预习课第14讲 整式的乘除法 - 2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第14讲 整式的乘除法 1.掌握整式的乘法运算； 2.掌握同底数幂相除法则； 3. 掌握整式的除法运算. 1整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (2)一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. (3)一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2 整式的除法 (1)同底数幂相除 都是正整数，并且). 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定，即任何不等于的数的次幂都等于. (2)一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. (3)一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【题型一】 整式的乘法 相关知识点讲解 整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【例】. (2)一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 【例】. (3)一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【例】. 情况1 单项式乘以单项式 【典题1】 下列计算错误的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】计算的结果是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 计算的结果为(   ) A． B． C． D． 2.计算：(   ) A． B． C． D． 3.计算：(    ) A． B． C． D． 4.下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 情况2 单项式乘以多项式 【典题1】 下列各题计算正确的是 (    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 计算的结果是(    ) A． B． C． D． 2.计算的结果是(　　) A． B． C． D． 3. 等于(     ) A． B． C． D． 4.当时，代数式的值是(　　) A． B． C． D．98 情况3 多项式乘以多项式 【典题1】 下列计算错误的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】若，则的值是(    ) A．125 B．1 C． D． 【典题3】先化简，再求值： (x﹣2y)•(x+2y﹣1)+4y2，其中，x＝，y＝﹣1； 变式练习 1. 计算的结果正确的是(   ) A． B． C． D． 2.已知，，，则P与Q的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法确定 3.若，则(    ) A． B． C．2 D．4 4.先化简，再求值： (a+b)•(2a﹣b)+(2a+b)•(a﹣2b)，其中a＝﹣2，b＝3． 5.在某公园里，有一块长为、宽为的活动广场，其中阴影部分是绿地，空白处是休息场所． (1)求绿地的面积；(用含a，b的式子表示) (2)现在重新铺建绿地，已知铺建绿地的所有费用为200元/，，求重新铺建绿地的总费用． 【题型二】 同底数幂相除 相关知识点讲解 都是正整数，并且). 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定，即任何不等于的数的次幂都等于. 【例】，. 【典题1】 下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 【典题2】若，则的值为(  ) A． B．4 C．8 D．16 变式练习 1. 下列各式中，计算结果等于的是(    ) A． B． C． D． 2.若，，则(      ) A．5 B．3 C．45 D．12 3.已知，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【题型三】 整式的除法 相关知识点讲解 (1)一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【例】 . (2)一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【例】. 【典题1】 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 计算的结果是(    ) A． B． C． D． 2. 的结果是(    ) A． B． C． D． 3.计算的正确结果是(      ) A． B． C． D． 4.一个长方形的面积为 ，其一边长为，则另一边长为(     ) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.下列整式运算正确的是(    ) A． B． C． D． 2.下列计算正确的是(　　  ) A． B． C． D． 3.下列计算错误的是(　　) A． B． C． D． 4.计算的结果是(   ) A． B． C． D． 5.若的计算结果中项的系数为，则为(    ) A． B．3 C． D． 6.若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ． 7.要使的展开式中不含的项，则的值为 ． 8.如图，大、小正方形的边长分别为和，请用含、的代数式表示图中阴影部分的面积为 ．(结果要化简)    9.先化简，再求值：，其中，． 10.小明同学在计算一道整式乘法时，在解题的过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求m的值； (2)请计算出这道整式乘法的正确结果． 【B组---提高题】 1.如图，正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成．若阴影部分的面积等于的面积，则阴影部分与正方形ABCD的面积比值为 ． 2. 计算 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 整式的乘除法 1.掌握整式的乘法运算； 2.掌握同底数幂相除法则； 3. 掌握整式的除法运算. 1整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (2)一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. (3)一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2 整式的除法 (1)同底数幂相除 都是正整数，并且). 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定，即任何不等于的数的次幂都等于. (2)一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. (3)一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【题型一】 整式的乘法 相关知识点讲解 整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【例】. (2)一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 【例】. (3)一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【例】. 情况1 单项式乘以单项式 【典题1】 下列计算错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则逐一计算即可得出答案． 【详解】解：A．，计算正确，不符合题意； B．，计算错误，符合题意； C．，计算正确，不符合题意； D． ，计算正确，不符合题意； 故选B． 【典题2】计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，先进行乘方运算，再进行乘法运算即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 变式练习 1. 计算的结果为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式法则． 根据单项式乘单项式法则计算出结果即可； 【详解】解：， 故答案为：D． 2.计算：(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式与单项式相乘的法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3.计算：(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方与单项式与单项式相乘等知识点，首先利用积的乘方求得的值，然后根据单项式与单项式相乘的运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】 ， 故选：B． 4.下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 情况2 单项式乘以多项式 【典题1】 下列各题计算正确的是 (    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以多项式、单项式乘以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 变式练习 1. 计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式．熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 2.计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方以及单项式乘多项式，先算幂的乘方，再算单项式乘多项式，即可作答． 【详解】解： 故选：A． 3. 等于(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以单项式，先计算积的乘方，然后根据单项式乘以多项式，进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 4.当时，代数式的值是(　　) A． B． C． D．98 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再把a的值代入计算即可求出答案． 【详解】 当时， 原式 故选：A． 情况3 多项式乘以多项式 【典题1】 下列计算错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．，故C正确，不符合题意； D．，故D错误，符合题意． 故选：D． 【典题2】若，则的值是(    ) A．125 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选；C． 【典题3】先化简，再求值： (x﹣2y)•(x+2y﹣1)+4y2，其中，x＝，y＝﹣1； 【答案】 【详解】解：原式＝(x﹣2y)(x+2y)﹣(x﹣2y)+4y2＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣x+2y， 当x＝，y＝﹣1时， 原式。 变式练习 1. 计算的结果正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2.已知，，，则P与Q的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了有理数比较大小以及多项式乘多项式法则，运用设未知数简化P与Q的式子，运用作差法进行建立整式，化简计算即可作答． 【详解】解：设 ∵，， ∴，， 则 ∴ 故选：A． 3.若，则(    ) A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据多项式乘以多项式展开，根据常数项相等得出，进而根据一次项系数相等得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ ∵ ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 4.先化简，再求值： (a+b)•(2a﹣b)+(2a+b)•(a﹣2b)，其中a＝﹣2，b＝3． 【答案】1 【详解】解：(a+b)•(2a﹣b)+(2a+b)•(a﹣2b) ＝2a2﹣ab+2ab﹣b2+2a2﹣4ab+ab﹣2b2 ＝4a2﹣2ab﹣3b2， 当a＝﹣2，b＝3时， 原式＝4×4﹣2×(﹣2)×3﹣3×9＝16+12﹣27＝1． 5.在某公园里，有一块长为、宽为的活动广场，其中阴影部分是绿地，空白处是休息场所． (1)求绿地的面积；(用含a，b的式子表示) (2)现在重新铺建绿地，已知铺建绿地的所有费用为200元/，，求重新铺建绿地的总费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，正确列式和计算是解题的关键． (1)总面积减去两个小长方形的面积即可得到答案； (2)把字母的值代入(1)中的化简结果得到面积，再用面积乘以单价即可得到答案 【详解】(1)解：根据题意，得 答：绿地的面积为． (2)当时，． (元)． 答：重新铺建绿地的总费用为元． 【题型二】 同底数幂相除 相关知识点讲解 都是正整数，并且). 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定，即任何不等于的数的次幂都等于. 【例】，. 【典题1】 下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【典题2】若，则的值为(  ) A． B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的运算法则，先变形得，再根据同底数幂除法的运算法则即可解答．掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式练习 1. 下列各式中，计算结果等于的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法运算，合并同类项．解题的关键在于正确的运算．分别对各选项进行运算，然后进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能进行计算，不符合题意； B、，结果等于，符合题意； C、与不是同类项，不能进行计算，不符合题意； D、，结果不等于，不符合题意； 故选：B． 2.若，，则(      ) A．5 B．3 C．45 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 3.已知，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数指数幂的除法和幂的乘方．先根据同底数指数幂的除法和幂的乘方可得，将，代入即可求解． 【详解】解： ， ，， ， 故选：B． 【题型三】 整式的除法 相关知识点讲解 (1)一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【例】 . (2)一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【例】. 【典题1】 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟悉其运算规则是解决问题的关键，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加即可．题中给出了长方形面积为，一边长为，长方形的宽等于面积除以边长，即可求解． 【详解】解： 长方形面积是，一边长为， 长方形的宽是 ． 故选：D． 变式练习 1. 计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．先计算积的乘方，再利用同底数幂的除法计算即可求解． 【详解】解： 原式 故选：D． 2. 的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式的法则，多项式除以单项式的法则：多项式的每个项分别除以单项式，据此即可作答． 【详解】解： ， 故选：D． 3.计算的正确结果是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式除以单项式，根据运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 4.一个长方形的面积为 ，其一边长为，则另一边长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式除以单项式、长方形的面积等知识，根据长方形的面积公式结合多项式除以多项式运算法则解题即可． 【详解】长方形的面积为，且一边长为， 另一边的长为 故选：D． 【A组---基础题】 1.下列整式运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘以单项式可判断A，根据单项式乘以多项式可判断B，根据多项式乘以多项式可判断C，根据单项式乘以多项式可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，运算正确，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟记运算法则是解本题的关键． 2.下列计算正确的是(　　  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项和整式的乘除，根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】A、，计算错误，该选项不符合题意； B、，计算错误，该选项不符合题意； C、，计算错误，该选项不符合题意； D、，计算正确，该选项符合题意． 故选：D 3.下列计算错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘法的运算，掌握多项式乘法的运算法则是解题的关键．根据运算法则，逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：A．，正确，故该选项不符合题意； B．，正确，故该选项不符合题意； C．，错误，故该选项符合题意； D．，正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 4.计算的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，先把原式变形为，再分别计算单项式除以单项式，最后合并同类项即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选A． 5.若的计算结果中项的系数为，则为(    ) A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解答本题的关键．根据多项式乘以多项式的法则，计算含项的系数之和，得到方程并求解，即得答案． 【详解】在的计算过程中含项有和， 所以 解得． 故选B． 6.若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，理解定义的新运算是解题的关键；按照定义的新运算进行计算，即可解答. 【详解】解：由题意得：， 故答案为：. 7.要使的展开式中不含的项，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为，即可得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∵展开式中不含的项， ∴， ∴， 故答案为：． 8.如图，大、小正方形的边长分别为和，请用含、的代数式表示图中阴影部分的面积为 ．(结果要化简)    【答案】 【分析】将图形补成长方形，用大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，用整式运算法则将结果化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补成长方形，    ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式混合运算，割补法求不规则图形面积问题，掌握割补法及运算法则是解题的关键． 9.先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用多项式除以单项式、平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 10.小明同学在计算一道整式乘法时，在解题的过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求m的值； (2)请计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键． (1)根据题意可得，应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得，由已知常数项相等可得，计算即可得出答案； (2)由(1)可知m的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案． 【详解】(1)由题意可得： ， 所以，即； (2)当时， 这道整式乘法的正确结果为． 【B组---提高题】 1.如图，正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成．若阴影部分的面积等于的面积，则阴影部分与正方形ABCD的面积比值为 ． 【答案】 【分析】连接BG，设BF=a，EF=b，可用含a、b的代数式分别表示阴影部分的面积和的面积，由于阴影部分的面积等于的面积，可得，再用含a的代数式表示阴影部分的面积和正方形ABCD的面积，即可求解． 【详解】解：连接BG，设BF=a，EF=b， 则，， ∵阴影部分的面积等于的面积， ∴，即， ∴， 正方形ABCD的面积为：， ∴阴影部分与正方形ABCD的面积比为：， 即比值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，正确表示出三角形和小正方形的面积是解题的关键． 2. 计算 ． 【答案】 【分析】设，，将所求问题转化为整式的运算，再根据整式的运算法则化简求值即可． 【详解】设， 则 原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法运算，利用换元法，将所求问题转化为整式的运算是解题关键．这是常用技巧，需掌握． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$