浙江省金华市十校2023-2024学年高二下学期6月期末调研考试数学试题

金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试 高二数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分,请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上, 选择题部分(共58分) 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的, 1.已知复数3=2+i,马2=-1+2i,则2-乙,在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D第四象限 2.己知向量,2),b3-xx),且a⊥(+2b),则x A11 B.-11 3. 已知x是实数,则“x+上≥”是“x≥2”的 2 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知函数f-e0s(2x+p0<p<到的对称中心为(怎0小: 则能使函数∫(x)单调递 增的区间为 鬧 c 5函数)-cos产的图象为 6. 已如随机变量X-NL,4),且P≥Px≤020.l,则Pg<X< A.0.4 B.02 C.0.8 D.0.1 十校高二数学第1页(共4页) 7.高二某班男生20人,女生30人,男、女生身高平均数分别为170cm、160cm,方差分别为 170、160,记该班全体同学身高的平均数为X,方差为s2,则 AX>165,52>165B.X<165,s2>165C.X>165,52<165D.X<165,s2<165 8. 已知当x∈[0,)时,f(x)=3”-3,若函数x)的定义域为R,且有+1)为奇函数,+2) 为偶函数,则f(1og1300)所在的区间是 A.(-∞,0) c制 D.0,+oo) 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. 9.在正方体ABCD-AB,CD中, A.AC⊥BD B,直线BD与CD所成角为 C.AC∥平面ABC D.直线BC与平面BB,D,D所成角为 10.投掷一枚质地均的的硬币两次,记“第一次正面向上”为事件A,“第二次正面向上”为事件 B,“至少有一次正面向上“为事件C,,则下列判断正确的是 A.A与B相互独立 B.A与B互斥 c.P(e)-号 D.P(C)=P(A)+P(B)-P(AB) 11.在 4BC中,已知4cosB+3sinB+4sin(C-0=9,AC=6,则 A.A>B B.AB=2BC C. ABC的外接圆直径为10 D. ABC的面积为I2 非选择题部分(共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知集合A={L,2,3,4,5,6,集合B={x∈R1<x<4,则A∩B= 13.若(2x+1)’=a。+ax+a2x2+…+ax3,则a2=_ 14.在三棱锥A-BCD中,AC⊥AB,BD⊥AB,且AC=BD=1O,AB=3,若三棱锥A-BCD的外 接球表面积的取值范围为 661 元,409 则三校锥A-BCD体积的取值范围为 一 4 十校高二数学第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 某校开展一项名为“书香致远,阅读润心”的读书活动,为了更好地服务全校学生,需要对 全校学生的周平均阅读时间进行调查,现从该校学生中随机抽取200名学生,将他们的周 平均阅读时间(单位:小时)数据分成5组:[2,4),[4,6,6,8),[8,10),[10,12 ,根据分组数据 制成了如图所示的频率分布直方图 频率 组距 0.18 0.10 0.05 0.02 024681012时间(单位:小时) (1)求a的值,并估计全校学生周平均阅读时间的平均数: (②)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人,从这6人中随机 选出2人作为该活动的形象大使,求这2人都来自[6,8)这组的概率, 16.(本题满分15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形, PAD为等边三角形,AB-2,E、F分别为AD、BC的 G 中点,EG⊥PF,垂足为G. (I)证明:EG⊥平面PBC: 2若cos∠PAB=-3,求平面PAB与平面PCD形城 的锐二面角的余弦值 17.(本题满分15分) 已知a6,c分别为 MBC三个内角4B,C的对边,且sn24+B-2cosA+)=a+C sin A b (1)证明:b2-d=ac: (2)求cosA+2的最小值 b 十校高二数学第3页(共4页) 18.(本题满分17分) 已知函数(r)-are-1-x-lhr (1)若a2,求函数x)在点M1,1)处的切线方程: (2)求函数x)在区间[1,3】上的最大值g(@)的表达式: (③)若函数x)有两个零点,求实数a的取值范围. 19.(本题满分17分) 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道,若XBm,P),则PX Cp1-p)多项分布是二项分布的推广,同样是重复n次试验,不同的是每次试验的结 果不止2种,而有m种,记这m种结果为事件A,A,,A,它们的概率分别为P,P2,“,Pm 则p≥0,pr+pzt-+pw=1. 现考虑某厂生产的产品分成一等品A1、二等品A、三等品和不合格品,它们出现的 概率分别为p,p2P,P4,从该厂产品中抽出n个,研究各类产品出现的次数的情况,就是 一个多项分布由于产品很多,每次抽取可以看作是独立重复的. (1)若从该厂产品中抽出4个,且p,p2p和p4分别为0.15,0.70,0.10和0.05,求抽出一 等品1个、二等品2个,三等品1个的概率: (2)现从该厂中抽出n个产品,记事件4出现的次数为随机变量X,户1,2,3,4.为了定出这 多项分布的分布列,只需求出事件B一=X=k,X,X=,Xk}的概率,其中(12,3,4 为非负整数,k+k++k=n O求PB): (①对于上述多项分布,求在给定Xk的条件下,随机变量K的数学期望 十校高二数学第4页(共4页)十校高二数学答案 第1页（共 5 页） 金华十校 2023−2024 学年第二学期调研考试 高二数学卷评分标准与参考答案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C C A B C 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分. 题号 9 10 11 答案 ACD ACD BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.{1,2,3} 13．40 14． 25 3,50   四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解:(1)依题意可得( )0.02 0.05 0.1 0.18 2 1a+ + + +  = ，解得 0.15a = .…………… 2 分 又( )3 0.02 5 0.18 7 0.15 9 0.1 11 0.05 2 6.92 +  +  +  +   = ， 即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时. …………………………… 5 分 (2)由频率分布直方图可知 )6,8 、 )8,10 和 10,12 三组的频率的比为 0.15: 0.1: 0.05 3: 2 :1= 所以利用分层抽样的方法抽取6 人，这三组被抽取的人数分别为 3，2，1，…… 7 分 记 )6,8 中的 3 人为 1a ， 2a ， 3a ， )8,10 中的 2 人为 1b ， 2b ，  10,12 中的2 人为 1c ， 从这6 人中随机选出2 人，则样本空间  1 2 1 2 3 2 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 11 2 1 3 1 1 1 1 2 2 1 3 3, , , , , , , , , , , , , ,a a a a a b a b a c a a a b a b a c a b a b a c b b b c b c = 共 15 个样本点；……………………………………………………………………… 10 分 设事件 A：选出的2 人都来自 )6,8 ， 则  1 2 1 3 2 3, ,A a a a a a a= 共 3 个样本点，所以 ( ) 3 1 15 5 P A = = .……………………… 13 分 十校高二数学答案 第2页（共 5 页） P A B C F D G E P A B C F D G E y x z 16. 解：(1)如图，连接 PE,EF，在△PAD 中，PE⊥AD， 在正方形ABCD 中，EF⊥AD， 又因为 ,PE EF PEF PE EF E =、 平面 ， 所以 AD PEF⊥平面 . …………… 3 分 又因为BC AD∥ ，所以BC PEF⊥平面 ， 而EG PEF平面 ，所以EG BC⊥ .……………………………………………… 5 分 因为 ,BC PF PBC BC PF F =、 平面 ，所以EG PBC⊥平面 . …………… 7 分 (2)因为 3 cos 4 PAB = − ,所以 3 4 4 2 2 2 14 4 PB = + +    = ， 则 2 2 13PF PB BF= − = ，则 4 3 13 3 cos 22 2 3 PEF + −  = = −   . …………… 9 分 如图以E 为原点， ,EA EF 分别为 x,y 轴，过E 且垂直 ABCD为 z 轴建系，则 ( ) ( )1,0,0 , 1,2,0 ,A B ( ) ( ) 3 3 1,0,0 , 1,2,0 , 0, , 2 2 G C P   − − −     . 则 ( ) 3 3 0,2,0 , 1, , 2 2 AB PA   = = −     ， ……………………………………………… 11 分 设 ( )1 1 1 1, ,x y z=n 为平面PAB 的法向量，则 1 1 1 1 0 2 3 3 0 y x y z =  + − = ， ， ，取 ( )1 3,0,2=n ， 同理平面PCD的法向量 ( )2 3,0, 2= −n . ………………………………………… 13 分 所以 1 2 3 4 1 cos , 7 7 − = = −n n ， 故平面PAB 与平面PCD形成的锐二面角的余弦值 1 7 . …………………………… 15 分 17. 解：（1）因为 sin(2 ) 2cos( ) sin A B A B A + − + sin(( ) ) 2cos( )sin sin sin sin A B A A B A B A A + + − + = = ……………………………………… 3 分 十校高二数学答案 第3页（共 5 页） 所以 sin sin B b a c A a b + = = ，即 2 2b a ac− = ；…………………………………………… 7 分 (2)因为 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = ，又 2 2b a ac− = ，所以cos 2 c a A b + = ， 因此2 cosb A a c= + ，于是2sin cos sin sin sin( ) sinB A C A A B A= + = + + ， 即sin( ) sinB A A− = ，故 2B A= ，…………………………………………………… 10 分 因为 3C A B A=  − − =  − ，所以0 3 A    ，即 1 cos 1 2 A  ，………………… 13 分 所以 sin 1 cos cos cos 2 sin 2cos a A A A A b B A + = + = + ≥ ， 当且仅当 2 cos 2 A = 时，“=”成立. 故cos a A b + 的最小值为 2 .………………………………………………………… 15 分 18. 解：(1)易知函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 当 a=2 时， 1( ) 2 e ln , 0xf x x x x x−= − −  . 1 1 11 1( ) 2e 2 e 1 ( 1)(2e )x x xf x x x x x − − − = + − − = + − ， 所以在点M 处的切线斜率 0 1 (1) (1 1)(2 ) 2 1 k f e= = + − = ， ……………………… 2 分 又 0(1) 2e 1 0=1f = − − ，即点M 坐标为(1,1)，……………………………………… 4 分 所以点M 处的切线方程为 2( 1) 1 2 1y x x= − + = − . ………………………………… 5 分 (2)因为 1( ) e lnxf x ax x x−= − − ，x>0. 所以 1 1 1 1 1 ( ) e e 1 ( 1)( e )x x xf x a ax x a x x − − − = + − − = + − ， 当 a≤0 时，易知 ( ) 0f x  在(0，＋∞)上恒成立，所以 f(x)在(0,＋∞)上单调递减， 故函数 f(x)在区间[1,3]上的最大值为 0(1) e 1 0= 1f a a= − − − . 当 a>0 时，令 1 1 ( ) exg x a x −= − ，x>0， 则 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 且当 x→0 时，g(x)→－∞，当 x→＋∞时，g(x)→＋∞， 所以 g(x)＝0 在(0,＋∞)上有唯一的一个零点. ……………………………………… 8 分 十校高二数学答案 第4页（共 5 页） 令 1 1 e 0xa x − − = ，则该方程有且只有一个正根，记为 x0(x0>0)，则可得 所以函数 f(x)在区间[1,3]上的最大值为max{f(1),f(3)}， 由 2(1) 1 (3) 3 e 3 ln 3f a f a= − = − −， ,有： 当 2 2 ln 3 0 3e 1 a +   − 时， ( ) (1) 1g a f a= = − ； 当 2 2 ln 3 3e 1 a + − ≥ 时， 2( ) (3) 3 e 3 ln 3g a f a= = − − .…………………………………… 10 分 故 2 2 2 2 ln 3 1 , 3e 1 ( ) 2 ln 3 3 e 3 ln 3, . 3e 1 a a g a a a + −  − =  + − −  − ， ≥ ……………………………………………… 11 分 (3)由(2)可知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 故此时函数 f(x)至多有一个零点，不符合题意. 当 a>0 时，在(0，x0)时，f(x)单调递减，在(x0，＋∞)时，f(x)单调递增； 且 0 1 0 1 e 0 x a x − − = ，所以 0 1 0 1 e x a x − = ， ① 又 x→0 时，f(x)→+∞，当 x→＋∞时，f(x)→＋∞ 为了满足 f(x)有两个零点，则有 0 10 0 0 0( ) e ln 0 x f x ax x x − = − −  . ② 对①两边取对数可得 0 0ln 1 lna x x= − − ， ③ ……… 15 分 将①③代入②可得 0 10 0 0 0( ) e ln ln 0 x f x ax x x a − = − − =  ，解得 a<1. 所以实数 a 的取值范围为 0<a<1.……………………………………………………… 17 分 19. 解：(1)记从该厂产品中抽出 4 个，且恰好抽出一等品 1 个、二等品 2 个，三等品 1 个为事 件M，则 1 2 2 1 24 1 3 2 1 3( ) 4 0.15 3 0.7 1 0.1 0.0882P M C p C p C p= =      = ，………… 4 分 (2)(i) 1 1 2 2 3 3 4 4( ) ({ , , , })P B P X k X k X k X k= = = = = ， x (0，x0) (x0，＋∞) f ′(x) － ＋ f(x) 单调递减 单调递增 十校高二数学答案 第5页（共 5 页） 3 31 1 2 2 4 4 1 1 2 1 2 31 2 3 4 k kk k k k k k n n k n k k n k k kC p C p C p C p− − − − − −=    31 2 41 2 31 1 21 2 3 4 1 1 1 2 2 1 2 3 3 4 ( )!( )! ( )!! ( )! ! ( )! ! ( )! ! 0 ! kk k kn k k kn k n k kn p p p p n k k n k k k n k k k k k − − −− − − =     −  − −  − − −  ！ 31 2 41 2 3 4 1 2 3 4 ! 1 1 1 ! ! ! ! kk k kn p p p p k k k k =     31 2 41 2 3 4 1 2 3 4 ! ! ! ! ! kk k kn p p p p k k k k =       .…………… 10 分 (ii)若把事件A1作为一方，则 1 2 3 4A A A A= + + 作为另一方， 那么随机变量X1分布列为 1 1 2 3 4 1( )P X k X X X n k= + + = −， ， 即X1服从二项分布列为 1 11 1 1 1 1 ! ( ) (1 ) ! ( )! k n kn P X k p p k n k − = =  −  − ， 同理可知： 2 22 2 2 2 2 2 ! ( ) (1 ) ! ( )! k n kn P X k p p k n k − = =  −  − . …………………………… 13 分 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ! ( , ) (1 ) ! ! ( )! k k n k kn P X k X k p p p p k k n k k − − = = =   − −   − − 所以 1 1 2 21 1 2 2 2 2 ( , ) ( | ) ( ) P X k X k P X k X k P X k = = = = = = 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 ! ! (1 ) / (1 ) ! ! ( )! ! ( )! k k n k k k n kn n p p p p p p k k n k k k n k − − − =   − −  −   − −  − 1 1 22 1 1 1 1 2 2 2 ( )! ( ) (1 ) ! ( )! 1 1 k n k kn k p p k n k k p p − −− = −  − − − − .……………………………………… 15 分 所以在给定 2 2X k= 的条件下，随机变量X1服从二项分布，即 1 1 2 2 ( , ) 1 p X B n k p − − 所以此时，随机变量 X1的数学期望为 12 2 ( ) 1 p n k p −  − .…………………………… 17 分