预习课第15讲 乘法公式-2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第15讲 乘法公式 1.掌握平方差公式及其应用； 2.掌握完全平方公式及其应用； 1 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. (2)拓展 ，. 3 添括号 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 【题型一】 平方差公式的适用条件 相关知识点讲解 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 证明 . 【例】；. 【典题1】 下列各式中，不能用平方差公式计算的(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.下列各式能用平方差公式计算的是(     ) A． B． C． D． 2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 【题型二】 应用平方差公式计算 【典题1】 计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【典题2】先化简，再求值：，其中． 变式练习 1. 计算的结果是(   ) A． B． C． D． 2.化简的结果是(     ) A． B． C． D． 3.对于任意的整数n，能整除代数式的整数是(　　) A．4 B．3 C． D．2 4.计算(       ) A． B．1 C．0 D．2 5.若，，则(    ) A．3 B．4 C．12 D．36 6.先化简，再求值：，其中． 【题型三】 完全平方公式的适用条件 相关知识点讲解 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. 证明 ， . 【例】； 。 (2)拓展 ，. 【典题1】 下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 计算：(　　) A． B． C． D． 2.下列各式利用完全平方公式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 3.下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【题型四】 完全平方公式的应用 【典题1】已知，，下列各式计算结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【典题2】 先化简，再求值：，其中，． 变式练习 1. 已知，，则的值为(    ) A．95 B．190 C．210 D．380 2.已知：，化简的结果是(    ) A．64 B．72 C．56 D．16 3.实数a，b满足，那么的值为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 4.若，，则(    ) A． B．16 C．7 D． 5.先化简，再求值：，其中x，y满足． 【题型五】 综合应用 【典题1】 为进一步推动“双减”工作落地生效，某校立足于“减负、提质、增效”的工作方针，从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置．如图，某校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含a，b的代数式表示绿化部分的面积(结果需化简)； (2)当，时，求绿化部分的面积． 变式练习 1.的最小值是(    ) A． B．0 C．2 D．4 2.如图，正方形和正方形的边长分别为a，b，点E在边上，连接． (1)求的面积(结果用含a，b的代数式表示)； (2)若的面积为，图中两个正方形的面积之和为，求的长． 3.如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)图b中的阴影部分面积为 ； (2)观察图b，请你写出三个代数式之间的等量关系是 ； (3)若，利用(2)提供的等量关系计算的值． 4.用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式之间的数量关系：______． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，求和的值． ②已知，求的值． 【A组---基础题】 1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 2.已知，则a与b的关系一定成立的是(    ) A．a是b的相反数 B．a是的相反数 C．a是b的倒数 D．a是的倒数 3.下列计算正确的是 (     ) A． B． C． D． 4.若，，则等于(     ) A． B． C．1 D．2 5.已知，则的值为(　　) A．6 B．16 C．14 D．18 6.计算： ． 7.已知x2+4x﹣4＝0，则3(x﹣2)2﹣6(x+1)(x﹣1)的值为 　 　． 8.已知a＝12+32+52+…+252，b＝22+42+62+…+242，则a﹣b的值为　 　． 9.先化简，再求值：，其中， 10.已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)图2中的阴影部分面积可表示为 ；(写成多项式乘法的形式) 图3中的阴影部分面积可表示为 ；(写成两数平方的差的形式) (2)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是(    ) A.   B.  C. (3)请利用你得到的等式解决下面的问题：． ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 ． 【B组---提高题】 1.若，则(　　) A．4 B．5 C． D． 2. 的个位数字为(    ) A．1 B．3 C．7 D．9 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 乘法公式 1.掌握平方差公式及其应用； 2.掌握完全平方公式及其应用； 1 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. (2)拓展 ，. 3 添括号 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 【题型一】 平方差公式的适用条件 相关知识点讲解 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 证明 . 【例】；. 【典题1】 下列各式中，不能用平方差公式计算的(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B． ，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D． ，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：B． 变式练习 1.下列各式能用平方差公式计算的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、不能用平方差公式计算，不符合题意； C、能用平方差公式计算，符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：C． 2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、原式，故该选项不符合题意； C、原式，故该选项不符合题意； D、不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D 【题型二】 应用平方差公式计算 【典题1】 计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，牢记公式的结构特点是解题的关键． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【典题2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【分析】此题主要考查了整式的换件求值，．利用单项式乘多项式，平方差公式化简，再合并同类项，最后把已知数据代入求出答案． 【详解】解： 当时，原式． 变式练习 1. 计算的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， 故选：D 2.化简的结果是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 3.对于任意的整数n，能整除代数式的整数是(　　) A．4 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式、数的整除，利用计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解：， 因此能整除代数式的整数是， 故选C． 4.计算(       ) A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ； 故选B 5.若，，则(    ) A．3 B．4 C．12 D．36 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 运用平方差公式代入原式计算即可求出值． 【详解】解：， 故选：C． 6.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【题型三】 完全平方公式的适用条件 相关知识点讲解 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. 证明 ， . 【例】； 。 (2)拓展 ，. 【典题1】 下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式进行计算，即可作出判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式．掌握是解题的关键． 变式练习 1. 计算：(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式展开即可得出结果． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 2.下列各式利用完全平方公式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用完全平方公式判断即可． 【详解】解析：A、原式，故本选项不符合题意； B、原式，故本选项不符合题意； C、原式，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】因为完全平方公式有两个，所以运用完全平方公式计算时要先确定是“和的平方”还是“差的平方”，避免错用公式． 3.下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：A；，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． 【题型四】 完全平方公式的应用 【典题1】已知，，下列各式计算结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活地根据公式进行变形是解此题的关键．把所给的式子进行整理，然后把所给等式代入求值即可． 【详解】解：∵； ∴； ； 故B正确，错误． 故选：B． 【典题2】 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4． 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x、y的值代入计算即可求出值。 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 变式练习 1. 已知，，则的值为(    ) A．95 B．190 C．210 D．380 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的灵活运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 把两式相减即可求出的值． 【详解】解：∵①， ②， ∴得：， 则， 故选A 2.已知：，化简的结果是(    ) A．64 B．72 C．56 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行计算，将变形为，代入计算即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 3.实数a，b满足，那么的值为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键． 利用完全平方公式得到,然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：． 故选 ：B. 4.若，，则(    ) A． B．16 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：，， ． 故选：B． 5.先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】，3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【题型五】 综合应用 【典题1】 为进一步推动“双减”工作落地生效，某校立足于“减负、提质、增效”的工作方针，从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置．如图，某校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含a，b的代数式表示绿化部分的面积(结果需化简)； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)绿化部分的面积为143平方米 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积，求解代数式的值，列出正确的运算式是解本题的关键； (1)由，再列式计算即可； (2)把，代入(1)中化简后的代数式进行计算即可． 【详解】(1)解： 平方米； (2)当，时， (平方米)， 答：绿化部分的面积为143平方米． 变式练习 1.的最小值是(    ) A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式把原式变形是解题关键；根据完全平方公式，把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 的最小值是2． 故选：． 2.如图，正方形和正方形的边长分别为a，b，点E在边上，连接． (1)求的面积(结果用含a，b的代数式表示)； (2)若的面积为，图中两个正方形的面积之和为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式的应用．熟练掌握列代数式，完全平方公式的应用是解题的关键． (1)由题意知，，根据，计算求解即可； (2)由题意知，∵，，则，，根据，计算求解即可． 【详解】(1)解：由题意知，， ∴， ∴的面积为； (2)解：由题意知，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 3.如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)图b中的阴影部分面积为 ； (2)观察图b，请你写出三个代数式之间的等量关系是 ； (3)若，利用(2)提供的等量关系计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，能够运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解题的关键． (1)根据阴影部分的面积正方形的面积个长方形的面积计算即可； (2)根据(1)的结论解答； (3)把已知数据代入(2)的关系式计算即可． 【详解】(1)解：图中的阴影部分面积为： 用大的正方形面积减去长方形的面积等于小正方形面积， 即， 故答案为：； (2)解：大正方形面积与小正方形面积之间的差值等于4个长方形面积， 即大正方形面积＝小正方形面积个长方形面积， ， 故答案为：； (3)解：， 则． 4.用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式之间的数量关系：______． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，求和的值． ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)① ， ；② 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，掌握公式变形是解本题的关键； (1)由等面积法可得公式变形； (2)①由，再代入计算即可；②由，结合，再利用公式可得答案． 【详解】(1)解：由等面积法可得：． (2)①∵， ∴， ． ②∵， ， ∴， 即， 解得． 【A组---基础题】 1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式特点逐项分析即可． 【详解】解：A、由于两个括号中含x项的符号相反，含y项的符号相同，故能使用平方差公式，不符合题意； B、由于两个括号中含x项的符号相同，含y项的符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意； C、由于两个括号中含x项的符号相反，含y项的符号相同，故能使用平方差公式，不符合题意； D、由于两个括号中含x项的符号相反，含y项的符号相反，故不能使用平方差公式，符合题意； 故选：D． 2.已知，则a与b的关系一定成立的是(    ) A．a是b的相反数 B．a是的相反数 C．a是b的倒数 D．a是的倒数 【答案】C 【分析】根据得即，解得即可，本题考查了平方差公式，倒数． 【详解】∵， ∴， ∴，即a是b的倒数． 故选：C． 3.下列计算正确的是 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式以及平方差公式，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项正确，符合题意；     D. ，选项错误，不符合题意． 故选：C 4.若，，则等于(     ) A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，根据，整体代入，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 5.已知，则的值为(　　) A．6 B．16 C．14 D．18 【答案】D 【详解】解：∵，∴，， 故选：D． 6.计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据单项式乘多项式法则、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7.已知x2+4x﹣4＝0，则3(x﹣2)2﹣6(x+1)(x﹣1)的值为 　 　． 【答案】6 【详解】解：3(x﹣2)2﹣6(x+1)(x﹣1)＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6＝﹣3x2﹣12x+18， ∵x2+4x﹣4＝0，∴x2+4x＝4， ∴原式＝﹣3(x2+4x)+18＝﹣3×4+18＝6． 故答案为：6． 8.已知a＝12+32+52+…+252，b＝22+42+62+…+242，则a﹣b的值为　 　． 【答案】325 【详解】解：a﹣b＝12﹣22+32﹣42+52﹣62+…232﹣242+252 ＝1+(32﹣22)+( 52﹣42)+…+(252﹣242) ＝1+(3+2)+(5+4)+…+(25+24) ＝1+2+3+4+5+…+24+25 ＝325。 9.先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将x、y的值代入计算即可得． 【详解】解：原式    将， 代入 原式 10.已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)图2中的阴影部分面积可表示为 ；(写成多项式乘法的形式) 图3中的阴影部分面积可表示为 ；(写成两数平方的差的形式) (2)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是(    ) A.   B.  C. (3)请利用你得到的等式解决下面的问题：． ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 ． 【答案】(1)； (2)B (3)①；②；③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景以及数字的变化规律， (1)根据图形面积计算方法可得答案， (2)由(1)可得等式； (3)①根据平方差公式可得答案； ②根据平方差公式进先计算即可求解； ③根据平方差公式进行计算，进而找到的个位数字的规律，即可求解． 【详解】(1)解：图2中长方形的长为，宽为，因此面积为， 图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 故答案为：； (2)解：由(1)得； 故选：B； (3)解：①因为，所以， 又因为， 所以； 故答案为：． ② ③原式 ＝…… ； 而……，其个位数字，，，，重复出现，而＝，于是、、、经过次循环， 因此的个位数字为， 故答案为：． 【B组---提高题】 1.若，则(　　) A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，平方差公式，利用平方根解方程，令，将原式变形为，结合，可得答案． 【详解】解：令，则原等式变形为：， 整理得， 解得， ， ，即， 故选A． 2. 的个位数字为(    ) A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$