精品解析：广东省湛江市岭南师范学院附属中学2023-2024学年高二下学期第二次段数学试题

岭南师范学院附属中学 2023-2024学年第二学期第二次段考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可得对应的点的坐标求解. 【详解】，则在复平面内对应的点为， 故选：B 2. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到， 解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 4. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. －36或36 B. －36 C. 36 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可. 【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，， 则，则， 则， 则， 故选：C. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则， 底面周长，所以， 所以圆锥的体积为. 故选：B 6. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合图形即可得解. 【详解】依题意，，， 所以， ， 所以. 故选：C. 7. 金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同分配方案有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成组，然后分给剩余2个不同学校有种不同分法，再由分步乘法计数原理得解. 【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有种不同的方法， 剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有种， 这2组分配到2个不同学校有种不同分法， 所以由分步乘法计数原理知，共有种不同的分法. 故选：A 8. 已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解. 【详解】由于为奇函数，所以， 由得 ， 由于 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12 B. 若样本数据，，……，的方差为8，则数据，，……，的方差为2 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量服从二项分布，，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则判断A，根据方差的性质判断B，根据正态分布的性质判断C，根据二项分布的期望、方差公式判断D. 【详解】对于A：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第、两数的平均数，即为，故A错误； 对于B：若样本数据，，……，的方差为， 则数据，，……，的方差为，故B正确； 对于C：因为且， 又，所以，所以，故C正确； 对于D：因为且，即，解得， 所以，故D正确. 故选：BCD 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】由椭圆方程求得的值，可得椭圆离心率判断A；由椭圆定义结合焦半径范围判断B与C；由基本不等式求得的最大值判断D. 【详解】已知椭圆，则，，， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. C. 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则 D. 有唯一零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算即可判断B；利用对称关系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答. 【详解】对于A，函数，求导得，有， 所以在处的切线方程为，即，A正确； 对于B，函数，有， 而，所以，B正确； 对于C，函数，函数的图象与的图象关于坐标原点对称， 所以，C错误； 对于D，函数的定义域为R，求导得，令， ，当时，当时，，则函数在上递增，在上递减， 于是，函数在上单调递增，而， 由零点存在性定理知在内存在唯一零点，所以有唯一零点，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r的值，即可求得答案. 【详解】由题意的展开式的通项为 ， 令， 故展开式中的常数项为， 故答案为：60 13. 设双曲线的右焦点为，以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，且，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合渐近线的斜率与离心率的关系列式求解即可. 【详解】因为以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，故.又根据渐近线的斜率可得，故离心率. 故答案为： 14. 在三棱柱中，平面，，，是矩形内一动点，满足，则三棱锥外接球体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设的外接圆的圆心为为的中点，再由为直角三角形，得到的外接圆的圆心为的中点，即三棱锥外接球的球心为，且，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 设的外接圆的圆心为，则为的中点，且， 因为，所以为直角三角形， 所以外接圆的圆心为的中点， 所以三棱锥外接球的球心为，且半径为， 所以三棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间，市足球协会发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如下表所示： 有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁） 100 150 300 （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“有关系”态度的人群中抽取了45人，求的值； （2）在持“不知道”态度的人群中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体．从这10人中随机选取3人，若设其中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）100 （2）分布列： 期望为 【解析】 【分析】（1）根据抽样比即可列比例式求解， （2）由超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解期望. 小问1详解】 由题意，得， ∴. 【小问2详解】 设所选取人中有人在岁以下，则，解得. 依题意，的所有可能取值为，，，. ，，，. 的分布列为 ∴ . 16. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 取得中点，连接， ，，，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，； 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,如图， 则， ∴， 设为平面CMN的一个法向量，则， 取，则，故， 又为平面的一个法向量， ，， 故二面角的正弦值为. 17. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦求解出，从而求解出. （2）利用三角形的面积公式求解出，结合和余弦定理求解出，从而求解出的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 【小问2详解】 由（1）知，因为的面积为， 可得，即，解得， 又因为，由余弦定理得 ， 整理得，解得， 所以，所以的周长为. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且离心率为，过左焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为． 求椭圆C的方程； 当的面积最大时，求l的方程． 【答案】(1)；(2). 【解析】 【详解】试题分析：根据椭圆定义及的周长为得出，利用 知，求出，进而得到椭圆的方程； 将三角形分割，以为底，两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用基本不等式求得结果 解析：（1）由椭圆的定义知， 由知 所以椭圆的方程为 （2）由（1）知， 设， 联立与得到， 当时，最大为， 点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性； （2）可借助，得到，在的情况下，借助，从而构造函数，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到对任意的恒成立，通过研究得解. 小问1详解】 当时，，其定义域为， ， 令，得（舍去）， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 方法1：由条件可知，于是，解得． 当时，， 构造函数，， ， 所以函数在上单调递减，于是， 因此实数m的取值范围是． 方法2：由条件可知对任意的恒成立， 令，，只需即可． ， 令，则， 所以函数在上单调递增， 于是，所以函数在上单调递增， 所以，于是，因此实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岭南师范学院附属中学 2023-2024学年第二学期第二次段考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则等于（ ） A B. C. D. 4. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. －36或36 B. －36 C. 36 D. 18 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 8. 已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22第40百分位数为12 B. 若样本数据，，……，的方差为8，则数据，，……，的方差为2 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量服从二项分布，，若，则 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. C. 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则 D. 有唯一零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为__________. 13. 设双曲线的右焦点为，以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，且，则双曲线的离心率为__________． 14. 在三棱柱中，平面，，，是矩形内一动点，满足，则三棱锥外接球体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间，市足球协会发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如下表所示： 有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁） 100 150 300 （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“有关系”态度的人群中抽取了45人，求的值； （2）在持“不知道”态度的人群中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体．从这10人中随机选取3人，若设其中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望． 16. 在三棱锥中，是边长为4正三角形，平面平面，，分别为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值的大小. 17. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且离心率为，过左焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为． 求椭圆C方程； 当的面积最大时，求l的方程． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$