第07讲 角的平分线的性质（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第07讲角的平分线的性质（核心考点讲与练） 【知识梳理】 一．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 二、用尺规作三角形 1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示． 图4－4－16 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α. 作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)； 图4－4－17 (2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)； 图4－4－18 (3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)； 图4－4－19 　　　图4－4－20 (4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形． [点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示． 图4－4－21 求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c. 作法：(1)作∠DAF＝∠α； 图4－4－22 　　　图4－4－23 (2)在射线AF上截取线段AB＝c； 图4－4－24 (3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形． [点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 3、已知三角形的三条边，求作这个三角形 已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示． 图4－4－25 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 作法：(1)作一条线段BC＝a； 图4－4－26 (2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点； 图4－4－27 (3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形． 图4－4－28 [点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等 【核心考点精讲】 一．角平分线的性质（共6小题） 1．（2021秋•辛集市期末）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（　　） A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．无法确定S1与（S2+S3）的大小 【分析】如图，过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1•AB•PD，S2•BC•PF，S3•AC•PE，然后根据三角形三边的关系求解． 【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图， ∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P， ∴PD＝PE＝PF， ∵S1•AB•PD，S2•BC•PF，S3•AC•PE， ∴S2+S3•（AC+BC）•PD， ∵AB＜AC+BC， ∴S1＜S2+S3． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．（2021秋•梅里斯区期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE＝4，然后计算BC﹣CD即可． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DC＝DE＝4， ∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．（2022春•永定区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝5，CP＝2，则P到AB的距离是（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【分析】过P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PD＝PC，即可求出点P到边AB的距离． 【解答】解：过P作PD⊥AB于D， ∵∠C＝90°， ∴PC⊥AC， ∴AP平分∠CAB， ∴PD＝PC， ∵PC＝2， ∴PD＝2， ∴点P到边AB的距离是2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点角两边的距离相等是解决问题的关键． 4．（2022春•汉寿县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝16，DE＝6，则BE＝　8　． 【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE