如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 　　． 【解答】解：连接EO并延长交AD于H点，连接OA，如图， ∵BC边与⊙O相切，切点为E， ∴OE⊥BC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，AB＝AD＝4， ∴EH⊥AD， ∴AH＝DHAD＝2， ∵∠B＝∠BAH＝∠AHE＝90°， ∴四边形ABEH为矩形， ∴BE＝AB＝4， 设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，OH＝4﹣r， 在Rt△OAH中，22+（4﹣r）2＝r2， 解得r， 即⊙O的半径为． 28．（2024•滨江区二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为A（1，1），B（2，4），C（3，1）．则△ABC的内切圆半径长为 　　． 【解答】解：设△ABC的内切圆⊙I与AB、BC、AC分别相切于点F、J、E，连接IF、IJ、IE、BE， ∵A（1，1），B（2，4），C（3，1），E（2，1）， ∴AC＝3﹣1＝2，BE＝4﹣1＝3，且BE⊥AC， ∴S△ABCAC•BE2×3＝3， ∵∠AEB＝∠CEB＝90°，AE＝CEAC＝1， ∴AB＝BC， 连接AI、BI、CI，设△ABC的内切圆半径长为r，则IF＝IJ＝IE＝r， ∵IF⊥AB于点F，IJ⊥BC于点J，IE⊥AC于点E， ∴S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AICAB•IFBC•IJAC•IE， ∴rr2r＝3， 解得r， 故答案为：． 29．（2024•滨江区二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1＝130°，则∠2的度数为 　40°　． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝130°， ∴∠2＝130°﹣90°＝40°． 故答案为：40°． 30．（2024•钱塘区二模）如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积为 　6﹣π　.（结果保留π） 【解答】解：如图，连接OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝∠ABD＝45°， ∵BC是直径， ∴∠COB＝90°， ∴△COB是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴OB＝OA＝2， ∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE+S扇形CBE﹣S半圆BOC+S弓形OB 4×4π×22（π×2222） 4×4﹣2π+π﹣2 ＝8﹣π﹣2 ＝6﹣π． 故答案为：6﹣π． 31．（2024•杭州二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，连结EG并延长交AB于点M，交CD于点N，连结MF．当AM：MB＝3：4时，tan∠MFB＝　　． 【解答】解：过点M作MP⊥BG于点P，MQ⊥AF于点Q，如图所示： 则∠MPF＝∠MQF＝∠BFA＝90°， ∴四边形MPFQ为矩形， ∴MQ＝PF，MP＝FQ， ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠FEG＝45°， ∴∠MEQ＝∠FEG＝45°， ∴△MEQ为等腰直角三角形， 设MQ＝EQ＝x， ∵AM：MB＝3：4， ∴AM：AB＝3：7， ∵∠MAQ＝∠BAF，∠AQM＝∠AFB＝90°， ∴△AMQ∽△ABF， ∴， ∴BFMQx， ∴AE＝BFx， ∴AQ＝AE﹣EQx， ∴AFAQxx， ∴MP＝QF＝AF﹣AQxxx， ∵PF＝MQ＝x， ∴tan∠MFB． 故答案为：． 32．（2024•杭州二模）已知扇形的圆心角为150°，扇形的面积S＝5π，则这个扇形的半径r＝　　． 【解答】解：根据题意得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 33．（2024•杭州二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以BC为直径在矩形内作半圆，圆心为点O，自点A作半圆的切线AE，则BE的长为 　　． 【解答】解：连接OA、OE， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝4，BC是⊙O的直径， ∴∠ABO＝90°，OE＝OB＝OCBC＝2， ∴OA， ∵OB是⊙O的半径，且AB⊥OB， ∴AB是⊙O的切线， ∵AE是⊙O的切线，OE是⊙O的半径， ∴AE＝AB＝5，AE⊥OE， ∴∠AEO＝90°， ∴S四边形ABOE＝S△AEO+S△ABO5×25×2＝10， ∵AE＝AB，OE＝OB， ∴点A、点O都在BE的垂直平分线上， ∴OA⊥BE， ∴S四边形ABOEOA•BEBEBE＝10， ∴BE， 故答案为：． 34．（2024•钱塘区二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD．已知∠1＝40°，∠2＝140°，则∠3的度数为 　80°　． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1＝40°， ∵∠2＝∠A+∠AMN＝140°， ∴∠AMN＝100°， ∴∠3＝180°﹣∠AMN＝80°， 故答案为：80°． 三．解答题（共18小题） 35．（2024•上城区二模）如图1，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AD＝DC，E是的中点，连接AE交直径BC于点F，连接BD． （1）求证：AE⊥BD． （2）若BC＝10，求AE的长． （3）如图2，连接EO并延长交AC于点G，连接OD．求的值． 【解答】解：（1）BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵E是的中点， ∴∠BAE＝∠EAC＝45°， ∵AB＝AD， ∴AE⊥BD； （2）令AE交BD于点P，连接BE，EC， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∵E是的中点， ∴BE＝EC， ∴BC10， ∴BE＝5， ∵∠BAC＝90°，2AB＝AC， ∴BCAB＝10， ∴AB＝2， ∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴AP＝BP， 由勾股定理得：PE2， ∴AE＝AP+PE＝3； （3）∵∠BAC＝90°，AB＝AD， ∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∵， ∴∠BAE＝∠EAC＝45°， ∵AD＝DC，OD经过圆心， ∴OD⊥AC， ∴∠BDO＝∠EAG＝45°， ∵AE⊥BD，∠AFB＝∠OFE， ∴∠DBO＝∠AEG， ∵∠BDO＝∠EAG＝45°， ∴△BDO∽△EAG， 设AB＝a，则AC＝2a， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得： BCa， ∴BEaa， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴BDa， ∴BP， 在Rt△BPE中，EP， ∴AE＝AP+PEa， ∴， ∴（）2＝（）2． 36．（2024•上城区二模）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F是线段BD上的两点，且∠AEB＝∠CFD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）从下列条件：①AC平分∠EAF，②∠EAF＝60°，③AB＝BC中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形AECF为菱形．我选的是 　③（答案不唯一）．　（请填写序号），并证明． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 又∵∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）解：我选的是③AB＝BC，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 由（1）可知，四边形AECF是平行四边形， ∴平行四边形AECF是菱形， 故答案为：③（答案不唯一）． 37．（2024•临安区二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母． （1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A． （2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得． 【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求； （2）如图2中，点Q即为所求． 38．（2024•临安区二模）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F． （1）求证：△CFD≌△EBC． （2）若AE＝1，，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠CEB， ∵DF⊥CE， ∴∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠B， 在△CFD与△EBC中， ， ∴△CFD≌△EBC（AAS）； （2）解：∵sin∠BEC， 设BC＝2t，CE＝3t， ∴BE， ∴AB＝AE+BE＝1t， ∵CD＝CE＝3t， ∴AB＝CD＝3t＝1t， 解得：t， ∴BC＝2t． 39．（2024•临安区二模）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED＝EB，求证：ED∥BC． 【场景迁移】 （2）如图2，四边形BCGE为平行四边形，BD平分∠ABC交EG于D，延长BE，CD交于A，若，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在圆O的中，直径AB＝10，点D在圆上，点C在圆外，若四边形OBCD是菱形，连接AC交OD于点E，OF平分∠AOD交AC于点F，在AB上找一点G，使FG为定值，说明理由并求出AG的值． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵ED＝EB， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴ED∥BC； （2）解：∵四边形BCGE为平行四边形， ∴BE∥CG，EG∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE． ∵BE∥CG， ∴△AED∽△CGD， ∴， 设ED＝a，则DG＝2a，BE＝a， ∵， ∴． ∵EG∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴AEAB（AE+BE）， ∴AEa． ∴． （3）解：在AB上找一点G，使AGAB，则FG为定值，此时AG．理由： 在AB上找一点G，使AGAB，连接FG，连接BD交AC于点P，如图， ∵四边形OBCD是菱形， ∴OB＝BC＝CDAB＝5，AB∥CD，OD∥BC． ∵AB∥CD， ∴△DCP∽△BAP， ∴， ∴CPAP． ∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠ABC， ∵四边形OBCD是菱形， ∴∠ABDABC． ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOFAOD， ∴∠AOF＝∠ABD， ∴OF∥BD， ∴△AOF∽△ABP， ∴， ∴AFAP， ∴AF＝CP＝FP， ∴． ∵AGAB， ∴． ∵∠FAG＝∠CAB， ∴△FAG∽△CAB， ∴， ∴， ∴FG为定值． 此时AGAB． 40．（2024•萧山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC． （1）作∠BDE＝∠ABD，DE交AB于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：CD＝BE． 【解答】（1）解：如图所示，∠BDE即为所求； （2）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBD， ∵∠BDE＝∠ABD， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AC﹣AD＝AB﹣AE， 即CD＝BE． 41．（2024•拱墅区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝4，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCE， 在△DAE与△BCE中， ， ∴△DAE≌△BCE（ASA）， ∴BE＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE＝DE，CE＝AE＝2， ∵AC⊥BC，AB＝5，AC＝4， ∴BC， ∴BE， ∴BD＝2BE＝2． 42．（2024•拱墅区二模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠DAB+∠ABC＝90°，点E为弦AB的中点，连结BD．延长AD，BC相交于点F，连结EF，与CD相交于点G，与BD相交于点H． （1）求证：CD⊥EF． （2）若点C是BF的中点，，求的值． （3）连结OE，探究OE与CD之间的等量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∵点E为弦AB的中点， ∴EA＝EF＝EBAB， ∴∠DAB＝∠EFA． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠FDC＝∠CBA， ∴∠EFA+∠FDC＝90°， ∴∠FGD＝90°， ∴CD⊥EF； （2）解：过点B作BP⊥EF于点P，如图， ∵CD⊥EF，BP⊥EF， ∴CD∥BP， ∵点C是BF的中点， ∴CG为△FPB的中位线， ∴CGBP， ∵∠EFA＝∠A，， ∴tan∠EFA， ∵tan∠EFA， ∴． ∵∠FCG+∠GFC＝90°，∠EFA+∠GFC＝90°， ∴∠FCG＝∠EFAA， ∴tan∠FCG＝tan∠EFA， ∴． ∴． ∴． ∵CD∥BP， ∴△DGH∽△BPH， ∴． （3）解：OE与CD的关系为：OECD． 连接AO并延长交⊙O于点K，连接BK，DK，如图， ∵点E为弦AB的中点，O为AK的中点， ∴OEBK． ∵AK为直径， ∴∠ADK＝90°， ∴KD⊥AD， ∵∠AFB＝90°， ∴BF⊥AD， ∴BF∥KD， ∴∠BDK＝∠CBD， ∴， ∴BK＝CD， ∴OECD． 43．（2024•拱墅区二模）综合与实践 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H．点P是线段CF的一点，且CP＝FP． 探究发现： （1）点点发现结论：△BCG≌△FEH．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由． 深入探究： （2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答． ①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，AE＝2，ED＝4，求FG的长． ②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若∠PEF＝∠EFB，AB＝4，AD＝6，求tan∠HBF的值． 【解答】解：（1）点点发现的结论正确，理由如下： ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF∥BE， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∵AD∥BC， ∴∠HEF＝∠HBC， ∵CF∥BE， ∴∠HBC＝∠BCG， ∴∠HEF＝∠BCG， ∵BG⊥CF，FH⊥BE， ∴∠EHF＝∠G＝90°， ∴△BCG≌△FEH（AAS）， 所以点点发现的结论正确． （2）①在Rt△CDF中，CP＝FP， ∴CP＝DP＝FP， ∴∠PFD＝∠FDP， ∵CF∥BE， ∴∠HED＝∠PFD， ∵∠FDP＝∠HDE， ∴∠HED＝∠HDE， ∴HE＝HD， ∵四边形EBCF是平行四边形， ∴EF＝BC， ∵AD＝BC， ∴EF＝AD， ∴AE＝DF＝2， 如图，过点H作HT⊥ED， ∵HE＝HD， ∴ET＝DT＝2，TF＝4， ∵∠EHF＝90°， ∴∠HEF+∠HFE＝90°， ∵HT⊥ED， ∴∠FHT+∠HFE＝90°， ∴∠HEF＝∠FHT， ∴△FHT∽△HET， ∴HT2＝ET•TF， ∴， ∴， ∵HT⊥ED，AB⊥ED， ∴HT∥AB， ∵ET＝AE， ∴HE＝BE， ∴， ∵∠EHF＝∠G＝90°，CF∥BE， ∴∠GFH＝90°， ∴四边形HBGF是矩形， ∴； ②如图，连接DP， 在Rt△CDF中，CP＝FP， ∴CP＝DP＝FP， ∴∠PDC＝∠PCD， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠EDP＝∠BCF， ∵∠PEF＝∠EFB， ∴△EDP∽△BCF， ∴， ∴DE＝3，AE＝3， ∵∠A＝90°，AB＝4， ∴BE＝5， ∵∠AEB＝∠HEF，∠A＝∠H＝90°， ∴△ABE∽△HFE， ∴，， ∴． 44．（2024•滨江区二模）（1）如图1，PQ是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，Q为切点．A，B是直线l上两点（不与点Q重合，且在直径PQ的两侧），连结PA，PB分别交于⊙O点C，点D．连结DQ．求证：△PCD∽△PBA． （2）将图1中的直线l沿着QO方向平移，l与OQ交于点M，如图2．结论△PCD∽△PBA是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由． （3）在（1）的条件下，连结QC，得如图3，当tan∠CPD＝2，时，求的值． 【解答】解：（1）∵， ∴∠PCD＝∠PQD， ∵直线l是⊙O的切线， ∴∠PQB＝90°， ∴∠PQD+∠BQD＝90°， ∵PQ是⊙O的直径， ∴∠PDQ＝∠BDQ＝90°， ∴∠BQD+∠QBD＝90°， ∴∠QBD＝∠PQD＝∠PCD， ∵∠CPD＝∠BPA， ∴△PCD∽△PBA； （2）△PCD∽△PBA成立． 由平移得，平移前后的l平行， ∴图2中的∠ABD等于图1中的∠QBD， ∴∠ABD＝∠PCD， ∵∠CPD＝∠BPA， ∴△PCD∽△PAB； （3）如图，做DM⊥PC于M，延长CQ、PD交于点N， ∵tan∠CPD＝2， ∴MD：PM＝2：1， 设PM为单位1， ∴DM＝2，PD， ∵△PCD∽△PAB， ∴PD：PC＝PA：PB：2， ∴PC＝2， ∴MC＝1， ∴MD垂直平分PC， ∴DC＝DP， ∴∠PQD＝∠PCD＝∠CPD， ∴tan∠PQD＝2， ∴PD：DQ＝2：1， ∴CQ， ∵∠DQN＝∠CPD， ∴∠DQN＝∠PQD， ∵PQ为直径， ∴∠QDP＝∠QDN＝90°， ∵QD＝QD， ∴△PQD≌△NQD（ASA）， ∴PQ＝NQ， ∵tan∠CPD＝2， ∴NC：PC＝2：1， ∴CN＝4， ∴PQ＝QN＝4﹣CQ， 在Rt△PQC中，PC2+CQ2＝PQ2，即22+CQ2＝（4﹣CQ）2， ∴CQ， ∴． 45．（2024•滨江区二模）如图1，矩形A1BC1D1是矩形ABCD以点B为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为x°所得的图形，其中0＜x≤90．连结BD，BD1，CC1．已知AB＝4，BC＝2． （1）求∠BCC1的度数（用含x的代数式表示）． （2）如图2，当BD1经过点C时，求的值． （3）如图3，当BA1平分∠DBD1时，求CC1的长. 【解答】解：（1）∵矩形A1BC1D1是矩形ABCD以点B为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为x°所得的图形， ∴BC＝BC，∠CBC1＝x， ∴△CBC1为等腰三角形， ∴∠BCC1＝∠BC1C． （2）∵AB＝4，BC＝2，四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝2，AB＝DC＝4， ∴BD， 由旋转可知，BD＝BD1， ∴CD1， ∴． （3）如图，过点B作BE⊥CC1于E， 由旋转可知，AB＝A1B＝4，AD＝A1D1＝2，BD＝BD1，∠DBD1＝∠CBC1， 在Rt△BA1D1中，sin∠A1BD1， 由（1）知，△CBC1为等腰三角形， ∵BE⊥CC1， ∴BE平分∠CBC1，CE＝C1E， 又∵BA1平分∠DBD1，∠DBD1＝∠CBC1， ∴∠CBE＝∠A1BD1， ∴sin∠CBE， ∴CE，CC1． 46．（2024•拱墅区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，以AE为斜边，在AE上方作Rt△AEF，使∠EAF＝∠ABC，延长CF与BA交于点G． （1）当∠ABC＝45°时，若CE＝1，BE＝3，求线段AF的长． （2）求证：点F为线段CG的中点． 【解答】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AD⊥BC， ∴AD＝CD＝BD，∠ACD＝∠CAD＝45°，∠ADC＝90°， ∵CE＝1，BE＝3， ∴BC＝4， ∴AD＝BD＝CD＝2， ∴DE＝1， ∴AE， ∵∠EAF＝45°，EF⊥AF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AEAF， ∴AF； （2）如图，作AD＝CD，过点C作CH∥BG，交AF的延长线于H，在AD上截取AN＝CE，连接NE，EH， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AD＝DC，AN＝CE， ∴DN＝DE，∠DAC＝∠DCA， ∴∠DNE＝∠DEN， ∵∠DAC+∠DCA+∠ADC＝180°，∠DNE+∠DEN+∠ADC＝180°， ∴∠DNE＝∠DAC， ∴∠DNE＝∠DAC＝∠DCA＝∠ABC， ∵BG∥CH， ∴∠B+∠BCH＝180°， ∵∠DNE+∠ANE＝180°， ∴∠ANE＝∠BCH， ∵∠EAF＝∠ABC， ∴∠EAF＝∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAF， ∵∠EAF＝∠ABC， ∴∠EAF+∠BCH＝180°， ∴点A，点E，点C，点H四点共圆， ∴∠CAH＝∠CEH， ∴∠DAE＝∠CEH， 又∵AN＝CE， ∴△ANE≌△ECH（ASA）， ∴AE＝EH， ∵∠AFE＝90°， ∴AF＝FH， ∵BG∥CH， ∴∠G＝∠FCH，∠GAF＝∠CHF， ∴△AGF≌△HCF（AAS）， ∴GF＝CF， ∴点F为线段CG的中点． 47．（2024•杭州二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD． （1）求证：∠BAC＝∠DAC． （2）若AB∥CD，AB＝5，求四边形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD＝5， ∴CB＝CD＝5， ∴四边形ABCD的周长＝5+5+5+5＝20． 48．（2024•杭州二模）如图1，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上的动点，连结CD交AB于点E，连结AO并延长交CD于点F，连结BD． （1）当∠BDC＝40°时，求∠BAF的度数； （2）如图2，当，EF＝2，CF＝3时，求BE的长； （3）如图3，当CD为⊙O的直径，，时，求k的值． 【解答】解：（1）∵∠BDC＝BAC，∠BDC＝40°， ∴∠BAC＝40°， ∵AB＝AC， ∴， ∴AO⊥BC， ∴AO平分∠BAC， ∴∠BAF∠BAC＝20°； （2）由（1）知：AO平分∠BAC， ∴， ∴设AE＝2k，则AC＝3k， ∴AB＝AC＝3k， ∴BE＝AB﹣AE＝k． ∵∠D＝∠EAC，∠DBE＝∠ACE， ∴△DBE∽△ACE， ∴， 设BD＝3a，则DE＝2a， ∴DC＝DE+EF+FC＝2a+5， ∵， ∴∠BCD＝∠ACD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD＝∠BCD． ∵∠D＝∠D， ∴△BDE∽△CDB， ∴， ∴BD2＝DE•DC． ∴（3a）2＝2a（2a+5）， ∴a＝0（不合题意舍去）或a＝2， ∴BD＝6，DE＝4． ∵△DBE∽△ACE， ∴， ∴， ∵k＞0， ∴k， ∴BE； （3）连接AD，如图， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DAC＝90°， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴tan∠ACD， ∵tan∠ACD， ∴， ∴设AD＝m，则AC＝2m， ∴AB＝AC＝2m，CDm． ∴OC＝ODCDm． ∵， ∴AE， ∴BE＝AB﹣AE＝2m（2）m， 由（1）知：AO平分∠BAC， ∴， ∴OEOCm． ∴DE＝OD﹣OE＝（）m，EC＝OE+OC＝（）m． ∵∠D＝∠EAC，∠DBE＝∠ACE， ∴△DBE∽△ACE， ∴， ∴DE•EC＝AE•BE， ∴（）m•（）m•（2）m， ∴k＝1（不合题意，舍去）或k． ∴k的值为． 49．（2024•钱塘区二模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，点D为劣弧BC上一点（不与点B，C重合），连结DA，DB，DC，且DA交BC于点E． （1）若∠ABC＝65°，∠BAD＝20°，求∠CBD的大小． （2）若∠ABC＝45°，CD＝2BD＝4，求BE的长． （3）若∠ABC＝60°，求四边形ABDC的面积S关于线段AD的长x的函数解析式． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°， ∵∠BAD＝20°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣20°＝30°， ∵， ∴∠CBD＝∠CAD＝30°； （2）如图1， 作∠DAF＝90°，交DC的延长线于点F， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAF，BC是⊙O的直径， ∴∠BAD＝∠CAF，∠BDC＝90°， ∴BC2， ∴AB＝AC， ∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形， ∴∠ACF＝∠ABD， ∴△CAF≌△BAD（ASA）， ∴AF＝AD，CF＝BD＝2， ∴DF＝DC+CF＝6， ∴AD＝AFDF＝3， ∵， ∴∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠BAE＝∠BAD， ∴△ABE∽△ADB， ∴， ∴， ∴BE； （3）如图2， 作∠DAF＝60°，交DC的延长线于点F， ∵AB＝AC，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠DAF， ∴∠CAF＝∠BAD， 同理（2）可得， △CAF≌△BAD（ASA）， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等边三角形， ∴S四边形ABDC＝S△ADC+S△ABD＝S△ADC+S△ACF＝S等边三角形ADF， ∵S△ADF， ∴S． 50．（2024•钱塘区二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×6的网格中，△ABC的顶点均在格点上． （1）△ABC的面积＝　8　，sin∠BAC＝　　． （2）不使用圆规，只用无刻度直尺画出AC边上的高线BD，并求出BD的长．（保留痕迹并标注字母） 【解答】解：（1）过点C作CQ⊥AB于点Q． △ABC的面积4×4＝8， ∵AC5， ∴sin∠BAC． 故答案为：8，； （2）如图，线段BD即为所求． BD＝AB•sin∠BAC4． 51．（2024•拱墅区二模）某同学尝试在已知的▱ABCD中利用尺规作出一个菱形，如图所示． （1）根据作图痕迹，能确定四边形AECF是菱形吗？请说明理由． （2）若∠B＝60°，BA＝2，BC＝4，求四边形AECF的面积． 【解答】解：（1）四边形AECF是菱形． 理由：由作图痕迹可得，∠FAC＝∠EAC，∠FCA＝∠ECA， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠FAC＝∠ECA， ∴∠FAC＝∠EAC＝∠FCA＝∠ECA， ∴AE∥CF，AE＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形； （2）过点A作AM⊥BC于M，则∠AMB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∴， ∴CM＝BC﹣BM＝4﹣1＝3，， 设ME＝x，则CE＝AE＝3﹣x， ∵AM2+ME2＝AE2， ∴， 解得x＝1， ∴CE＝3﹣1＝2， ∴四边形AECF的面积． 52．（2024•拱墅区二模）如图，在半径为3的⊙O作内接矩形ABCD，点E是弦BC的中点，BC＝4，连结AE并延长交⊙O于点F，点G是的中点，连结CG分别交AB、AF于点H、点P． （1）证明：； （2）求BH的长； （3）若存在一个实数m，使得tan∠APH＝mBH，试求出m的值． 【解答】（1）证明：连接BG， ∴∠ACG＝∠ABG， ∵∠AHC＝∠BHG， ∴△AHC∽△GHB， ∴， ∴； （2）解：连接OG，分别交AF、AB于点M、N， ∵G是的中点， ∴ON⊥AB， ∴AN＝BNAB， ∵矩形ABCD内接于⊙O， ∴∠B＝90°，AC为⊙O的直径， ∵E是弦BC的中点，BC＝4， ∴BE＝CEBC＝2， ∴ON∥BC， ∴△AMN∽△AEB，△AOM∽△ACE， ∴，， ∴MN＝1，OM＝1． ∵半径为3， ∴OM＝MN＝NG＝1， ∵GN∥BC， ∴△GHN∽△CHB， ∴4， ∴BH＝4NH， ∵AB2， ∴BN， ∴BH； （3）解：∵AB＝2，BE＝2， ∴AE2， ∵△AOM∽△ACE， ∴， ∴AM＝MEAE， ∵GM∥EC， ∴△GMP∽△CEP， ∴1， ∴PM＝PE， ∴AP， 连接AG， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AGP＝90°， ∴AN AG， 又∵AP， ∴PG， ∴tan∠APH， ∴BH， ∴tan∠APHBH， ∴m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/1 12:12:02；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$