预习课第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质- 2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 1.掌握等边三角形的定义、性质和判定； 2.掌握含的直角三角形的性质. 1 等边三角形 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. (3)判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 2含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型一】 等边三角形的定义和性质 相关知识点讲解 等边三角形的定义和性质 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. 【典题1】 如图，中，，为等边三角形，则、、之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【典题2】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是(    ) A．12 B．9 C．6 D．3 变式练习 1. 如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为(　　) A． B． C． D． 2.如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为(    )    A． B． C． D． 3.如图，是等边的一条中线，若在边上取一点E，使得，则的度数为(　　) A． B． C． D． 4.如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为(    ) A．5 B．6 C．8 D．9 5.如图，在等边中，点D是的中点，，点E是延长线上的一点，且． (1)求的度数；(2)若，求的长． 【题型二】 等边三角形的判定 相关知识点讲解 等边三角形的判定 ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 【典题1】 如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于(   ) A． B． C． D． 【典题2】如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 变式练习 1. 若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是(    ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2.如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为(　　) A．12 B．18 C．20 D．24 3.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． (1)求证：AE垂直平分BC； (2)若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； (3)若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 4.如图，点P在等边内，点在外，分别连结接，．    (1)求证：； (2)连接，求证：是等边三角形． 【题型三】 含的直角三角形的性质 相关知识点讲解 含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如下图，在中，，，则. 证明 在上取点，使得， 又，是等边三角形， ，， 又，， ，即. 【典题1】 如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 变式练习 1. 在中，，，，则(    ) A．2 B．3 C．8 D．5 2.如图，在等边中，，，，则的长度为(    ) A．2 B．4 C． D． 3.如图，在中，，，垂直平分斜边，交于点D，E是垂足，连接，若，则的长是(    ) A．2 B． C． D．3 4.如图：是等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是(      ) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.下列条件不能判定是等边三角形的是(    ) A． B． C．， D． 2.如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为(　　)      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 3.已知，点在的内部，点和点关于对称，点和点关于对称，则、、三点构成的三角形的是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4.如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的边长为(    ) A．32 B．16 C．48 D．64 5.如图，为线段上一动点(不与、重合)，在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有(　　)    A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 6.如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 ． 7.如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 8.如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 9.如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长． 10.如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中． (1)求证：； (2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：； (3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长． 【B组---提高题】 1.如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 2.【特例感知】 (1)如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边在直线l的两侧，过A作于点D，过B作于点E，求证：． 【应用拓展】 (2)当等腰直角的边落在直线l上，，为直线l上的一个动点(点D不与A、C重合)，连接，将线段绕点B逆时针旋转的得到线段，连接与射线交于点F． ①如图2，求证：； ②当时，请直接写出的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 1.掌握等边三角形的定义、性质和判定； 2.掌握含的直角三角形的性质. 1 等边三角形 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. (3)判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 2含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型一】 等边三角形的定义和性质 相关知识点讲解 等边三角形的定义和性质 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. 【典题1】 如图，中，，为等边三角形，则、、之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出，根据三角形的内角和定理求出，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出，代入上式即可求出答案． 【详解】解：如答图， ， ， ， ， 等边， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出和是解此题的关键． 【典题2】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是(    ) A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质．连接，交于点F，连接，根据等边三角形的性质得出是的垂直平分线，证明，得出，说明当B，，三点共线时，最小，的最小值，得出当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长，求出最小值即可． 【详解】解：连接，交于点F，连接，如图所示： ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵当B，，三点共线时，最小，的最小值， ∴当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 即的最小值为9， 故选：B． 变式练习 1. 如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，先由平行线的性质得到，再由等边三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵直线， ∴， 在等边中，， ∴， 故选：A． 2.如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理， 延长，交于点E，根据题意得到，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图，延长，交于点E，    ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴直线与直线的夹角为． 故选：B． 3.如图，是等边的一条中线，若在边上取一点E，使得，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边对等角是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等边的一条中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4.如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为(    ) A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】 此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，延长至点，使，连接，证明推出，，进而得到，从而证明，推出，由此求出的周长得到答案．题中辅助线的引出是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，的周长为12， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 5.如图，在等边中，点D是的中点，，点E是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质． (1)根据等边三角形的性质得，由等边对等角得到，再根据，即可解答； (2)根据含的直角三角形的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可得答案． 【详解】(1)解：是等边三角形， ∴， ， ， 又， ∴； (2)解：，， ， ， ， ∵点D是的中点， ∴ ∴． 【题型二】 等边三角形的判定 相关知识点讲解 等边三角形的判定 ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 【典题1】 如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，得到，，则可求出，进而得到，则． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【典题2】如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． (1)根据证明三角形全等即可； (2)根据，得出，，求出，即可证明结论． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 变式练习 1. 若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是(    ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形有两条边相等， ∴这个三角形是等腰三角形， 又∵这个三角形有一个内角为， ∴这个三角形一定为等边三角形. 故选：A ． 2.如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为(　　) A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，先证明是等边三角形．得出．根据直角三角形的性质求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． (1)求证：AE垂直平分BC； (2)若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； (3)若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 证明：(1)∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC． ∵OB＝OC，点A，O在AE上，∴AE垂直平分BC； (2)∵∠OED＝∠ODE，∴OD＝OE． 又∵BD⊥AC，AE⊥BC，即OD⊥AC，OE⊥BC， ∴CO平分∠ACB； (3)由(1)知AB＝AC． ∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． 由(1)知AE垂直平分BC， ∴E是BC的中点，∴EC＝BC， ∵BD⊥AC，， ∴EC＝CD， ∴△CDE是等边三角形． 4.如图，点P在等边内，点在外，分别连结接，．    (1)求证：； (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质： (1)由是等边三角形可得，运用可证明； (2)由可得，再证明即可得到结论． 【详解】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 又， ∴； (2)证明：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形． 【题型三】 含的直角三角形的性质 相关知识点讲解 含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如下图，在中，，，则. 证明 在上取点，使得， 又，是等边三角形， ，， 又，， ，即. 【典题1】 如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B 变式练习 1. 在中，，，，则(    ) A．2 B．3 C．8 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：C 2.如图，在等边中，，，，则的长度为(    ) A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质、垂直的定义、平行线的性质、含的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质求出，结合垂直的定义、平行线的性质求出，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.如图，在中，，，垂直平分斜边，交于点D，E是垂足，连接，若，则的长是(    ) A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，由条件得到是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，，可求出，则可得到的长． 【详解】解：垂直平分， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 4.如图：是等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角直角三角形的性质．证明得，，可得，即可得出结论．理解等边三角形的性质，借助三角形全等和角直角三角形的性质求解是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即的长是． 故选：A． 【A组---基础题】 1.下列条件不能判定是等边三角形的是(    ) A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴是等边三角形，故B选项不符合题意； C．∵，， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； D．∵，， ∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 2.如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为(　　)      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 3.已知，点在的内部，点和点关于对称，点和点关于对称，则、、三点构成的三角形的是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由P，关于直线对称，P、关于直线对称，推出，，，推出，由此即可判断． 【详解】如图， ∵P，关于直线对称，P、关于直线对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题． 4.如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的边长为(    ) A．32 B．16 C．48 D．64 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质得 ，再根据及三角形的外角定理得 进而得由此得 的边长为，同理：的边长为，的边长为，…，以此类推，的边长为 根据此规律可得的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：为等边三角形， ， ∵ 为等腰三角形， 即的边长为， 同理：的边长为， 的边长为， ，以此类推， 的边长为 ∴的边长为： ， 故选：A． 5.如图，为线段上一动点(不与、重合)，在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有(　　)    A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，故结论①正确；③先证明，即可判断出，故结论③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，故结论②正确；④由图像可知：当变短时，则变长，这时变短，则变长，可知不一定等于，故结论④错误．⑤，故结论⑤正确；即可得出结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故结论③正确； 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论②正确． ∵， ∴， ∴， ∴故结论⑤正确． ∵为线段上一动点(不与、重合)， 即：， 由图形可知：当变短时，则变长，这时变短，则变长， ∴不一定等于，故结论④错误． 综上所述，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6.如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的定义，垂线段最短，三角形的面积公式等知识．根据等边三角形的定义得到周长，过点A作于点，根据“垂线段最短”得到周长的最小值为，根据三角形面积公式得到，即可求出的最小值为30． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴周长， 过点A作于点， 则， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为30． 故答案为：30 7.如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8.如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 9.如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； (2)由(1)知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】(1)证明：于点，于点， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2)解：由(1)知，是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ． 10.如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中． (1)求证：； (2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：； (3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． (1)由“”可证，可得； (2)由“”可证，可得； (3)如图3，过点作于，于，由面积法可求，可证，由直角三角形的性质可求，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】(1)证明：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， 点在线段上，， ， 在和中， ， ， ； (3)解：如图3，过点作于，于， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，，， ， ， ． 【B组---提高题】 1.如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图，在的下方作等边，作射线． ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在射线上运动点是定点，是定值， 当时，的值最小，最小值， 故选：B． 2.【特例感知】 (1)如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边在直线l的两侧，过A作于点D，过B作于点E，求证：． 【应用拓展】 (2)当等腰直角的边落在直线l上，，为直线l上的一个动点(点D不与A、C重合)，连接，将线段绕点B逆时针旋转的得到线段，连接与射线交于点F． ①如图2，求证：； ②当时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析；② 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形性质，正确作出辅助线直角三角形是解答本题的关键 (1)根据垂线性质得到，进而得到，利用证明，即可得出结论； (2)①过点E作交的延长线于点N，利用证明得到，进一步证明即可得出结论；②分两种情况利用，以及即可求出结果． 【详解】(1)证明：如图， 于点D，于点E， ， ， ， 在与中， ， ， ； (2)①如图，过点E作交的延长线于点N， 则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ②如图2所示，， 由①可知， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ； 如下图，作与点N， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ， ， 综上所述：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$