预习课第13讲 整式的乘法-2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第13讲 整式的乘法 1.理解并应用同底数幂的乘法法则； 2.理解幂的乘方、积的乘方运算法则及其应用. 1 同底数幂相乘 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2 幂的乘方 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3 积的乘方 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【题型一】 同底数幂相乘 相关知识点讲解 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 证明 . 【例】 ，. 【典题1】 下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】若，则n的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．4 【典题3】已知，，，则的值为(     )． A．7 B．8 C．9 D．10 变式练习 1.化简所得的结果是(　　) A． B． C． D． 2.若，则k的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知，，则的值是(    ) A． B． C． D． 4.已知，则的值是(    ) A．6 B．9 C． D． 5.如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则、和的关系是(    ) A． B． C． D．无法确定 6.若，则的值为(  ) A．3 B． C． D．1 7.若，其中为整数，则与的数量关系为(    ) A． B． C． D． 8.已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是(    ) A． B． C． D． 9.已知，，且，则，，三者之间的数量关系是(    ) A． B． C． D． 【题型二】 幂的乘方 相关知识点讲解 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】 下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知，，，那么，，的大小关系是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 化简的结果是(    ) A． B． C． D． 2.已知，则的值为(    ) A．7 B．6 C．5 D．4 3.已知，，则的值是(    ) A．4 B．5 C．6 D．9 4.若，，，则a、b、c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 5.若，，则的值为(    ) A．8 B．12 C．40 D．144 6.已知，则的值是(　　) A．16 B．4 C． D．8 7.如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则 。 【题型三】 积的乘方 相关知识点讲解 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】 计算：(    ) A． B． C． D． 【典题2】计算的结果是(    )． A． B． C． D． 变式练习 1. 计算的结果为(   ) A． B． C． D． 2.计算结果是(     ) A． B． C． D．0 3.计算的结果是(    ) A． B． C．1 D．5 4.已知，，则 ． 5.计算： ． 6.计算： ． 【题型四】 综合问题 【典题1】 若，其中m、n、k均为正整数，则的最大值与最小值的差是(    ) A．1768 B．455 C．252 D．757 【典题2】先化简，再求值：，其中． 变式练习 1. 计算： (1)； (2)． 2.化简求值：，其中，． 3.阅读下列各式：… 回答下列三个问题： (1)验证：　　，　　； (2)通过上述验证，归纳得出：　　；　　． (3)请应用上述性质计算：． 4.我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；(，为正整数)． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【A组---基础题】 1.下列各式计算结果为a8的是(　　) A．a3•a4 B．(﹣a)2•(﹣a)4 C．(﹣a2)•(﹣a)6 D．﹣a3•(﹣a)5 2.下列算式中正确的是(    ) A． B． C． D． 3.若，，则的值为(    ) A．8 B．10 C．12 D．18 4.已知，，那么下列关于，，之间满足的等量关系正确的是(    ) A． B． C． D． 5.已知，则的值是(    ) A．1 B．7 C．11 D．6 6.计算的结果是 ． 7.已知，且比大3，求的值 ． 8.规定关于任意正整数m，n的新运算：，如：若，则．若，则的结果是 ． 9.(1)计算： (2)已知，，求的值； (3)已知，求的值． 10.上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ (________) (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【B组---提高题】 1.观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是 ． 2.式子的值的个位数是 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 整式的乘法 1.理解并应用同底数幂的乘法法则； 2.理解幂的乘方、积的乘方运算法则及其应用. 1 同底数幂相乘 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2 幂的乘方 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3 积的乘方 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【题型一】 同底数幂相乘 相关知识点讲解 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 证明 . 【例】 ，. 【典题1】 下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 根据相同底数幂相乘、合并同类项的知识逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意； B、，故该选项是错误的，不符合题意； C、，故该选项是正确的，符合题意； D、，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：C． 【典题2】若，则n的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据同底数幂的乘法运算进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C 【典题3】已知，，，则的值为(     )． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 变式练习 1.化简所得的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答． 根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2.若，则k的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法运算法则． 根据同底数幂的乘法的概念进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：D． 3.已知，，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：由， 故选：． 4.已知，则的值是(    ) A．6 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，然后根据同底数幂乘法的逆运算，代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到． 5.如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则、和的关系是(    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键． 根据题意分别表示出关于的等式，即可判断它们的关系． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 又∵， ∴，即， 故选：B． 6.若，则的值为(  ) A．3 B． C． D．1 【答案】D 【分析】逆用同底数幂的乘法求出=2，即可求出结果. 【详解】根据题意得，， 所以=1. 故选D. 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法逆运用，熟练掌握运算法则是解此题的关键. 7.若，其中为整数，则与的数量关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将y变形为，进而可得答案． 【详解】解：因为， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确变形、熟练掌握同底数幂的逆运算法则是解题的关键． 8.已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意； 故选C． 9.已知，，且，则，，三者之间的数量关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，灵活运用同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键．根据题意得出，，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，，且， ∴， ， ∴， 故选：D． 【题型二】 幂的乘方 相关知识点讲解 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】 下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 【典题2】已知，，，那么，，的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了指数幂的性质以及有理数的大小比较，直接利用指数幂的性质结合幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案，正确将原式变形是解题关键． 【详解】解： ，，， ， 故选A． 变式练习 1. 化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键； 根据幂的乘方，底数不变指数相乘，然后求相反数即可． 【详解】 ． 故选：C． 2.已知，则的值为(    ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据同底数的乘法法则构造一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴即， ∴， ∴， ∴， 故选∶A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.已知，，则的值是(    ) A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，利用幂的乘方、同底数幂相乘法则求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4.若，，，则a、b、c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘．根据幂的乘方法则变为同底数的幂比较即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选B． 5.若，，则的值为(    ) A．8 B．12 C．40 D．144 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法的逆用．根据，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选D． 6.已知，则的值是(　　) A．16 B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 7.如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则 ； 【答案】3 【分析】本题考查乘方及同底数幂乘法逆运算， 根据新定义列式，再根据乘方的逆运算即可得答案，正确理解新定义，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：如果，则，， ， ， 故答案为：3. 【题型三】 积的乘方 相关知识点讲解 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】 计算：(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先按积的乘方法则计算，再运用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【典题2】计算的结果是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式==，故选D. 变式练习 1. 计算的结果为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，括号内每个字母和数字都要乘方，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：A． 2.计算结果是(     ) A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和合并同类项，正确掌握运算法则是解题的关键； 利用幂的乘方运算法则化简，进而根据合并同类项法则计算即可． 【详解】 故选：D． 3.计算的结果是(    ) A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及其逆应用，熟练掌握法则，并灵活逆向应用是解题的关键． 4.已知，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了积的乘方和有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后整体代入求值即可． 【详解】 把，代入，原式． 5.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用．根据积的乘方的逆用法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6.计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后合并同类项即可； 【详解】 ． 【题型四】 综合问题 【典题1】 若，其中m、n、k均为正整数，则的最大值与最小值的差是(    ) A．1768 B．455 C．252 D．757 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．将2024写成幂的乘积的形式后，求得的最大值与最小值即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴此时取得最小值为； ∵， ∴取得最大值为， ∵， ∴的最大值与最小值的差是757． 故选：D． 【典题2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 变式练习 1. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． (1)根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； (2)根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【详解】(1)解：； (2)解：． 2.化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 3.阅读下列各式：… 回答下列三个问题： (1)验证：　　，　　； (2)通过上述验证，归纳得出：　　；　　． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键． (1)先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法； (2)根据有理数乘方的定义求出即可； (3)根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案． 【详解】(1)解：； 故答案为：1，1； (2)解：； 故答案为：，； (3)解： ． 4.我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；(，为正整数)． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】()根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； ()根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； ()根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． 【详解】(1)解：∵， ， ． 又∵， ∴， 故答案为：； (2)解： ， ， ∵，， ∴原式， ， ； (3)解： ， ， ， ， ， ， ． 【A组---基础题】 1.下列各式计算结果为a8的是(　　) A．a3•a4 B．(﹣a)2•(﹣a)4 C．(﹣a2)•(﹣a)6 D．﹣a3•(﹣a)5 【答案】D 【分析】利用同底数幂乘法计算法则分别计算，同底数幂乘法法则为am·an=am+n(m，n为正整数)． 【详解】A选项： a3•a4=a7， B选项：(﹣a)2•(﹣a)4=(﹣a)6=a6， C选项：(﹣a2)•(﹣a)6=(﹣a2)• a6=-a8， D选项：﹣a3•(﹣a)5=﹣a3•(﹣a5)= a3• a5=a8 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的法则，熟练掌握法则是本题的解题关键． 2.下列算式中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键． 分别根据幂的乘方和积的乘方的运算法则结合选项选出错误选项； 【详解】A、，故本选项错误；     B、，故本选项错误；     C、，故本选项正确；     D、，故本选项错误．     故选C． 3.若，，则的值为(    ) A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，以及幂的乘方的逆用，利用相关运算法则将变形为，再将，代入求值，即可解题． 【详解】解：， ，， 上式， 故选：D． 4.已知，，那么下列关于，，之间满足的等量关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得：，则可得到，即可得到结论； 【详解】∵，，， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用． 5.已知，则的值是(    ) A．1 B．7 C．11 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知， 是解题的关键；先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 6.计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 7.已知，且比大3，求的值 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，首先将等式的左边进行化简，再根据底数相等指数相等，列方程求解即可． 【详解】解：原式可化为： ， 所以可得： ， 因为m比n大3，可得： ， 所以可得： ， 解得： ， 所以， 故答案为40． 8.规定关于任意正整数m，n的新运算：，如：若，则．若，则的结果是 ． 【答案】 【分析】根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题；本题考查整式的混合运算，化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 【详解】 ， 故答案为：． 9.(1)计算： (2)已知，，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)8 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1)先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． (2)先整理，再代入，，即可作答． (3)先整理以及，再把代入，进行运算，即可作答． 【详解】解：(1) ； (2)； (3)∵ ∴ ． 10.上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ (________) (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【答案】(1)0.25，4，1； (2)①；②4． 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． (1)根据乘法的交换律、积的乘方的逆用等计算即可； (2)①仿照小李的解题方法计算即可； ②根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算得出，求解即可． 【详解】(1)解： ． (2)① ； ② ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 【B组---提高题】 1.观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，积的乘方等知识，由等式：；；，……，得出规律：，那么 ，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； ， ……， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴原式=． 故答案为：． 2.式子的值的个位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到的个位数． 根据题意，分别找出和的个位数即可． 【详解】解：原式＝， ∵……， ∴的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……， ∵ ∴的末位数是6； ∵ ∵ ∴的个位数为2 故答案为：2． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$