精品解析：河北省唐县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

高二数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 2. 已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可. 【详解】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 3. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为， 甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为， 甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种， 场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时， 场馆仅有2名志愿者的概率为. 故选：B． 4. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值为，极小值为 B. 在上单调递增 C. 的极小值为，极大值为 D. 在上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，从而可求函数的单调性及极值. 【详解】解：当时，，由图象可得， 则，为增函数，D选项错误； 当时，，由图象可得 则，为减函数，B选项错误； 当时，由图象可得， 则，为减函数； 当时，，由图象可得 则，为增函数， 所以的极大值为，极小值为，选项A正确，C选项错误. 故选：A. 5. 将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型分别求出，代入条件概率公式即可. 【详解】由题意，事件即为“三个点数都不同且至少出现一个6点”， ， ， ． 故选：A． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的极差和平均数相等，则 B. 数据的中位数为8 C. 若，随机变量，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用极差和平均数的定义即可求解；选项B，利用中位数的定义，即可求解；选项C，利用二项分布的期望公式和性质即可求解；选项D，利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】对于选项A，因为数据的平均数为，当时，极差为， 由题知，解得，满足题意， 当时，极差为，由题知，解得，满足题意，所以选项A错误， 对于选项B，因为数据的中位数为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以， 又，所以，所以选项C正确， 对于选项D，因为，所以，从而有，故选项D错误， 故选：C. 7. 现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ） A. 240种 B. 640种 C. 1350种 D. 1440种 【答案】C 【解析】 【分析】将2名说书演员分配到3个居民区，共有9种分配方法. 对京剧演员进行分组分配，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1. 分别计算两种情况下的分配方法数，最后根据分类加法计数原理可得每个居民区都有京剧演员的分配方法共有1350种. 【详解】将2名说书演员分配到3个居民区，有（种）分配方法. 若每个居民区都有京剧演员，则将京剧演员分成3组，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1. 当京剧演员分成三组的人数为1，1，3时，此时共有（种）分配方法； 当京剧演员分成三组的人数为2，2，1时，此时共有（种）分配方法. 综上可知，每个居民区都有京剧演员的分配方法有（种）. 故选：C 8. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则原函数方程等价为,作出函数f（x）的图象如图1：图象可知当由时，函数有3个交点，所以要使有六个相异实根，则等价为有两个根，，且，，令，则由根的分布（如图2）可得，即，即，解得，则实数的取值范围是，故选B. 点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图象结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分位数是7 C. 若随机变量，则 D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据百分位数的概念及求法，可判定B不正确；根据二项分布的方差的计算公式，可判定C正确；根据，结合相关性的含义，可判定D不正确. 【详解】对于A中，若随机变量， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共有10个数据， 则，所以数据的分位数为，所以B不正确； 对于C中，若随机变量，可得，所以C正确； 对于D中，若两组成对数据的样本相关系数分别为， 因为，所以组数据比组数据的相关性较强，所以D不正确. 故选：AC. 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法，结合二项式定理逐项判断即可. 【详解】令得：，所以，故A正确； 令得：，即，故B正确； 展开式的第项为：， 所以，即，所以，故C错误； 令得：， 所以，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点且三个零点的和为0 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，可判断极值点，判断A；计算可判断B；根据函数的单调性结合零点存在定理以及设这3个零点为，利用，求得零点和，判断C；根据导数的几何意义可判断D. 【详解】因为函数，所以， 令， 当或时，，在上都单调递增， 当时，，在上单调递减， 故为函数的极大值点，为函数的极小值点， 即有两个极值点，A正确； 因为， 故点是曲线的对称中心，B正确； 由A可知有两个极值点，且， ， 结合的单调性可知函数在各有一个零点， 即函数有3个零点； 由于，故之间的零点处于内， 不妨设这3个零点为，且， 满足， 即 ， 故，C正确； 不妨设直线是曲线的切线，则满足， 则，即切点坐标为， 而， 说明假设不成立，即直线不是曲线的切线，D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中常数项为，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由二项式展开式性质可计算出，结合基本不等式即可得. 【详解】由，有， 令，即，故， 即，即，则， 当且仅当或时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：3. 13. 若随机变量，随机变量，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再由两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，，就可以求出结果. 【详解】由可知：， 又因为，所以， ，则. 故答案为：. 14. 已知函数在处取得极大值，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】的定义域是， ， 由于函数在处取得极大值， 所以， 且在上单调递增， 在上单调递减， 所以单调递减， 所以， 所以，构造函数，显然， ，所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以是的极大值也即是最大值， 所以，也即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，记 ． （1）判断的奇偶性（不用证明）,并写出的单调区间； （2）若对于一切恒成立，求实数的取值范围. （3）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值； 【答案】（1）奇函数，单调递增区间为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性性质写出单调区间； （2）含参数的恒成立问题采用分离参数法，得到，求得，时的最大值，则即可； （3）由题意可知，，，所以，解得． 【小问1详解】 由于， 故函数为奇函数， 因为在R上单调递增，在R上单调递增， 故在R上单调递增， 故的单调递增区间为 ； 【小问2详解】 当时，恒成立， 即恒成立， ，恒成立， 令，， 下面求函数的最大值． ， ∴，故， 故的取值范围是； 【小问3详解】 据题意知，当时，， ∵在区间上单调递增， ∴，即 又∵， ∴函数的对称轴为， ∴函数在区间上单调递减， ∴，即， 由，得， ∴. 【点睛】本题考查了函数奇偶性单调性的判断，考查了函数不等式恒成立问题以及函数的最值问题，综合性强，解答时要熟悉单调性以及奇偶性的定义；解答的关键是含参的函数恒成立问题，一般都采取分离参数法进行解题，再进行最值求解. 16. 某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． （1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) （2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； （3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 【答案】（1） （2）的分布列为： 期望为 （3）0.35 【解析】 【分析】（1）由题意，利用原则可求解； （2）利用超几何分布的概率公式求分布列，进而得到期望； （3）由二项分布可求. 【小问1详解】 因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布， 所以， 因为， 所以这个社区中“超标”社区的个数为. 【小问2详解】 由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3， 则，， ，， 所以，的分布列为： 则. 【小问3详解】 由（1）可知随机变量 所以， 所以的值约为0.35． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2），，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，分是否小于0进行讨论即可求解； （2）显然时，不等式恒成立，所以原题条件等价于，在上恒成立，构造函数，，利用导数求得其最大值即可得解. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，显然成立，此时可为任意实数； 当时，由，在上恒成立，得， 令，， 则， 设，由（1）可知，在上单调递增，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则，所以， 综上，实数的取值范围为. 18. ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数(万人)，详见下表: X（月份） 1 2 3 4 5 Y（万人） 3.6 6.4 11.7 18.64 27.5 （1）根据表中数据信息及模型(1)与模型(2)，判断哪一个模型更适合描述变量和的变化规律（无需说明理由），并求出关于的经验回归方程; （2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表: 基本适应 不适应 合计 年龄小于30岁 100 50 150 年龄不小于30岁 75 75 150 合计 175 125 300 根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关. 附参考公式与数据: ，; 15 55 979 67.84 263.56 1120.24 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）更适合，回归方程为 （2）该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关 【解析】 【分析】（1）根据增量变化确定模型，再应用最小二乘法求回归方程即可； （2）应用卡方公式求卡方值，由独立试验的基本思想下结论即可. 【小问1详解】 根据表格数据知：随月份变化，用户人数的增量在变大，则更适合， 而，，则， 所以，故. 【小问2详解】 由， 所以小概率的独立性检验，该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关. 19. 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”. （1）设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由） （2）证明：当时，函数不存在“自公切线”； （3）证明：当，时，. 【答案】（1）图象如下： 存在“自公切线” （2）由题意证明如下： ，下面只需证明在上单调即可， 令，则， 当时，，此时单调递减，即单调递减； 当时，，此时单调递减，即单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减， 所以在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证. （3）证明如下： ，， 故只需证明， 即只需证明， 构造函数，则， 当时，，从而在上单调递减， 所以，即， 故只需证， 设，注意到， ，注意到， 令，则由（2）知，， 且由（2）知，在上单调递减，所以， 从而在上单调递减，所以， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即， 从而，当，时，. 【解析】 【分析】（1）将曲线C：方程变形，由圆的函数图象作出其图象，结合“自公切线”定义即可判断. （2）结合“自公切线”定义将所证不等式转化为证明在上单调即可，构造函数，利用导数研究其单调性，即可证明. （3）根据将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数研究其最值证明，进一步转化为证明，，设，求导，利用（2）的结论，得在上单调递增，即可证明. 【小问1详解】 曲线C：，当时，，表示以点为圆心，半径为的部分圆弧，当时，，表示以点为圆心，半径为的半圆圆，从而图象如下： 由图象可知，存在“自公切线”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 3. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值为，极小值为 B. 在上单调递增 C. 的极小值为，极大值为 D. 在上单调递减 5. 将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的极差和平均数相等，则 B. 数据的中位数为8 C. 若，随机变量，则 D. 若，则 7. 现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ） A. 240种 B. 640种 C. 1350种 D. 1440种 8. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分位数是7 C. 若随机变量，则 D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点且三个零点的和为0 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中常数项为，则的最小值为__________. 13. 若随机变量，随机变量，则__________． 14. 已知函数在处取得极大值，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，记 ． （1）判断的奇偶性（不用证明）,并写出的单调区间； （2）若对于一切恒成立，求实数的取值范围. （3）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值； 16. 某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． （1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) （2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； （3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2），，求的取值范围. 18. ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数(万人)，详见下表: X（月份） 1 2 3 4 5 Y（万人） 3.6 6.4 11.7 18.64 27.5 （1）根据表中数据信息及模型(1)与模型(2)，判断哪一个模型更适合描述变量和的变化规律（无需说明理由），并求出关于的经验回归方程; （2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表: 基本适应 不适应 合计 年龄小于30岁 100 50 150 年龄不小于30岁 75 75 150 合计 175 125 300 根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关. 附参考公式与数据: ，; 15 55 979 67.84 263.56 1120.24 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”. （1）设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由） （2）证明：当时，函数不存在“自公切线”； （3）证明：当，时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $