精品解析：山东省滨州市沾化区下河乡实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

2023—2024学年度第二学期核心素养评价一 九年级数学试题 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题，共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题涂对得3分，满分24分 1. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. 如图，，，平分，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C D. 5. 如图，在菱形中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； ②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接． 则下列说法错误的是（　　） A. 是的垂直平分线 B. C D. 若，则 6. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若点，均在抛物线上，则．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，内接于，所对弧的度数为，，的角平分线分别交于、于、两点，、相交于点，以下四个说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动任何一个点到达即停止，连接、交于点，过点作交于点，交于点，连接，在运动过程中则下列结论：①；②；③；④；⑤线段的最小值为． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 计算：________． 10. 分解因式：x3-2x2y+xy2=_____ 11. 不等式组的解集为________． 12. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为________． 13. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___. 14. 如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为______． 15. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是_____． 16. 如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）． 三、解答题：本大题共6个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 18. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 19. 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． （1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； （2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 20. 如图，矩形对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 21. 如图，内接于，平分交于，过点作分别交，延长线于，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，且，求半径． 22. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期核心素养评价一 九年级数学试题 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题，共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题涂对得3分，满分24分 1. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，根据的确定方法解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 如图，，，平分，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，算术平方根，分式的除法及分式的乘方，熟练掌握计算法则是解题的关键； 运用乘法公式展开即可对A选项判断；根据算术平方根得定义计算即可判断B选项；将式子进行约分，注意符号，即可判断C选项；将分子分母分别乘方即可判断D选项 【详解】A． ，原式计算错误，故选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故选项不符合题意； C． ，原式计算错误，故选项不符合题意； D． ，原式计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 4. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 5. 如图，在菱形中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； ②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接． 则下列说法错误的是（　　） A. 是的垂直平分线 B. C. D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识点．熟练掌握相关结论是解题关键．结合尺规作图和菱形的性质即可逐一进行判断． 【详解】解：A．由作法得垂直平分，故A选项正确，不符合题意； ∴， B．∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，故B选项错误，符合题意； C．∵，， ∴中，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； D．作于H，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 中，，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若点，均在抛物线上，则．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据时的函数值大于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据，即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③根据函数图象可知：当时，， ∴，故③正确； ④∵当时，， ∴，故④错误； ⑤∵当时，取到最小值，此时，， 而当时，， ∴， 故，故⑤正确， ⑥∵，， ∴， ∴，故⑥错误； 综上，正确的共4个， 故选：B． 7. 如图，内接于，所对弧的度数为，，的角平分线分别交于、于、两点，、相交于点，以下四个说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得出，再根据、的角平分线分别是、，即得出，从而可求出，；作，，由三角形内心的性质可知，，，从而得出，即证明得出，；由于点F是内心而不是各边中线的交点，故不一定成立． 【详解】∵所对弧的度数为120° ∴ ∴， ∵，的角平分线分别是，， ∴， ∴，故A选项正确，该选项不符合题意； ∴，故B选项正确，该选项不符合题意； 如图，作，， ∵点F是内心， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，该选项不符合题意； 由于点F是内心而不是各边中线的交点，故不一定成立，故D选项不正确，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，求角的余弦值，等腰三角形的性质，三角形内心的性质，三角形全等的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 8. 如图，在边长为的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动任何一个点到达即停止，连接、交于点，过点作交于点，交于点，连接，在运动过程中则下列结论：①；②；③；④；⑤线段的最小值为． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①动点，分别以相同的速度从，两点同时出发，所以，从而得到，再根据正方形的性质，利用证明； ②由得到； ③由得到，从而有，所以； ④由，，把问题转化为证明，结论成立； ⑤在矩形中，，所以问题转化为求的最值，的运动轨迹是以为直径的圆，所以的最小值是中点与的连线段减去的一半． 【详解】解：①动点，分别以相同速度从，两点同时出发， ， ，即， 又，， ，所以①正确； ②由得到，所以②正确； ③， ， 又， ， ，即，③正确； ④，， ， ，即， 又，， ，④正确； ⑤在矩形中，，所以问题转化为求的最值，的运动轨迹是以为直径的圆，所以的最小值是中点与的连线段减去的一半，如图，是中点，的最小值即， ， ， 的最小值是，⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形的综合应用，考查了全等三角形、相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，动点最值问题，解题的关键是选择恰当的判定条件，证明． 第Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 计算：________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算，关键是掌握在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．利用特殊角三角函数值、负整数指数幂的性质、零次幂的性质、绝对值的性质进行计算，再算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：7 10. 分解因式：x3-2x2y+xy2=_____ 【答案】x（x-y）2 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：x3-2x2y+xy2， =x（x2-2xy+y2）， =x（x-y）2． 故答案为：x（x-y）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11. 不等式组的解集为________． 【答案】－6＜x≤13 【解析】 【分析】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解． 【详解】，解得 在坐标轴上表示为： ∴不等式组的解集为﹣6＜≤13 故答案为：﹣6＜≤13． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键． 12. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为________． 【答案】7天 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 两边同时乘以 得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：7天． 13. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___. 【答案】8π 【解析】 【分析】 【详解】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4， 则底面周长为4π， 所以 所以扇形的圆心角的度数为180°， 则侧面展开图的面积为. 故答案为：8π 14. 如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据，从而可以解答本题． 【详解】连接OD，作DE⊥AB于点E， ∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2， ∴， ∴∠A=30°， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA30°， ∴∠DOB=60°，∠ODE=30°， ∵， 在中，∠OED=90°，OD=，∠CDE =30°， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是_____． 【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1）． 【解析】 【分析】利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或-，得出即可． 【详解】解：∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A'的坐标是：（-2，1）或（2，-1）． 故答案为（-2，1）或（2，-1）． 点睛：此题主要考查了位似图形的性质，根据题意得出位似图形对应点坐标性质是解题关键． 16. 如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则_________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 三、解答题：本大题共6个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1）120，99 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名）， 则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：， 故答案为：120，99； 【小问2详解】 解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名）， 则选修“园艺”的学生人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种， 小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 【答案】，或． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出方程的解，根据分式有意义的条件求解即可，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【详解】解：原式＝ ， 方程， 解得，， 当时，， 当时，原式． 19. 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． （1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； （2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式， （2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可． 【小问1详解】 解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， 【小问2详解】 解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 20. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形； （2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形，理由如下， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵直线是线段的垂直平分线，且， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 21. 如图，内接于，平分交于，过点作分别交，延长线于，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）欲证明是切线，只要证明即可； （2）连接，根据等腰三角形判定得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据题意由（1）知是的切线，由切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接，，． 平分， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ∵是半径， 是的切线． 【小问2详解】 证明：如图，连接，，，． 由（1）知是的切线， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ． ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，设与相交于点． 由（1）得，． ， ， ． 由勾股定理得， ， ． 设，则， ， ， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题． 22. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式及顶点坐标，一次函数解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识； （1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求解； （2）设直线为，把，分别代入解析式即可求得直线解析式，即可求解； （3）以为斜边作（点在轴右侧），使得得，过点作，交轴于，交于点，则，根据，得，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长，在中，，，可得，，进而可求得，即可求解 【小问1详解】 解：根据题意可设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 【小问2详解】 解：设直线为， 把，分别代入得， ． 直线为解析式为 令得， ． 【小问3详解】 解：如图，以为斜边作（点在轴右侧），使得， ， 过点作，交轴于，交于点，则， 根据，得 则，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长， 在中，， ， ， 即的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$