预习课第10讲 等腰三角形-2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第10讲 等腰三角形 1.掌握等腰三角形的定义和性质； 2.掌握等腰三角形的判定； 1 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). 2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 【题型一】 等腰三角形的性质及其应用 相关知识点讲解 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； 如下图，在中，，则. (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). ① 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ② 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ③ 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且. (均可用全等三角形证明) 角度1 等边对等角 【典题1】 如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．那么等于(　　) A．80° B．60° C．40° D．30° 变式练习 1. 在中，，若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 2.如图，直线，直线l分别交直线a、b于A、B两点．点C在直线b上，且，若，则的度数为(   )    A． B． C． D． 3.如图，在正五边形中，的平分线交于点F，连接，则的度数为(    ) A． B． C． D． 角度2 三线合一 【典题1】 如图，中，，且垂直平分，交．于点F，交于点E，若周长为16，，则为(    )    A．5 B．8 C．9 D．10 变式练习 1.如图，在中，，，若，则的长是(　 ) A．2 B．4 C． D．8 2.如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是(   ) A． B． C． D． 3.如图，在中，，是边上的中线，且，则(　　) A． B． C． D． 4.如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的中点，M为线段上一动点，则的周长最短为(　　) A． B． C． D． 5.如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型二】 等腰三角形的判定 相关知识点讲解 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 如下图，在中，，则. (均用全等三角形证明) 【典题1】 如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，则的周长为(    ) A．9 B．11 C．12 D．13 【典题2】 如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 变式练习 1. 如图，上午10时，一条船从海岛出发，以(海里/时，)的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为(    )    A．12海里 B．24海里 C．20海里 D．36海里 2.如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    ) A． B． C． D． 3.如图，将一张长方形纸片按图中所示的方式进行折叠，若，，，则重叠部分的面积是(    ) A．6 B．7.5 C．10 D．20 4.已知：如图，在中，，点在边上，若，，，则等于(    ) A．3 B．4 C． D．6 5.在中，，，为的中点，D为线段AM上的动点(不与点，重合)，过点作，且，连接． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)当位于图2位置时，连接，过点作，交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【A组---基础题】 1.如图，，点E为直线上方一点，连接，，．若，，，则的度数是(　　) A． B． C． D． 2.如图，在中，和分别是，的平分线，，与交于点，若，，则的长为(    )    A．4 B． C．3 D． 3.如图，中，，其中点D为的中点，若，，则阴影部分的面积是(    )    A．56 B．28 C．14 D．无法确定 4.如图，在中，，，平分交于，于，若，则的长等于(    )    A． B． C． D． 5.如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是(    ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6.如图，在中，点D是边上的一点．若，，则的度数为 ． 7.如图，将沿直线向右平移，得到，若，，C为的中点，连接，则的度数为 ． 8.如图，在中，，，，，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．    9.如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 10.如图，，，，、交于点，，平分，交于点，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【B组---提高题】 1.如图，在五边形中，，点F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2.已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点F． (1)如图1，当时 ①请直接写出与的数量关系： 　　(填“＞”、“＜”、“＝”) ②求证： (2)如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等腰三角形 1.掌握等腰三角形的定义和性质； 2.掌握等腰三角形的判定； 1 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). 2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 【题型一】 等腰三角形的性质及其应用 相关知识点讲解 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； 如下图，在中，，则. (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). ① 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ② 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ③ 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且. (均可用全等三角形证明) 角度1 等边对等角 【典题1】 如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．那么等于(　　) A．80° B．60° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质与三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质与三角形外角的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，，再根据，得到，利用等边对等角与外角的性质得出结论即可． 【详解】解：根据折叠的性质可得，． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴； 故选：C． 变式练习 1. 在中，，若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：A． 2.如图，直线，直线l分别交直线a、b于A、B两点．点C在直线b上，且，若，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质求出，再根据对顶角性质求解即可． 【详解】解：如图，   ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 3.如图，在正五边形中，的平分线交于点F，连接，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，等腰三角形的性质，结合已知条件求得，的度数是解题的关键．利用多边形的内角和及正多边形的性质可得，的度数，，然后利用等边对等角，结合三角形内角和求得的度数，再根据角平分线定义求得，最后利用角的和差计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 角度2 三线合一 【典题1】 如图，中，，且垂直平分，交．于点F，交于点E，若周长为16，，则为(    )    A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 故选：A． 变式练习 1.如图，在中，，，若，则的长是(　 ) A．2 B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，为底边上的高， ∴平分，为边上的中线. ∵， ∴， 故选：B. 2.如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，依据三角形内角和定理，即可得到的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 3.如图，在中，，是边上的中线，且，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由等边对等角得到，同理得到，再由三线合一定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∴， 故选：C． 4.如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的中点，M为线段上一动点，则的周长最短为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，轴对称—最短路径问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 是等腰三角形，点D是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：D． 5.如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及三角形内角和： (1)连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； (2)由三角形的外角的性质，，在中，利用三角形内角和即可求解； 熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】(1)证明：连接， 垂直平分， ， ， ， 是的中点， ． (2)， ， ∴由三角形的外角的性质，， ， ， 在中，， ， ． 【题型二】 等腰三角形的判定 相关知识点讲解 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 如下图，在中，，则. (均用全等三角形证明) 【典题1】 如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，则的周长为(    ) A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行结合角平分线，推出，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵和的平分线相交于点D， ∴， ∵过点D作的平行线交于点E，交于点F， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 【典题2】 如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟记等角对等边是解本题的关键； (1)证明可得，结合可得结论； (2)设， 可得，，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴为等腰三角形． (2)解：设， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 变式练习 1. 如图，上午10时，一条船从海岛出发，以(海里/时，)的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为(    )    A．12海里 B．24海里 C．20海里 D．36海里 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，方位角的含义，掌握等角对等边是解题的关键．先求得的长，证明，即可证得，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：(海里)， ∵，， ∴， ∴， ∴海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是24海里． 故选：B． 2.如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知，平分，垂直平分运用垂直平分线性质，三角形内角和定理等角对等边性质求解即可． 【详解】由图知，平分，垂直平分 ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，， 中， ∴ ∴，故B项正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴，故C项正确，不符合题意； ∴ ∴，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作角平分线和中垂线，三角形内角和定理，中垂线定理，角平分线定义，等角对等边性质，熟悉相关定理是解题的关键． 3.如图，将一张长方形纸片按图中所示的方式进行折叠，若，，，则重叠部分的面积是(    ) A．6 B．7.5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题考查折叠性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，证明即可求解． 【详解】解：由折叠性质得， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴重叠部分的面积是， 故选：C． 4.已知：如图，在中，，点在边上，若，，，则等于(    ) A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，推出，根据得到，再证明，根据全等三角形的性质得到，由，即可得到结论． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 在与中， ， ∴， ，， ∵， ， 故选：B． 5.在中，，，为的中点，D为线段AM上的动点(不与点，重合)，过点作，且，连接． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)当位于图2位置时，连接，过点作，交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质推得，即可证明； (2)连接，，根据等腰三角形的判定和性质得出，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据四边形内角和求出，根据等角的补角相等可得，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】(1)证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点． (2)． 证明：如图，连接，． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，，，为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵在四边形中，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵DE⊥AF， ∴为的中点， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理，等角的补角相等，等角对等边等，作出辅助线证明是解题的关键． 【A组---基础题】 1.如图，，点E为直线上方一点，连接，，．若，，，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握等边对等角、利用平行线的性质计算几何图中角度． 由两直线平行同旁内角互补得出，由等边对等角求出，再由，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2.如图，在中，和分别是，的平分线，，与交于点，若，，则的长为(    )    A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边定理，根据平行线的性质及角平分线的性质可得，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， ，， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ，， ，， ， 故选D． 3.如图，中，，其中点D为的中点，若，，则阴影部分的面积是(    )    A．56 B．28 C．14 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，先由三线合一定理得到，再证明，推出，则． 【详解】解：∵，其中点D为的中点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4.如图，在中，，，平分交于，于，若，则的长等于(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的平分线性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了角的平分线性质定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】∵，平分，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴， 故选C． 5.如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是(    ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质；根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质判断①；根据题意可得，但，即可判断②，根据垂直平分线的性质即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：① 是的角平分线，， ，选项①正确； ② ，， ． ， ． ，选项②正确． ③ ，， 垂直平分，选项③正确． ④ ，， ． 又 ， ，选项④正确． 综上，①②③④正确． 故选：D． 6.如图，在中，点D是边上的一点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边等对角以及三角形的内角和性质、外角性质，先得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且 ∴ 即 故答案为：． 7.如图，将沿直线向右平移，得到，若，，C为的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质可得；由平移的性质得，由等腰三角形的性质得，由互余关系即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵沿直线向右平移，得到， ∴， ∴； ∵C为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 8.如图，在中，，，，，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键． 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：如图，连接BP，过点作于点，交于点   ，是边上的高， 垂直平分， ， ∴， ∴则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ， ． 故答案为：9.6． 9.如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： (1)先由等腰直角三角形的性质得到，进而根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则； (2)先由三线合一定理得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】(1)解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10.如图，，，，、交于点，，平分，交于点，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键． (1)根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，根据及得出，即可得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得答案； (2)根据，通过等量代换即可得答案； (3)过点作于点，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得结论． 【详解】(1)解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2)证明：由(1)得，， ∵， ∴； (3)证明：如图，过点作于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【B组---提高题】 1.如图，在五边形中，，点F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、多边形的内角和，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． (1)延长到点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证； (2)先求出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】(1)证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． (2)解：， ， ， ， ， 由(1)已证：， ， ， 又， ． 2.已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点F． (1)如图1，当时 ①请直接写出与的数量关系： 　　(填“＞”、“＜”、“＝”) ②求证： (2)如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①＝；②证明见解答 (2)成立，证明见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1)①根据证，即可得出； ②根据等腰三角形的性质得出，，再根据证，得出，即可得证结论； (2)作于点，作交的延长线于点，根据证，再根据证，同理证，根据线段的等量关系即可得出结论． 【详解】(1)解：①，，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． ②证明：，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (2)解：成立，证明如下： 作于点，作交的延长线于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 即，． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$