专题1.3 探索勾股定理（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3 探索勾股定理（专项练习）（培优练） 特别提醒：本专题涉及二次根式的运算，建议学习第2章《实数》后再巩固练习 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边为（    ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，于，若，，则（    ） A． B． C． D．5 3．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，在中，，D为中点，，，则（    ） A．4 B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形的顶点和正方形的顶点，均落在长方形的边上，连结．若，且，则长方形的面积是（    ） A．56 B．60 C． D．61 5．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，AD是的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若，，，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，中，， ，点D、E分别在边，上，且，下列结论中：①；②若点D是的中点，则点E也是的中点；③若点D是的三等分点，则的长是，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（20-21八年级下·河南周口·期中）如图，点在等腰直角的斜边上，是以为斜边的等腰直角三角形，若，，则的值等于（    ） A．4 B． C． D．20 8．（20-21九年级下·浙江杭州·期末）《几何原本》关于毕达哥拉斯定理，欧几里德给出证明．如图，中，，以AC，BC，AB为边分别向外作正方形，连结CD，CE，过C作，的面积为，的面积为，若，，则正方形BCGH的边长（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（21-22八年级下·福建厦门·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（    ） A． B．8 C．10 D．34 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）在中，．若，则的面积为 ． 12．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ． 13．（21-22八年级下·湖北十堰·期中）如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为 ． 14．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值为 ． 15．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ． 16．（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）下图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，若把它剪拼成一个正方形，那么拼成的正方形的边长是 ． 17．（21-22八年级上·重庆·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为 ． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． （1）请根据赵爽弦图，用面积法证明：． （2）若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 20．（8分）（2024·四川南充·三模）如图，中，，，于，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（10分）（23-24八年级下·广西南宁·期中）近年来，登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目，通过锻炼可以大大提升人们的身体素质，如图是南宁市大明山的某局部山体模拟图，段长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知，． （1）亮亮猜想山体高为，请判断亮亮的猜想是否正确？如果正确请说明理由，如果不正确，请求出正确的山体高； （2）为加强攀登的安全性，若使得山体斜坡长，请你求出此时山脚C应向外延伸多少m到点F． 22．（10分）（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点C为下方的一动点，．   （1）若，求的长； （2）求点C到的最大距离； （3）当线段的长度最大时，求四边形的面积． 23．（10分）（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 24．（12分）（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，过边长为6的等边的顶点A作直线， （1）如图1，点D在点A的左侧，点E在边上，求证：． （2）如图2，点D在点A的右侧，点E在边的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明：若不成立，写出你的结论，再证明． （3）如图3，点E在边的反向延长线上，若，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了勾股定理；分所求的边为斜边与直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当所求边为斜边时，由勾股定理得：； 当所求边为直角边时，此时边长为4的边是斜边，由勾股定理得：； 即第三边为5或； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，然后根据面积法计算的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，延长到，使，连接，，证明，则，，由四边形内角和，邻补角可求，由勾股定理得，，证明，则，然后作答即可． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．C 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值，勾股定理的应用，如图，过作于，过作于，两线交于点，设，可得，再利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于，两线交于点， ∵，设，正方形和正方形， ∴，，，，， ∴， ∴，即， ∴长方形的面积为： ； 故选：C． 5．B 【分析】过点C作，交射线于点G．证明得到，再运用勾股定理计算即可． 【详解】过点C作，交射线于点G．    ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的周长为， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的意义，勾股定理，熟练掌握三角形全等的证明，灵活用勾股定理是解题的关键． 6．D 【分析】由已知可求得，得出，即①正确，由，得到，利用中点和三等分点可判断的②和③正确 【详解】∵在中，， ， ∴． ∵，， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 当点D是的中点时，， 由①结论可得：， 解得：， 故点E为的中点， 故②正确； 若点D是的三等分点， 则，或， 由①中结论可得：， 解得：． 故③正确． 综上，正确的共有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键 7．C 【分析】连接BE，证明，从而得∠DBE=90°，利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接BE， ∵和是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴， ∴∠CAD=∠CBE=45°， ∴∠DBE=45°+45°=90°， ∴ ， ∴=DE÷=÷=． 故选：C 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 8．C 【分析】过D作DM⊥AC，过E作EN⊥BC，设CF交AB于J，证明≌，≌，分别得到，，分别得到和，根据，可得，设，可求出CJ和FJ，根据CF=13求出x值，从而可得BC． 【详解】解：过D作DM⊥AC，延长CA交DM于点M，过E作EN⊥BC，设CF交AB于J， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在与中， ， ∴≌， ∴， 同理，≌， ∴， ，， ∵， ∴，即， 设，则，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形BCGH边长． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是求出CJ，FJ得到CF． 9．D 【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，勾股定理，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形的边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ， ∴， ∴， 故选：D． 10．C 【分析】根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可． 【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为10， 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 11． 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，先由勾股定理得到，结合，可得，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得：， 如图，当在线段上时， ∴， 在中由勾股定理得：， 如图，当在线段延长线上时， ∴， 在中由勾股定理得：， 综上可知： 的长为或． 13．4 【分析】由勾股定理得，解得，结合计算解答即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理、半圆面积的求法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 14．8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键．证≌，得，同理，． 【详解】解：如下图所示，将图中点命名： ， 在和中， ， ≌， ，， ∴， 同理可证， ∴． 故答案为：． 15．/1.5 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形三边关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．利用正弦求得，由折叠得，结合三角形三边关系得，当三点共线时，取得最小值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∵沿折叠，使点C落在点处， ∴， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1，根据题意，得正方形的边长是， 故答案为：． 17． 【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的长，再由四边形ABCD的面积求出BC的长，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的长． 【详解】解：∵，，， ∴Rt△ACD中由勾股定理可知：， ∵四边形ABCD的面积为49，且 ∴，代入数据：，，， ∴， 在Rt△ABC中由勾股定理可知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、勾股定理的应用等，本题属于基础题，计算过程中细心即可． 18．17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方式的应用： （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：大正方形的面积为，一个直角三角形的面积为，小正方形的面积为， ； （2）解：正方形面积为49，正方形的面积为25， ，， 一个直角三角形的面积为：， ， ， ． 20．(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ． ， ． 在和中， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ． 21．(1)亮亮的猜想不正确，理由见详解，山体高的正确高度为 (2)山脚C应向外延伸m到点F 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键． （1）设，由勾股定理得到，于是得到； （2）由（1）知，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：亮亮的猜想不正确， 理由：，， 设， ， 即， 解得， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ． 答：山脚应向外延伸到点． 22．(1) (2)点到的距离最大为 (3) 【分析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟知等边三角形的性质. （1）根据含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出， 故可得到的长； （2）取的中点，连接，根据直角三角形的性质得到再得到当时， 点到的距离最大为； （3）由（2）可知， 当时线段的长度最大，再求出此时的长，故可求解. 【详解】（1）∵是等边三角形， 又 ， ， ， ， ， ∴的长为； （2）取的中点， 连接，    ， 又点为下方的一动点， ∴当时，点到的距离最大为； （3）连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ， 根据三角形三边关系， 即共线时， 最大， ∴的最大长度为， 此时， 四边形的面积为) ， ∴四边形的面积为：． 23．（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．(1)见解析 (2)不成立，,证明见解析 (3) 【分析】(1)根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出,, 则, 再得出, 则有, 由,即可得证； （2）根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出, 由旋转的性质, 从而证明, 得出, 根据, 即可得证; （3）过作于，根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出, 再根据, 从而证明,得出, 由, 得出, 根据勾股定理求得, 再算得, 得为等腰直角三角形，则，即可求出的值. 【详解】（1）证明: 等边三角形， ∴ ， ∵直线 ， ， ， 在和中, ， ∴, ∴, ∴； （2）不成立，,理由如下： ∵直线, ∴, ∴， 又 在和中, ， ， ∴， ； （3）如图所示,过作于, ∵直线 ， 又 ， 在和中, ， ， ∴， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题关键是熟练运用以上性质进行求证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$