预习课第16讲 因式分解 - 2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第16讲 因式分解 1.掌握因式分解的概念； 2.掌握因式分解的方法—提公因式法和公式法. 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 2 因式分解的方法 (1)提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； (2)公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【题型一】 因式分解的概念 相关知识点讲解 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 【例】。 因式分解与整式相乘的关系：. 【典题1】 下列各式从左到右的变形属于分解因式的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是(　　) A． B． C． D． 2.下列由左到右的变形，属于因式分解的是(　　) A． B． C． D． 3.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是．(    ) A． B． C． D． 【题型二】 因式分解方法1--提公因式法 相关知识点讲解 提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； 【例】 . 【典题1】 下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】把分解因式(　　) A． B． C． D． 变式练习 1. 多项式的公因式是(    ) A． B． C． D． 2.多项式分解因式时，应提取的公因式是(    ) A． B． C． D． 3.下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 4.已知，，则代数式的值(    ) A．6 B． C． D．5 5.把多项式分解因式正确的是(　　) A． B． C． D． 6.若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为6，则的值为(    ) A．14 B．16 C．20 D．30 【题型三】 因式分解方法2—公式法 相关知识点讲解 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【例】 ，. 【典题1】 下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 【典题3】对任意整数，都能(  ) A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 变式练习 1. 下列各式能用平方差公式进行因式分解的是(    ) A． B． C． D． 2.下列多项式中，能用公式法分解因式的是(    ) A． B． C． D． 3.因式分解的结果是(   ) A． B． C． D． 4.下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 5.已知，那么代数式的值是(    ) A．0 B．2 C．4 D．6 6.已知，则的值是(　　) A．5 B． C．6 D． 7.已知a，b，c分别是的三边长，若，则是(    )． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 8.已知，则按此规律推算的结果一定能(    ) A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【题型四】 其他因式分解的方法 【典题1】 材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 变式练习 1. 因式分解： ． 2.【方法阅读】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式x2﹣4y2+2x+4y．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1：x2﹣4y2+2x+4y ＝(x2﹣4y2)﹣(2x﹣4y)分成两组 ＝(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)分别分解 ＝(x﹣2y)(x+2y﹣2)提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【数学思考】 (1)关于以上方法中“分组”，在以下说法中所有正确的序号是 　 　． ①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ ①x2﹣y2+x+y＝　 ． ②2a+a2﹣2b﹣2ab+b2＝　 　． 【问题解决】 (3)利用分组分解法进行因式分解：4x2+4x﹣y2+1． 3.阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法(如图)． 第一步：二次项2x2＝x•2x； 第二步：常数项﹣3＝﹣1×3＝1×(﹣3)，画“十字图”验算“交叉相乘之和”； 第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项﹣x．即2x2﹣x﹣3＝(x+1)(2x﹣3)； 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝　 　； (2)若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值． 4.如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：(______)(______)． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： (______)(______)(提示：提公因式)(______)(______)． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【A组---基础题】 1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(   ) A． B． C． D． 2.下列多项式中，能分解因式的是(    ) A． B． C． D． 3.下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 4.如果，，则的值是(　　) A．30 B． C．11 D． 5.已知，，则的值为(    ) A． B．6 C． D． 6.若，，则 ． 7.因式分解： ． 8.阅读理解 我们知道：多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法： a2+6a+8＝(a+3)2﹣1＝(a+2)(a+4)． 请仿照上面的方法，将下列各式因式分解： (1)x2﹣6x﹣27；(2)a2+3a﹣28；(3)x2﹣(2n+1)x+n2+n． 9.阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由(x+p)(x+q)＝x2+(p+q)x+pq得，x2+(p+q)x+pq＝(x+p)(x+q)； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：将式子x2+5x+6分解因式． 分析：这个式子的常数项6＝2×3，一次项系数5＝2+3，所以x2+5x+6＝x2+(2+3)x+2×3． 解：x2+5x+6＝(x+2)(x+3)． 请依照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x2+7x+12； (2)分解因式：(x2﹣3)2+(x2﹣3)﹣2； (3)若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，请写出整数p(非0)的所有可能的值． 【B组---提高题】 1.已知是整数，若是正整数，则的最小值是(   ) A．31 B．59 C．65 D．124 2.已知，，是正整数，，且，则等于(    )． A． B．或 C．1 D．1或13 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 因式分解 1.掌握因式分解的概念； 2.掌握因式分解的方法—提公因式法和公式法. 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 2 因式分解的方法 (1)提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； (2)公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【题型一】 因式分解的概念 相关知识点讲解 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 【例】。 因式分解与整式相乘的关系：. 【典题1】 下列各式从左到右的变形属于分解因式的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分解因式的判断，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．根据分解因式的定义解答即可． 【详解】因为不是将多项式化成整式乘积的形式，所以A不符合题意； 因为是将多项式化成整式乘积的形式，所以B符合题意； 因为不是将多项式化成整式乘积的形式，所以C不符合题意； 因为不是将多项式化成整式乘积的形式，所以D不符合题意． 故选：B． 变式练习 1. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】A．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 2.下列由左到右的变形，属于因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．对A、B、C、D四个选项进行求解即可． 【详解】解：A、，从左到右是整式相乘，故A错误； B、，符合因式分解的定义，故B正确； C、，右边式子不是乘积的形式，故C错误； D、，右边式子不是乘积的形式，故D错误． 故选：B． 3.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是．(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的判断．熟练掌握因式分解的定义，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，不是因式分解，不符合题意； 故选C． 【题型二】 因式分解方法1--提公因式法 相关知识点讲解 提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； 【例】 . 【典题1】 下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 【典题2】把分解因式(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，特别注意因式分解必须彻底． 变式练习 1. 多项式的公因式是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式， 本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵各项系数2、6的最大公约数是2，各项都含有的字母是x与y，x的最低指数是1，y的最低指数是1， ∴该多项式的公因式为：， 故选：． 2.多项式分解因式时，应提取的公因式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【详解】 解： ， 故选B． 3.下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 4.已知，，则代数式的值(    ) A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用等知识点，先由因式分解的方法将变形得，再将已知条件代入即可得解，熟练掌握代数式的恒等变形是解决此题的关键． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 故选：B． 5.把多项式分解因式正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解． 【点睛】解：． 故选：C 6.若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为6，则的值为(    ) A．14 B．16 C．20 D．30 【答案】D 【分析】本题考查整式的运用．根据题意可得，进而代入进行运算即可求值． 【详解】解：长和宽分别为的长方形的周长为10，面积为6， ． 故选：D． 【题型三】 因式分解方法2—公式法 相关知识点讲解 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【例】 ，. 【典题1】 下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 【典题2】下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，根据因式分解的方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A正确，符合题意； B．无法分解因式，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：A． 【典题3】对任意整数，都能(  ) A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】∵， ∴故一定能被4整除， 故选B． 变式练习 1. 下列各式能用平方差公式进行因式分解的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 2.下列多项式中，能用公式法分解因式的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式． 【详解】解： A选项，式子中单项式有三项，且平方项符号相同，满足完全平方公式分解因式形式，故选项正确； B选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误； C选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误； D选项，式子中单项式有两项，且含有相同的字母，应用提取公因式法分解因式，故选项错误； 故选：A ． 3.因式分解的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式．据此即可解答． 【详解】解： ， 故选：B． 4.下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握公式法和提取公因式法成为解题的关键． 根据公式法和提取公因式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；     B. ，故该选项错误，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意； D. 故该选项错误，不符合题意． 故选C． 5.已知，那么代数式的值是(    ) A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值和平方差公式，注意整体代入思想的渗透．把看做一个整体，把代数式用平方差公式变形后，代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 6.已知，则的值是(　　) A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，可得，，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故选D 7.已知a，b，c分别是的三边长，若，则是(    )． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，根据，可推出，由三角形三边的关系可得，则，即，则是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c分别是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 8.已知，则按此规律推算的结果一定能(    ) A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【题型四】 其他因式分解的方法 【典题1】 材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解．看懂和理解题例是解决本题的关键． (1)根据题干提供的信息直接进行因式分解即可； (2)令，利用材料2的方法，进行因式分解即可； (3)设，把原多项式换元后因式分解，再代入即可． 【详解】(1)解： ． (2)解：设， 则原式 ． (3)解：， 则 ， ． 变式练习 1. 因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．利用十字相乘法分解后再用平方差公式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 2.【方法阅读】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式x2﹣4y2+2x+4y．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1：x2﹣4y2+2x+4y ＝(x2﹣4y2)﹣(2x﹣4y)分成两组 ＝(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)分别分解 ＝(x﹣2y)(x+2y﹣2)提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【数学思考】 (1)关于以上方法中“分组”，在以下说法中所有正确的序号是 　 　． ①分组后组内能出现公因式； ②分组后组内能运用公式； ③分组后组间能继续分解． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ ①x2﹣y2+x+y＝　 ． ②2a+a2﹣2b﹣2ab+b2＝　 　． 【问题解决】 (3)利用分组分解法进行因式分解：4x2+4x﹣y2+1． 【答案】(1) ①②③；(2) ①(x2﹣y2)+(x+y)，②(a﹣b)(2+a﹣b)；(3) (2x+y+1)(2x﹣y+1)． 【详解】解：(1)根据分组分解法的分组原则可知，分组必须是因式分解先能在组内进行，然后是因式分解在组间进行， 所以①②③均符合题意， 故答案为：①②③； (2)由分组分解法的分组原则可得， ①x2﹣y2+x+y＝(x2﹣y2)+(x+y)， 故答案为：(x2﹣y2)+(x+y)， ②2a+a2﹣2b﹣2ab+b2＝(2a﹣2b)+(a2﹣2ab+b2)＝2(a﹣b)+(a﹣b)2＝(a﹣b)(2+a﹣b)， 故答案为：(a﹣b)(2+a﹣b)； (3)4x2+4x﹣y2+1＝(4x2+4x+1)﹣y2＝(2x+1)2﹣y2＝(2x+y+1)(2x﹣y+1)． 3.阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法(如图)． 第一步：二次项2x2＝x•2x； 第二步：常数项﹣3＝﹣1×3＝1×(﹣3)，画“十字图”验算“交叉相乘之和”； 第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项﹣x．即2x2﹣x﹣3＝(x+1)(2x﹣3)； 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝　 　； (2)若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值． 【答案】(1) (x﹣2)(x+1)；(2) 16，8，﹣8，﹣16.． 【详解】解：(1)将多项式因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝(x﹣2)(x+1) (2)根据画好的“十字图”， 求出p的所有可能值：16，8，﹣8，﹣16. 4.如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：(______)(______)． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： (______)(______)(提示：提公因式)(______)(______)． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；(1)；(2) 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； (1)仿照题意分解因式即可； (2)把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； (1) ； (2) ． 【A组---基础题】 1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫多项式的因式分解，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、从左到右是添括号，不是因式分解，不符合题意； B、从左到右不是因式分解，不符合题意； C、从左到右是因式分解，符合题意； D、从左到右不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2.下列多项式中，能分解因式的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．由题意根据分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能分解因式，故A错误； B. ，不能分解因式，故B错误； C. ，不能分解因式，故C错误； D. ，故D正确； 故选：D． 3.下列因式分解正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．根据完全平方公式和平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项正确； C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误； D、，故该选项错误； 故选：B． 4.如果，，则的值是(　　) A．30 B． C．11 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用．原式利用提公因式法变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 5.已知，，则的值为(    ) A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，因式分解的应用．先提内参因式，再运用完全平方式因式分解将为，再整理体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：D． 6.若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代入求值，先把变形为，然后整体代入解题即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 7.因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8.阅读理解 我们知道：多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法： a2+6a+8＝(a+3)2﹣1＝(a+2)(a+4)． 请仿照上面的方法，将下列各式因式分解： (1)x2﹣6x﹣27；(2)a2+3a﹣28；(3)x2﹣(2n+1)x+n2+n． 【答案】(1) (x+3)(x﹣9)；(2) ；(3) ． 【详解】解：(1)x2﹣6x﹣27＝x2﹣6x+9﹣36＝(x﹣3)2﹣62＝(x﹣3﹣6)(x﹣3+6)＝(x+3)(x﹣9)； (2) ， ； (3) ， ． 9.阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由(x+p)(x+q)＝x2+(p+q)x+pq得，x2+(p+q)x+pq＝(x+p)(x+q)； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：将式子x2+5x+6分解因式． 分析：这个式子的常数项6＝2×3，一次项系数5＝2+3，所以x2+5x+6＝x2+(2+3)x+2×3． 解：x2+5x+6＝(x+2)(x+3)． 请依照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x2+7x+12； (2)分解因式：(x2﹣3)2+(x2﹣3)﹣2； (3)若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，请写出整数p(非0)的所有可能的值． 【答案】(1) (x+3)(x+4)；(2)(x+2)(x﹣2)(x+1)(x﹣1)；(3) ﹣2、2、7、﹣7． 【详解】解：(1)x2+7x+12＝(x+3)(x+4)； (2)(x2﹣3)2+(x2﹣3)﹣2＝(x2﹣3﹣1)(x2﹣3+2)＝(x2﹣4)(x2﹣1) ＝(x+2)(x﹣2)(x+1)(x﹣1)； (3)①(x﹣8)(x+1)＝x2﹣7x﹣8； ②(x+8)(x﹣1)＝x2+7x﹣8； ③(x+4)(x﹣2)＝x2+2x﹣8； ④(x﹣4)(x+2)＝x2﹣2x﹣8； 综上所述：整数p的所有可能的值为：﹣2、2、7、﹣7． 【B组---提高题】 1.已知是整数，若是正整数，则的最小值是(   ) A．31 B．59 C．65 D．124 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，算术平方根，将变形为，根据是整数，可得，其中a为大于1的正整数，由此可解． 【详解】解： 是整数， 是平方数， 是正整数， ，a为大于1的正整数， 当时，n取最小值， ， 解得， 故选B． 2.已知，，是正整数，，且，则等于(    )． A． B．或 C．1 D．1或13 【答案】D 【分析】 根据因式分解的分组分解法，，再根据，，是正整数，，即可得出的值． 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，是正整数，， ∴或13，或1． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$