预习课第08讲 角平分线的性质 2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第08讲 角平分线的性质与判定 1.掌握角平分线的作法和角平分线的性质； 2.掌握角平分线的判定. 1角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 3 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 【题型一】 角平分线的尺规作图 相关知识点讲解 已知： 求作：的平分线 作法： (1)以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； (2)分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; (3)画射线，射线即为所求. (利用全等三角形可证明) 【典题1】 在中，是的平分线，其中点D在边上．    (1)用圆规和直尺在图中作出角平分线．(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)若，，求的度数． 变式练习 1.如图，已知在中，点D在边上，且． (1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，连接、求证：． 【题型二】角平分线的性质及其应用 相关知识点讲解 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (易由可证，则) 【典题1】 如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比是(    ) A． B． C． D．不能确定 【典题2】如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有(    ) ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习 1. 如图，在中，，是的平分线，点E是上任意一点．若，则的最小值等于(    ) A．2.5 B．4 C．5 D．10 2.如图，是中的平分线，于点E，于点F．，则长是(　) A．4 B．3 C．6 D．5 3.如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则(    ) A． B． C． D． 4.如图，点P在的平分线上，且与互补，将绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变，其中正确的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点． (1)若，，求的面积； (2)求证：． 【题型三】 角平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 1 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (易由可证，则) 2 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 如下图，、分别是角平分线，则由角平分线的性质可得，则由角平分线的判定可得点也在的平分线上. 点称为三角形的内心，到三角形的三边距离相等. 【典题1】 民族要复兴，乡村必振兴．某高新区围湖外有三条公路经过三个村庄，如图所示．现要新建一个加油站到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有(    )处．    A．4 B．3 C．2 D．1 【典题2】如图，在中，，点O在的内部，于点M，于点N，若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在(    ) A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处 C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 2.如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是(　　) A． B． C． D． 3.如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若 ，则(    )    A． B． C． D． 4.如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 5.如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为(     ) A． B． C． D． 6.如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接． 求证：(1)；(2)． 【A组---基础题】 1.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有(　　) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2.如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点，， 再分别以，，为圆心， 大于 长为半径画弧，两弧交于点，作射线， 交于点． 已知，，的面积为(    ) A． B． C． D． 3.如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为(    ) A． B． C． D． 4.如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边的距离为(    ) A． B． C． D． 5.如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6.如图，是的角平分线，，垂足为的面积为9，，则的长为 ． 7.如图，已知的周长是10，分别平分和，若的面积为20，则的长为 ． 8.如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 9.如图，已知锐角，为边上的高． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F； (2)在作出符合条件的(1)的图中，若，求证：． 10.如图，在中，，，分别是边，上一点，连接AD，DE，过点作于点F．已知，．求证： (1)点在的平分线上； (2)． 【B组---提高题】 1.如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 2.在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作，分别交于点D，交y轴于点E，连接 (1)如图1，若点C的坐标为，求点E的坐标； (2)如图2，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变．求证：； (3)若点C在x轴正半轴上运动，当时，依题意在图3中补全图形，并求出的度数． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 角平分线的性质与判定 1.掌握角平分线的作法和角平分线的性质； 2.掌握角平分线的判定. 1角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 3 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 【题型一】 角平分线的尺规作图 相关知识点讲解 已知： 求作：的平分线 作法： (1)以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； (2)分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; (3)画射线，射线即为所求. (利用全等三角形可证明) 【典题1】 在中，是的平分线，其中点D在边上．    (1)用圆规和直尺在图中作出角平分线．(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握作角平分线的方法和步骤，以及三角形的内角和是180度． (1)以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点A和两弧交点，交于点D，即为所求； (2)根据三角形的内角和定理求出，进而得出，最后根据即可解答． 【详解】(1)解：如图，即为所求．    (2)解：，， ． 平分， ， ． 变式练习 1.如图，已知在中，点D在边上，且． (1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，连接、求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法和步骤，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等． (1)根据尺规作图—角平分线的作图方法和步骤即可解答； (2)根据证明，即可证明． 【详解】(1)解：如图，为所作； (2)证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型二】角平分线的性质及其应用 相关知识点讲解 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (易由可证，则) 【典题1】 如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比是(    ) A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质等．过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：过点D作交延长线于点E，于点F， ∵为的角平分线， ， ． 故选：B． 【典题2】如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有(    ) ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质推出即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断． 【详解】解：①如图，过点作于点， ∵的平分线交于点P，，，， ，， ， ∴，， ∴平分，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ， ，故②正确；    ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确． 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式练习 1. 如图，在中，，是的平分线，点E是上任意一点．若，则的最小值等于(    ) A．2.5 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线性质，关键是掌握垂线段最短，根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】解：∵点E是上任意一点， ∴当时，的值最小， ∵是的平分线，， ∴当时，的最小值， 故选：C． 2.如图，是中的平分线，于点E，于点F．，则长是(　) A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟记相关结论是解题关键． 由角平分线的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F． ∴． 又∵，， ∴ 解得． 故选：B． 3.如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【详解】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 4.如图，点P在的平分线上，且与互补，将绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变，其中正确的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于．只要证明，，即可一一判断． 【详解】解：如图作于，于， ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确， ， 定值，故③正确， ， 为定值，故②正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故④错误， 故选：C． 5.已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点． (1)若，，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1)的面积为6 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． (1)如图作于N根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题； (2)由推出，由，推出，由此即可解决问题． 【详解】(1)解：如图，过点D作于点N， 平分，，， ， ； (2)， ． 【题型三】 角平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 1 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (易由可证，则) 2 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 如下图，、分别是角平分线，则由角平分线的性质可得，则由角平分线的判定可得点也在的平分线上. 点称为三角形的内心，到三角形的三边距离相等. 【典题1】 民族要复兴，乡村必振兴．某高新区围湖外有三条公路经过三个村庄，如图所示．现要新建一个加油站到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有(    )处．    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质定理，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，分别作三角形的内角平分线与外角平分线可得答案． 【详解】如图所示，作的内角平分线与外角平分线，交点分别为，    根据角平分线的性质定理，可知到三条直线的距离相等， 所以符合条件的位置共有4个， 故选A． 【典题2】如图，在中，，点O在的内部，于点M，于点N，若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．根据，，判断是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵，，， ∴点O到的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 故选：D． 变式练习 1. 如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在(    ) A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处 C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择． 【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键． 2.如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴． 故选D． 3.如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若 ，则(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形性质、角平分线的判断与性质等知识，熟记“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”是解决问题的关键． 【详解】解： 中，，， ， ，，且 ， 平分， ， 故选：A． 4.如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    5.如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作交的延长线于，于，交的延长线于，根据角平分线的性质和判定得到平分求出 的度数，根据角平分线的定义求出 的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作交的延长线于，于，交的延长线于，如图： ∵平分，平分， ∴，， ∴，又，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6.如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理； (1)先根据，推出，然后根据等角的余角相等推出，结合已知条件判定即可证明结论； (2)过点B分别作于M，于N，根据全等三角形的对应高相等推出，根据角平分线的判定定理推出是的平分线，根据即可证得结论． 掌握角平分线的判定定理，深入理解题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ， 在和中 ， )， ； (2)证明：如图，过点B分别作于M，于N， ， ∴， 即， 又， ， 平分， ， ， ， ． 【A组---基础题】 1.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有(　　) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【详解】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如上图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处， 故选：A． 2.如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点，， 再分别以，，为圆心， 大于 长为半径画弧，两弧交于点，作射线， 交于点． 已知，，的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角平分线的性质．根据角平分线的尺规作图可得平分，过点作于点，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图可知：平分， ，， ， , ， 故选：B． 3.如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解： 于点，且，到射线的最小距离为4， 点到两边的距离相等， 射线是的角平分线， ， ， ， ， 故选：C． 4.如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题的关键．利用角平分线的性质结合三角形的面积得出答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为，连接， ，，， ， 是、的平分线，， ， ， ， )， 故选：B． 5.如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论． 【详解】 解：在中， ， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确． ， 又， ， ， ， 又，， ， ，，，故②正确． 在和中， ，，， ， ，故③正确． 的角平分线、相交于点P， 点P到、的距离相等，点P到、的距离相等， 点P到、的距离相等， 点P在的平分线上， 平分，故④正确． 故选：D． 6.如图，是的角平分线，，垂足为的面积为9，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解；如图所示，过点D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7.如图，已知的周长是10，分别平分和，若的面积为20，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得出求出的面积 ，再代入求出答案即可，能熟记角平分线上的点到这个角的两边距离相等是解此题的关键． 【详解】解：过O作于E，于F，连接，如图： ∵分别平分和， ∴， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝， ∵的周长是10，的面积为20， ∴， 解得：， 故答案为：4． 8.如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长，，过点作，，，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】 解：分别延长，，过点作，，， ，， ， ， ，， 又平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9.如图，已知锐角，为边上的高． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F； (2)在作出符合条件的(1)的图中，若，求证：． 【答案】(1)如图，射线即为所求; (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． (1)以B为圆心，任意长为半径画弧，与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，以B为端点，过两弧的交点作射线交于点E，交于点F即可． (2)通过证明可得，再由对顶角相等可得，然后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答． 【详解】(1)解：如图，射线即为所求． (2)解：∵，为边上的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 10.如图，在中，，，分别是边，上一点，连接AD，DE，过点作于点F．已知，．求证： (1)点在的平分线上； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据证明直角三角形的全等解答． (1)利用证明，可得，根据，，即可得结论； (2)根据证明，可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】(1)证明： ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点在的平分线上； (2)证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【B组---提高题】 1.如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，，故①正确；由三角形的外角性质得，易得，故②正确；作于，于，首先证明，易得，进而证明平分，当时，才平分，假设，可证明，可得，进而可得，而与矛盾，故③错误；没有条件可以证明平分，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①正确； 由三角形的外角性质得， ∴，故②正确； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，与矛盾，故③错误； ∵没有条件可以证明平分， ∴④错误． 综上所述，正确的个数有2个． 故选：C． 2.在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作，分别交于点D，交y轴于点E，连接 (1)如图1，若点C的坐标为，求点E的坐标； (2)如图2，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变．求证：； (3)若点C在x轴正半轴上运动，当时，依题意在图3中补全图形，并求出的度数． 【答案】(1)点的坐标为； (2)见详解 (3)图见详解，的度数为 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． (1)由“”可证，可得，即可求解； (2)如图②，过点作于点，作于点，由面积法可证，可得结论． (3)如图所示，在上截取，连接，证明，可得结论． 【详解】(1)解：，， ， ，， ， ，， ， ， ∴， ， 点的坐标为； (2)解：证明：如图②，过点分别作于点，于点， 由(1)得：， ，， ， ， 又，， 平分， ． (3)解：如图③，当时，在上取一点，使， ， ， 由(1)得：平分， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 又， 设的度数为，则的度数为， 解得：， 的度数为， 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意， 综上所述，的度数为． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$