复习课第04讲 与三角形有关的角、多边形内角和 -2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第04讲 与三角形有关的角、多边形内角和 1.掌握三角形的内角和与外角的性质，并会处理一些与之有关角的求值问题； 2.掌握多边形的内角和与外角和，会利用其求解多边形的内角与外角. 1 三角形的内角和 三角形的内角和等于。 2 三角形的外角 三角形的一个外角等于与不相邻的两个内角的和. 3 多边形的内角和 边形的内角和等于. 4 多边形的外角和 多边形的外角和等于. 5镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题属于镶嵌问题. 【题型一】 三角形的内角和外角 【典题1】 如图，在中， ， ，垂足为， 平分．已知，， 则 的度数是(   ) A． B． C． D． 【典题2】如图， ， P为直线 之间 一点，的平分线与邻补角的角平分线所在直线交于点Q，则与之间的关系为(   ) A． B． C． D． 变式练习 1.如图，是的平分线，且，，则(    )． A． B． C． D． 2.如图，在中，，平分，若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 3.有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为( ) A． B． C． D． 4.把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是(    ) A． B． C． D． 5.如图，中，，沿将此三角形对折，交于D，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为(　　) A． B． C． D． 【题型二】 多边形内角和与外角和 【典题1】 如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为(      )    A． B． C． D． 变式练习 1.一个多边形的内角和与外角和之和是，则这个多边形的边数是(    ) A．12 B．10 C．8 D．6 2.一个六边形如图所示．已知．若，则的值为(    ) A． B． C． D． 3.把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为(    ) A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10 4.小马虎计算一个多边形的内角和为，老师看后说：错了，他自己检查了一下，原来把一个内角多加了一次，这个多边形的边数为(    ) A．9 B．11 C．12 D．11或12 【题型三】 正多边形的角度计算 【典题1】 如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于(    ) A． B． C． D． 【典题2】用两种边长相等的正多边形地砖无缝隙不重叠的铺设地面，能够选择的组合是(    ) A．正六边形，正八边形 B．正方形，正六边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形 变式练习 1. 若一个n边形的每个外角都相等，且它的一个外角等于，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 2.分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有(    ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3.小张在操场从原地右转前行至十米的地方，再右转前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了(    ) A．80米 B．90米 C．100米 D．120米 4.如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走(    ) A．360米 B．480米 C．540米 D．600米 5.已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的倍多，求这个多边形对角线的总条数． 【题型四】 综合性问题 【典题1】 四边形中，的角平分线与边交于点，的角平分线交直线于点． (1)若点在四边形的内部， 如图，若，，，则 ； 如图，试探索之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． (2)如图，若点在四边形的外部，请你直接写出之间的数量关系． 变式练习 1. 如图的七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数是(　　)      A． B． C． D． 2.如图所示，为(   ) A． B． C． D． 3.(1)如图①所示，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系(直接写出结论)． (2)②示，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系(写出说理过程)． (3)若将(2)中的四边形改为六边形(如图③所示)，请直接写出与的数量关系． 【A组---基础题】 1.如图，在中，，，是的一条角平分线，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2.如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是(    )．    A． B． C． D． 3.一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 (    ) A．7 B．10 C．14 D．15 4.一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是(    ) A． B． C． D．以上都有可能 5.如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为(    ) A． B． C．或 D．或 6.已知一个正n边形的每个内角都为，则 ． 7.如图，一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点P，F为焦点．若，则的度数为 ． 8.如图，一张长方形纸片，点，在边上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，此时测得，则 度. 9.按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 10.已知，，点、分别在、上，且点为射线上一点． (1)如图1：当点在线段上时，连接，易得． 小明给出的理由是： 如图1，过点作， ，，(平行于同一条直线的两条直线互相平行) (依据1) ；(依据2) 根据小明给出的证明填空：依据1：_______________；依据2：_______________； (2)如图2，当点在延长线上时，求证：； (3)如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【B组---提高题】 1.如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点，点为延长线上一动点，连接，的平分线与的平分线交于点，设．下列结论正确的是(    ) A． B． C．的值为定值 D．的值为定值 2.如图，，则 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 与三角形有关的角、多边形内角和 1.掌握三角形的内角和与外角的性质，并会处理一些与之有关角的求值问题； 2.掌握多边形的内角和与外角和，会利用其求解多边形的内角与外角. 1 三角形的内角和 三角形的内角和等于。 2 三角形的外角 三角形的一个外角等于与不相邻的两个内角的和. 3 多边形的内角和 边形的内角和等于. 4 多边形的外角和 多边形的外角和等于. 5镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题属于镶嵌问题. 【题型一】 三角形的内角和外角 【典题1】 如图，在中， ， ，垂足为， 平分．已知，， 则 的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线，三角形内角和定理，垂直的定义，根据三角形内角和定理，角平分线以及垂直的定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 【典题2】如图， ， P为直线 之间 一点，的平分线与邻补角的角平分线所在直线交于点Q，则与之间的关系为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； 过点P作，利用猪脚模型可得∶ ，再利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而利用等量代换进行计算，即可解答． 【详解】如图∶过点P作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故选：D． 变式练习 1.如图，是的平分线，且，，则(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线等知识点，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，进而得出结论，熟知三角形内角和是是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：B． 2.如图，在中，，平分，若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高的相关知识，由平分，可得，由，可求得的度数，在直角三角形中再利用两锐角互余可求得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 中，． 故选：B． 3.有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得,结合题意计算选择即可，本题考查了三角形外角性质，直角三角形的特征，熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】根据题意，得, ∵， ∴， ∴， 故选B． 4.把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三年级内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出、，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， 故选C． 5.如图，中，，沿将此三角形对折，交于D，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则20°+2∠3+108°=180°，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 【题型二】 多边形内角和与外角和 【典题1】 如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为(      )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键． 过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点B作交于点F，    又 ， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ， 故选：C 变式练习 1.一个多边形的内角和与外角和之和是，则这个多边形的边数是(    ) A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意，得，计算即可，本题考查了多边形的内角和和外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选B． 2.一个六边形如图所示．已知．若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质及多边形内角和求解即可，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ， 即， 同理，，， ， ， ，， ， 故选：A． 3.把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为(    ) A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10 【答案】D 【分析】设这个多边形原来的边数为n，然后根据多边形的内角和公式进行分类讨论即可①当剪掉一个角后多一个角时，②当剪掉一个角后角的数量不变时，③当剪掉一个角后少一个角时． 【详解】解：设这个多边形原来的边数为n， ①当剪掉一个角后多一个角时，此时有条边， ， 解得：， ②当剪掉一个角后角的数量不变时，此时有n条边， ， 解得：， ③当剪掉一个角后少一个角时，此时有条边， ， 解得：， 综上：这个多边形原来的边数为8或9或10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，以及多边形截取一个角可能多一个角，少一个角，角的数量不变 ． 4.小马虎计算一个多边形的内角和为，老师看后说：错了，他自己检查了一下，原来把一个内角多加了一次，这个多边形的边数为(    ) A．9 B．11 C．12 D．11或12 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和定理，关键是掌握多边形内角和计算公式且n为整数)．设这个多边形的边数为n，列不等式组即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得 ∴， 故选：B． 【题型三】 正多边形的角度计算 【典题1】 如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，求出，根据多边形是正多边形，求出多边形的一个外角的度数，即可求出多边形一个内角的度数． 【详解】设这个多边形是n边形， ∵多边形的内角和为， ∴， 解得：， ∵这个多边形的每一个外角都相等， ∴这个多边形是正多边形， ∴多边形的外角为：， ∴多边形的一个内角为：． 故选：C 【点睛】本题考查正多边形的内角和与多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 【典题2】用两种边长相等的正多边形地砖无缝隙不重叠的铺设地面，能够选择的组合是(    ) A．正六边形，正八边形 B．正方形，正六边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形 【答案】D 【分析】此题考查正多边形，镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、正六边形形的每个内角是，正八形的每个内角是， ，不能铺满，该选项不符合题意； B、正方形的每个内角是，正六边形每个内角，，不能铺满，该选项不符合题意； C、正五边形每个内角，正六边形每个内角，，不能铺满，该选项不符合题意； D、正三角形的每个内角是，正方形每个内角，，能铺满，该选项符合题意； 故选：D． 变式练习 1. 若一个n边形的每个外角都相等，且它的一个外角等于，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了多外角和边形的为，正确理解多边形外角和定理是解题的关键． 根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和为，一个外角， ∴多边形得到边数， ∴该多边形是八边形，即． 故选A． 2.分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有(    ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌问题，用一种正多边形镶嵌，分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断，只有正三角形， 正四边形， 正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 【详解】解：①正三角形的每个内角是能整除能密铺，故符合题意； ②正五边形每个内角是 不能整除不能密铺，故不符合题意； ③正六边形的每个内角是能整除能密铺，故符合题意； ④正八边形的每个内角是不能整除不能密铺，故不符合题意； ∴能镶嵌成一个平面的图案共有种， 故选：． 3.小张在操场从原地右转前行至十米的地方，再右转前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了(    ) A．80米 B．90米 C．100米 D．120米 【答案】D 【分析】根据每次右转前进10米，推出回到原地他所走的路经是一个正多边形．而这个就是多边形的一个外角．根据外角和定理可以确定多边形的边数． 【详解】∵每次右转前行10米，周而复始． ∴当他回到原地时所走的路经是一个正多边形． ∵正多边形外角和为， ∴多边形的边数为：， ∴所走路经是一个正十二边形．12边之和为：(米)． 故选：D．    【点睛】此题考查多边形的外角和公式，利用多边形的外角和求多边形的边数，熟记多边形的外角和是解题的关键． 4.如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走(    ) A．360米 B．480米 C．540米 D．600米 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外角和的应用，解题的关键是理解得到小明所走的图形是多边形，正多边形外角和是． 【详解】解：由题意可得，图形是一个正多边形， 每次前进40米后向右转， ，即图形是正12多边形， (米)， 他第一次回到出发点O时一共走480米， 故选：B． 5.已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的倍多，求这个多边形对角线的总条数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】()直接根据多边形的内角和公式计算即可求解； ()根据题意，求出每个外角的度数，再用外角和除以外角的度数得到边数，代入多边形对角线的总条数计算公式求解即可； 本题考查了求多边形内角和，求多边形对角线的总条数，掌握多边形内角和计算公式和多边形对角线的总条数计算公式是解题的关键． 【详解】(1)解：多边形的内角和， 答：这个多边形的内角和为； (2)解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得， ， 解得， ∴， ∴这个多边形对角线的总条数， 答：这个多边形对角线的总条数为． 【题型四】 综合性问题 【典题1】 四边形中，的角平分线与边交于点，的角平分线交直线于点． (1)若点在四边形的内部， 如图，若，，，则 ； 如图，试探索之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． (2)如图，若点在四边形的外部，请你直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) ； ，见解析； (2)． 【分析】(根据平行线的性质和角平分线的定义可求，，再根据三角形外角的性质可求的度数； 根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得和、的关系，再根据四边形内角和等于可求之间的数量关系； ()根据四边形和三角形的内角和得到，，根据角平分线的定义得到，，于是得到结论． 【详解】(1)∵， ∴ ∵， ∴， ∵又， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； ． 理由：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 理由：∵分别平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握边形内角与外角，平行线的性质，角平分线性质是解题的关键． 变式练习 1. 如图的七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数是(　　)      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和是，由，，，的外角的角度和为，可求得的外角，即可根据邻补角的定义求得． 【详解】解： ，，，的外角的角度和为，五边形的外角和是， 的外角为， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和，利用内角和外角的关系求得的外角是解题的关键． 2.如图所示，为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，四边形内角和为，根据三角形外角的性质，将各角转化为四边形的内角和求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， 故选：C． 3.(1)如图①所示，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系(直接写出结论)． (2)②示，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系(写出说理过程)． (3)若将(2)中的四边形改为六边形(如图③所示)，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．(2)，见解析；(3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． (1)根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； (2)根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可； (3)根据六边形的内角和公式表示出，然后同理探究二解答即可． 【详解】解：(1)、分别平分和， ，， ， ， ， ， ； (2)，理由如下： ∵，分别平分和， ∴，． ∴ ． (3)、分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 即． 【A组---基础题】 1.如图，在中，，，是的一条角平分线，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义即可求得的度数． 本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键。 【详解】∵中，，， ， ∵平分， ， 故选：A． 2.如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是(    )．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线定理． 根据，可得，然后根据为角平分线，可求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵为角平分线， ∴ ∴ 即：． 故答案为：C． 3.一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 (    ) A．7 B．10 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据多边形内角和公式可得：(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度，可求得结果. 【详解】因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度 所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15 故选D 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握公式是解题的关键. 4.一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是(    ) A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想． 【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得， ∴ 即得到的多边形是边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形； 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： 过多边形的一个顶点，则原来的是边形； 不过多边形的顶点，则原来的是边形， ∴原来多边形的边数可能是或或， 故选：． 5.如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】 本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】 解：①当时，如图1中， ， ， 由折叠得， ； ②当时，如图2， ， ， ， 由折叠得，， 的度数为或； 故选：C． 6.已知一个正n边形的每个内角都为，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形的外角和为．根据多边外角和进行求解即可． 【详解】解：∵正n边形的每个内角都为， ∴正n边形的每个外角， ∴多边形边数． 故答案为：6． 7.如图，一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点P，F为焦点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8.如图，一张长方形纸片，点，在边上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，此时测得，则 度. 【答案】 【分析】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，找到对应关系和正确的计算是解题的关键．利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角进行计算，得到中除外的两个角度和，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：四边形是方形纸， ， ，， 由折痕，得到，， ， ， ， 故答案为：． 9.按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【答案】(1)14 (2)该正多边形的边数为9，一个外角的度数是 【分析】(1)n边形的内角和为，结合已知条件，列出关于n的一元一次方程，即可求解； (2)正n边形的内角和为，外角和为，则，解方程即可． 【详解】(1)解：n边形内角和为，四边形的内角和为360°， 由题意得，， 解得， 即n的值为14； (2)解：正n边形的内角和为，所有外角都相等且外角和为， 由题意得，， 解得， ， 即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n边形内角和为，外角和为． 10.已知，，点、分别在、上，且点为射线上一点． (1)如图1：当点在线段上时，连接，易得． 小明给出的理由是： 如图1，过点作， ， ，(平行于同一条直线的两条直线互相平行) (依据1) ；(依据2) 根据小明给出的证明填空： 依据1：_______________； 依据2：_______________； (2)如图2，当点在延长线上时，求证：； (3)如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等； 等量代换 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解． (1)过点作，根据两直线平行，内错角相等，即可得出，再通过等量代换即可； (2)由平行线性质以及三角形外角性质即可得出结论； (3)由角平分线定义以及三角形内角和即可得到，根据题意得，再由三角形外角性质即可得，计算即可． 【详解】(1)如图：过点作， ， ，(平行于同一条直线的两条直线互相平行) (两直线平行，内错角相等) ；(等量代换) 故答案为：两直线平行，内错角相等； 等量代换 (2)证明：如图2， ， ∴， 是的外角， ， ； (3)平分，设， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 是的外角， ， 即， 解得， ． 【B组---提高题】 1.如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点，点为延长线上一动点，连接，的平分线与的平分线交于点，设．下列结论正确的是(    ) A． B． C．的值为定值 D．的值为定值 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由角平分线的定义结合三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，从而得出为定值． 【详解】解： 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ， ， ， ， 同理可得：，，…， ，故A、B错误，不符合题意； 平分，平分， ，， ， ， ，， ， 的值为定值，其值是，故C正确，D错误， 故选：C． 2.如图，，则 ． 【答案】 【分析】连接，由三角形内角和，以及对顶角相等，可将，转化为五边形内角和，即可列式求解，本题考查了三角形内角和，多边形内角和，解题的关键是：找到已知角的等角，作出辅助线． 【详解】解：连接，设与交于点， ，， ， 五边形内角和， 由多边形内角和公式可得：， 解得：， 故答案为：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$