预习课第12讲 最短路径问题 -2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第12讲 最短路径问题 1.了解最短路径问题的模型，理解该模型的原理； 2.会利用最短路径模型求解最值. 1 将军饮马 如下图，点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 作法 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点. 简证 ，， 因为，所以，所以点为所求点. 2 变形模型 (1)如下图，点，在直线的异侧，在直线上取一点，使得最小. 直接连接，交直线于点，此时最小. (2)如下图，点是内的一点，分别在，上做点，，使得的周长最小. 作点关于，的对称点,,连接，交，于点，，此时的周长最小. 【题型一】 将军模型及其应用 【典题1】 如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为(    ) A．不断变大 B．不断变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【典题2】 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？(    )      A．4 B．6 C．8 D．10 变式练习 1. 如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是(    ) A．B．C．D． 2.如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，，．则的周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 3.如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是(　　)    A．12 B．6 C．7 D．8 4.如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是(    ) A．2.4 B．3 C．4 D． 5.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． (1)若，则的度数是___________度； (2)若．的周长是， ①求的长度； ②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【题型二】 将军模型的变形 【典题1】 如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为(    )    A． B． C． D． 【典题2】已知点P在∠MON内． (1)如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON=50°，则∠GOH=______； ②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10； (2)如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 变式练习 1.如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为(   )    A． B． C． D． 2.如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 3.如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为(    ) A． B． C． D． 4.如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是(　　) A． B． C． D． 5.(1)如图1，在直线AB的同一侧有两点C，D，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点． (2)如图2，在∠AOB内部有一点P，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点． (3)如图3，在∠AOB内部有两点M，N，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，M，N四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点．(显示找点的过程) 【A组---基础题】 1.如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是(    ) A． B．C． D． 2.如图所示，已知六边形是正六边形，G，H分别是和的中点，P是上的动点，连接，，则的最小值等于(    ) A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段长度的两倍 D．线段的长度 3.如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为(   ) A．4 B． C． D．16 4.如图，四边形中，，在、上分别找一点，使周长最小时，则的度数为(   ) A． B． C． D． 5.如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 6.如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 7.如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．(只需作图保留作图痕迹) 8.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)在直线l上找一点P，使的值最小； (3)在直线l上找一点Q，使的值最大； (4)若是以为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上，这样的点M共有______个． 【B组---提高题】 1.如图，在边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 2.如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是(   ) A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 最短路径问题 1.了解最短路径问题的模型，理解该模型的原理； 2.会利用最短路径模型求解最值. 1 将军饮马 如下图，点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 作法 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点. 简证 ，， 因为，所以，所以点为所求点. 2 变形模型 (1)如下图，点，在直线的异侧，在直线上取一点，使得最小. 直接连接，交直线于点，此时最小. (2)如下图，点是内的一点，分别在，上做点，，使得的周长最小. 作点关于，的对称点,,连接，交，于点，，此时的周长最小. 【题型一】 将军模型及其应用 【典题1】 如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为(    ) A．不断变大 B．不断变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】C 【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，当点O运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论． 【详解】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O， ∵两点之间线段最短，且PQ为定值， ∴当点O运动到此点时三角形的周长最短， ∴这些三角形的周长变化为先变小再变大． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 【典题2】 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？(    )      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点B，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，．      是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点A关于直线的对称点为点B，， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 变式练习 1. 如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 2.如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，，．则的周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BE，依据是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC． 【详解】如图，连接BE， ∵点D是AB边的中点， l⊥AB， ∴l是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴AE+CE=BE+CE， ∵BE+CE≥BC， ∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变， ∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 3.如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是(　　)    A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小． 【详解】解：∵垂直平分， ∴点B，C关于对称． ∴当点P和点D重合时，的值最小． 此时， ∵， 周长的最小值是， 故选：C． 4.如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是(    ) A．2.4 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值． 【详解】解：过点作于，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∵中，，，， ∵， ∴， ∴，即的最小值是 故选D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和． 5.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． (1)若，则的度数是___________度； (2)若．的周长是， ①求的长度； ②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解； (2)①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值． 【详解】(1)解：， ， ， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ． (2)①， 的周长是， 即 ， ， ， ． ∴的长度为． ②当P与M重合时，的周长最小． 理由：∵，， ∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 【题型二】 将军模型的变形 【典题1】 如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可． 【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，    ∵， ∴、垂直平分、， 连接交、于点、， 则，， ∴，这时的周长最小， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 【典题2】已知点P在∠MON内． (1)如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON=50°，则∠GOH=______； ②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10； (2)如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【答案】(1)①100°；②当时，；(2) 【分析】(1)①根据对称性可得，即可得到OM平分，ON平分，进而得出∠GOH的值； ②当时，，此时在同一直线上，可得； (2)设点P关于OM、ON对称点分别为，当点A、B在上时，PAB周长的最小，根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】解：(1)①关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H， ， 平分， 同理得，ON平分， ， 故答案为：100°； ②O=5， 当时， 在同一直线上， ； (2)如图，分别作点P关于OM、ON的对称点，连接交于点A、B，连接PA，PB， 则AP=，此时PAB周长的最小值等于的长， 由对称性可得， 同理可得 ． 【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题，涉及角平分线性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 变式练习 1. 如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知与的交点为E，与的交点为F，根据垂直平分线的性质计算即可； 【详解】由题意可知与的交点为E，与的交点为F． ∵分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴小蚂蚁爬行的最短路径为． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题和垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键． 2.如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 3.如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， ∴，， ∴，， 则即为的周长最小值， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 4.如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5.(1)如图1，在直线AB的同一侧有两点C，D，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点． (2)如图2，在∠AOB内部有一点P，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点． (3)如图3，在∠AOB内部有两点M，N，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，M，N四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点．(显示找点的过程) 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【分析】(1)由于的周长，而是定值，故只需在直线上找一点，使最小．如果设关于直线的对称点为，使最小就是使最小； (2)作关于、的对称点、，连接角、于、．此时周长有最小值； (3)如图3，作关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，此时使得、、、，四点组成的四边形的周长最短． 【详解】解：(1)如图1，作关于直线的对称点， 连接交于点． 则点就是所要求作的点． 理由：在上取不同于的点，连接、、． 和关于直线对称， ，， 而， 即周长小于周长； (2)如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，连接，，则点，就是所要求作的点， 理由：在，上取不同于，的点，，连接、、、，， 和关于直线对称，和关于直线对称， ，，，， ，， ， ； (3)如图3，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于，于，则点，就是所要求作的点．连接，． 理由：在，上取不同于，的点，，连接、，， 和关于直线对称， ，，，， 由(2)得知． 【点睛】本题主要考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是根据已知得出对称点的位置． 【A组---基础题】 1.如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是(    ) A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 2.如图所示，已知六边形是正六边形，G，H分别是和的中点，P是上的动点，连接，，则的最小值等于(    ) A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段长度的两倍 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短距离问题，根据轴对称找到对称点连接对称点与另一点连线直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵正六边形关于直线对称， ∴点A关于的对称点是F，连接，交于点P，根据两点之间，线段最短可得此时的值最小， 又∵， ∴的最小值等于线段的长度， 故选：B． 3.如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为(   ) A．4 B． C． D．16 【答案】B 【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质． 【详解】如图： 连接交于点M， ∵等腰的底边长为3，点D为边的中点， ∴， ∵是腰的垂直平分线，连接， ∴， 此时的周长为： 的长为固定， ∴根据两点之间线段最短，的周长最小． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4.如图，四边形中，，在、上分别找一点，使周长最小时，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案． 【详解】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．， ∵∠DAB=120°， ∴∠AA′M+∠A″=180°−120°=60°， ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°， 故选C. 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线. 5.如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵点和点在直线的同旁， ∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6.如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 是等边三角形， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为5． 故答案为：5． 7.如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．(只需作图保留作图痕迹) 【答案】(1)作图见详解 (2)，， (3)作图见详解 【分析】(1)根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，分别求出的坐标，连接各点即可求解； (2)根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； (3)根据对称求最短路径的方法即可求解． 【详解】(1)解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接，    ∴即为所求图形． (2)解：由(1)可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． (3)解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点，    ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 8.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)在直线l上找一点P，使的值最小； (3)在直线l上找一点Q，使的值最大； (4)若是以为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上，这样的点M共有______个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)4 【分析】(1)分别作各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可； (2)连接交直线l于点P，连接，点P即为所求； (3)延长交直线l于Q，于是得到结论； (4)根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】(1)解：分别作点关于直线l得对称点，并顺次连接，得，则即为所求； (2)解：连接交直线l于点P，连接， 两点关于直线l对称， ， ， 根据两点之间，线段最短，此时的值最小， 故点P即为所求； (3)解：延长交直线l于Q， 点B、D关于直线l对称， ， ， 当点在同一直线上时，的值最大， 故点Q即为所求； (4)解：当时，分点M在直线l两侧两种情况； 当时，分点M在点C左右两侧两种情况；如下图： 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． 【B组---提高题】 1.如图，在边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小． 2.如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是(   ) A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】 解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$