第17讲 椭圆及其标准方程（思维导图+4知识点+7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第17讲 椭圆及其标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程； 3．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程. 知识点 1 椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 知识点 2 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导： （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， ( 图 1 )又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点 3 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 知识点 4 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2、两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． 考点一：椭圆定义及其辨析 例1．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·陕西·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-2】（23-24高二下·安徽·月考）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【变式1-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 考点二：求椭圆的标准方程 例2.（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【变式2-1】（23-24高二上·吉林·期末）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【变式2-3】（22-23高二上·陕西咸阳·月考）过点且与椭圆有相同焦距的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D．或 考点三：椭圆方程的参数问题 例3.23-24高二下·重庆·月考）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式3-1】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【变式3-2】（23-24高二下·广西·月考）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·江苏泰州·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 考点四：点与椭圆的位置关系 例4. （23-24高二上·全国·课后作业）已知椭圆的焦点为，点满足，则（    ） A．点在椭圆外 B．点在椭圆内 C．点在椭圆上 D．点与椭圆的位置关系不能确定 【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式4-2】（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【变式4-3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 考点五：利用定义解决焦三角问题 例5.（23-24高二下·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【变式5-1】（23-24高二下·天津·月考）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式5-2】（23-24高二下·浙江·月考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式5-3】（23-24高二上·天津·月考）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 考点六：利用定义解决最值问题 例6.（23-24高二上·河北·月考）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式6-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【变式6-2】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（22-23高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 考点七：与椭圆有关的轨迹问题 例7.（23-24高二下·湖北黄冈·月考）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·上海静安·月考）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【变式7-2】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·月考）已知圆，定点为，M为圆C上一动点，点P是线段的中点，点N在上，点N不在x轴上，且满足，则点N的轨迹方程为 . 【变式7-3】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知M为椭圆上的动点，过点M作x轴的垂线，D为垂足，点P满足，求动点P的轨迹E的方程（当点M经过椭圆与x轴的交点时，规定点P与点M重合．） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·月考）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 3．（22-23高二上·吉林·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 6．（23-24高二下·四川广元·月考）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 二、多选题 7．（23-24高二下·福建福州·月考）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（    ） A． B． C． D．2 8．（22-23高二上·吉林·月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题 9．（23-24高二上·四川遂宁·月考）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 10．（23-24高二下·上海静安·月考）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 11．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·湖北十堰·月考）已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上的动点，且，求的面积. 13．（23-24高二上·河南郑州·月考）（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． （2）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 椭圆及其标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程； 3．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程. 知识点 1 椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 知识点 2 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导： （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， ( 图 1 )又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点 3 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 知识点 4 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2、两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． 考点一：椭圆定义及其辨析 例1．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程可知：， 由椭圆定义可知：到椭圆的两个焦点的距离之和为，故选：D. 【变式1-1】（23-24高二下·陕西·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为，则， 由椭圆的定义可知：， 又因为，解得：.故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·安徽·月考）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【解析】方程表示 动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段．故选：D 【变式1-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【解析】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确．故选：BD. 考点二：求椭圆的标准方程 例2.（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由已知可得椭圆的焦点在轴上，故，，， 则，即.故选：B 【变式2-1】（23-24高二上·吉林·期末）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，，则，，椭圆的标准方程为.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【答案】A 【解析】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以， 设椭圆方程为， 将代入椭圆可得，解得， 所以椭圆方程为，故选：A 【变式2-3】（22-23高二上·陕西咸阳·月考）过点且与椭圆有相同焦距的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由椭圆方程得两焦点坐标为，焦距为， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为， 所以①， 又椭圆经过点，所以②， 联立①②解得， 故所求椭圆的标准方程为. 当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为， 所以③， 又椭圆经过点，所以④， 联立③④解得， 故所求椭圆的标准方程为. 综上，所求椭圆的标准方程为或.故选：D. 考点三：椭圆方程的参数问题 例3.23-24高二下·重庆·月考）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】由题意可知，则有如下， ， 共7种情况.故选：C 【变式3-1】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】方程表示椭圆， ，得，得且．故选：D． 【变式3-2】（23-24高二下·广西·月考）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得.故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·江苏泰州·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，故. 故答案为： 考点四：点与椭圆的位置关系 例4. （23-24高二上·全国·课后作业）已知椭圆的焦点为，点满足，则（    ） A．点在椭圆外 B．点在椭圆内 C．点在椭圆上 D．点与椭圆的位置关系不能确定 【答案】A 【解析】若在椭圆上，则， ，点在椭圆外.故选：A. 【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】由于，所以在内，故选：B 【变式4-2】（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【解析】由题意知，解得．故选：BC 【变式4-3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 【答案】BC 【解析】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离， 即，所以点在圆O上， 并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.故选：BC 考点五：利用定义解决焦三角问题 例5.（23-24高二下·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【答案】A 【解析】因为， 所以的周长为24．故选：A. 【变式5-1】（23-24高二下·天津·月考）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ，可设，， 由题意可知，，，， ，△是直角三角形， 其面积．故选：B． 【变式5-2】（23-24高二下·浙江·月考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以，故选：B. 【变式5-3】（23-24高二上·天津·月考）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】40 【解析】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得，得， 所以． 故答案为：40． 考点六：利用定义解决最值问题 例6.（23-24高二上·河北·月考）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以.故选：B. 【变式6-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【解析】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 【变式6-2】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点， 由椭圆定义得，所以， 又， 所以.故选：B. 【变式6-3】（22-23高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示， 可得：， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3.故选：C. 考点七：与椭圆有关的轨迹问题 例7.（23-24高二下·湖北黄冈·月考）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为、，所以， 又因为的周长为，得， 由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分， 且椭圆中， ，，即， 椭圆方程为， 因为时，三点共线，不能构成三角形． 顶点的轨迹方程为，故选：C． 【变式7-1】（23-24高二下·上海静安·月考）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【解析】设动圆的圆心的坐标为，半径为， 因为动圆与圆：内切，且与圆：外切， 可得， 所以, 根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以动点的轨迹方程为. 所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.故选：C. 【变式7-2】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·月考）已知圆，定点为，M为圆C上一动点，点P是线段的中点，点N在上，点N不在x轴上，且满足，则点N的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】根据已知得是的垂直平分线，则， 圆的圆心，半径为， 则， 因此点N的轨迹是以点为焦点，长轴长为的椭圆， 其中， 故点N的轨迹方程是． 故答案为：． 【变式7-3】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知M为椭圆上的动点，过点M作x轴的垂线，D为垂足，点P满足，求动点P的轨迹E的方程（当点M经过椭圆与x轴的交点时，规定点P与点M重合．） 【答案】 【解析】由题意设，则，， 所以， 又因为，所以，解得， 由规定可知， 所以，即动点P的轨迹E的方程为. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏淮安·月考）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由椭圆，得，则，所以.故选：C. 2．（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【解析】由题意得，，，，所以．故选：B． 3．（22-23高二上·吉林·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的方程为，根据题意知 又椭圆过点，所以，且，计算得 所以椭圆的方程为，选项B正确.故选：B. 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知表示椭圆， 则，解得.故选：A. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上， 根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C 6．（23-24高二下·四川广元·月考）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】由椭圆的定义知 ∴的周长为， ∴当最小时，最大． 当轴，即AB为通径时，最小，此时， ∴的最大值为．故选：B． 二、多选题 7．（23-24高二下·福建福州·月考）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（    ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【解析】由题意可知，， 若这两个顶点为长轴的两个端点时，； 若这两个顶点为短轴的两个端点时，； 若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，；故选：BCD 8．（22-23高二上·吉林·月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义 得，即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得， 所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且， 所以的取值范围为,故D正确.故选:BCD. 三、填空题 9．（23-24高二上·四川遂宁·月考）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【答案】14 【解析】因为椭圆，则， 设椭圆的左右焦点分别为， 因为P与它的一个焦点的距离等于6， 不妨令,由椭圆的定义可知， 则，即点P与另一个焦点的距离等于14. 故答案为：14 10．（23-24高二下·上海静安·月考）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【解析】由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ，解得：. 故答案为：2. 11．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的定义可知动点的轨迹为椭圆，且，， 所以， 又由三角形的性质可知， 当且仅当共线时等号成立， 所以，所以， 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高二上·湖北十堰·月考）已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上的动点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知，， 设椭圆方程为，将点代入椭圆方程， 得，解得（舍），， 所以椭圆方程为 （2）设，， 由余弦定理得，解得 所以，即或， 则三角形面积 13．（23-24高二上·河南郑州·月考）（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． （2）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即， 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆． （2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，， 因为点在圆上，所以， 把，代入上述方程，得，即所求轨迹方程为. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$