专题17 椭圆的简单几何性质12种常考题型归类（119题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题17 椭圆的简单几何性质12种常考题型归类（119题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 由标准方程研究几何性质 题型二 利用几何性质求标准方程 题型三 点与椭圆的位置关系 （一）点和椭圆位置关系的判断 （二）根据点和椭圆位置关系求参数 （三）点和椭圆位置关系的应用 题型四 椭圆的离心率问题 （一）求椭圆的离心率 （二）求椭圆的离心率的取值范围 （三）由椭圆的离心率求参数（范围） 题型五 直线与椭圆的位置关系 （一）判断直线与椭圆的位置关系 （二）判断直线与椭圆的公共点个数 （三）由直线与椭圆的公共点个数求参数 （四）直线与椭圆相切问题 题型六 弦长及中点弦问题 （一）弦长问题 （二）中点弦问题 题型七 椭圆中三角形面积问题 题型八 求椭圆的参数或范围问题 题型九 求椭圆的最值问题 题型十 椭圆中的向量问题 题型十一 椭圆的定点、定值问题 题型十二 椭圆的实际应用问题 知识点1：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识点2：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 知识点3：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 解题策略 1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 2.由椭圆的几何性质求标准方程 此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数． 3.对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日点”)是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3) 如图所示，设椭圆的中心为O，其中一个焦点为F1，B1是短轴的一个端点，则|B1F1|＝a，e＝cos∠OF1B1. 4.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 5．椭圆的通径 如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 6.直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围． 7．直线与椭圆的位置关系的有关问题 解决直线与椭圆的位置关系的有关问题经常采用设而不求的方法，其解题步骤如下： (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，进而求解． 8．求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l＝ 或l＝求解． 9．直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 10.解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)， 则 两式作差即得所求直线方程． 这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关． 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活． 11．解决椭圆＋＝1(a>b>0)中的范围问题常用的关系 (1)－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)离心率0<e<1； (3)一元二次方程有解，则判别式Δ≥0. 12．解决椭圆中的最值、范围问题常用的方法 (1)几何法：若题目中的条件和结论明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题； (2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定函数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定函数的取值范围； ④利用基本不等式求出函数的取值范围； ⑤利用函数值域的求法，确定函数的取值范围． 13.解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 题型一 由标准方程研究几何性质 1．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 4．（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 5.（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 7．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标． 8.（2024·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用几何性质求标准方程 9．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)经过两点. (4)过点且与椭圆有相同焦点. 10．（2024·高二课时练习）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. 11.（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 13.（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 14．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·全国·高二专题练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D． 16.（2024·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 点与椭圆的位置关系 （一）点和椭圆位置关系的判断 17．（2024·全国·高二假期作业）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 18．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 19．（2024·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 （二）根据点和椭圆位置关系求参数 20．（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________． 21．（2024·高二课时练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______． （三）点和椭圆位置关系的应用 23．（2023秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________. 24．（2024·全国·高二专题练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围. 25．（2023秋·湖南郴州·高二校考期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 26．【多选】（2024·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 题型四 椭圆的离心率问题 （1） 求椭圆的离心率 27．（2023秋·高二单元测试）设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______. 28．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·河北·高二校联考期末）如图所示，斜率为的直线交椭圆于M、N两点，交轴、轴分别于Q、P两点，且，则椭圆的离心率为______．    30．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·上海虹口·高二统考期末）已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________. 32．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 33.（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 . 34.（2024·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 35．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为______． 36.（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·高二课时练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 38.（2024·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 39.（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ）    A． B． C． D． （2） 求椭圆的离心率的取值范围 40．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42.（2024·陕西西安·统考一模）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 43．（2024·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（2024·全国·高二期末）已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（2024·上海青浦·高二统考期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（2024·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47.（2024·全国·高三专题练习）已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 48.（2024·甘肃定西·统考模拟预测）过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ． （3） 由椭圆的离心率求参数（范围） 49．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 50．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 51．（2024·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为______. 52.（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 53．（2024·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 54.（2024·吉林长春·校联考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 . 题型五 直线与椭圆的位置关系 （一）判断直线与椭圆的位置关系 55．（2024·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 56．（2023秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 57.（2024·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 （二）判断直线与椭圆的公共点个数 58．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 59．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． （三）由直线与椭圆的公共点个数求参数 60.（2024·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 61.（2024·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 62．（2024·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________. （四）直线与椭圆相切问题 63.（2024·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型六 弦长及中点弦问题 （一）弦长问题 64．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则等于________． 65．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________． 66．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长. 67.（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线被椭圆C截得的弦长为，求k的值． 68．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且在直线l的左上方.若，则的周长是______. 69．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 70．（2024·河南开封·高二统考期末）已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． (1)求点的轨迹方程； (2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． 71．（2024·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积. 72．（2024·广东江门·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 73．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围. （二）中点弦问题 74．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______. 75．（2024·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________. 76．（2024·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________． 77.（2024·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． 78.（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 79．（2023秋·高二课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（　　） A． B． C． D． 80．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________． 81.（2024·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 . 82．（2024·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求． 题型七 椭圆中三角形面积问题 83.（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积． 84.（2024·北京·高二北京师大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 85.（2024·四川·高二统考期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 86.（2024·湖南衡阳·高二校联考期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围． 87.（2024·江西九江·高二江西省湖口中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， (1)求椭圆的方程； (2)椭圆左焦点为，求的面积. 88.（2024·河南洛阳·高二统考期末）已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 题型八 求椭圆的参数或范围问题 89．（2023秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围． 90．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 91．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 92．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________． 93．（2024·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，为椭圆上任意一点，求使的x的取值范围． 94．（2024·全国·高三专题练习）若经过点的直线l与椭圆有A，B两个交点（其中点A在x轴上方），求的取值范围． 题型九 求椭圆的最值问题 95．（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 96．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______. 97．（2024·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 98．（2024·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________. 99．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若，且在上，在圆上，则的最小值为______. 100．（2023秋·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知点是曲线上的动点则的取值范围是_________. 题型十 椭圆中的向量问题 101.（2024·全国·高三对口高考）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 102.（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 题型十一 椭圆的定点、定值问题 103．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆离心率为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点. 104．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点. 105.（2024·广东韶关·高二校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 106．（福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下期末联考数学试题）已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点． (1)证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由． 107．（2024·上海崇明·高二统考期末）已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于. (1)设，求的值； (2)求证：； (3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 108．（2024·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 109．（2023秋·江苏扬州·高二校考期中）已知分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． （1）若点M的坐标为（），求的面积； （2）若点M的坐标为(x0，y0)，且是钝角，求横坐标x0的范围； （3）若点M的坐标为，且直线（）与椭圆W交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值； 110．（2024·高二课时练习）已知点M为椭圆上的任一点，它与此椭圆的短轴两端点、的连线分别交x轴于点P、Q．求证：为定值．（O为坐标原点） 111．（2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知点在椭圆上，点为椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为．记直线的斜率分别为． (1)求证：为定值； (2)若，求证：为定值． 112.（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证： ①为定值； ②点M在定直线上. 113.（2024·四川成都·校考一模）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 题型十二 椭圆的实际应用问题 114．（2024·河北邯郸·高二统考期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 115．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ） A． B． C． D． 116．（2024·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 117．（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 118．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点． (1)求椭圆C的方程． (2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线） 119.【多选】（2024·全国·高二专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（    ） A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等 C． D．与小椭圆相切 $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题17 椭圆的简单几何性质12种常考题型归类（119题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 由标准方程研究几何性质 题型二 利用几何性质求标准方程 题型三 点与椭圆的位置关系 （一）点和椭圆位置关系的判断 （二）根据点和椭圆位置关系求参数 （三）点和椭圆位置关系的应用 题型四 椭圆的离心率问题 （一）求椭圆的离心率 （二）求椭圆的离心率的取值范围 （三）由椭圆的离心率求参数（范围） 题型五 直线与椭圆的位置关系 （一）判断直线与椭圆的位置关系 （二）判断直线与椭圆的公共点个数 （三）由直线与椭圆的公共点个数求参数 （四）直线与椭圆相切问题 题型六 弦长及中点弦问题 （一）弦长问题 （二）中点弦问题 题型七 椭圆中三角形面积问题 题型八 求椭圆的参数或范围问题 题型九 求椭圆的最值问题 题型十 椭圆中的向量问题 题型十一 椭圆的定点、定值问题 题型十二 椭圆的实际应用问题 知识点1：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识点2：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 知识点3：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 解题策略 1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 2.由椭圆的几何性质求标准方程 此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数． 3.对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日点”)是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3) 如图所示，设椭圆的中心为O，其中一个焦点为F1，B1是短轴的一个端点，则|B1F1|＝a，e＝cos∠OF1B1. 4.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 5．椭圆的通径 如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 6.直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围． 7．直线与椭圆的位置关系的有关问题 解决直线与椭圆的位置关系的有关问题经常采用设而不求的方法，其解题步骤如下： (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，进而求解． 8．求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l＝ 或l＝求解． 9．直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 10.解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)， 则 两式作差即得所求直线方程． 这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关． 与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活． 11．解决椭圆＋＝1(a>b>0)中的范围问题常用的关系 (1)－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)离心率0<e<1； (3)一元二次方程有解，则判别式Δ≥0. 12．解决椭圆中的最值、范围问题常用的方法 (1)几何法：若题目中的条件和结论明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题； (2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定函数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定函数的取值范围； ④利用基本不等式求出函数的取值范围； ⑤利用函数值域的求法，确定函数的取值范围． 13.解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 题型一 由标准方程研究几何性质 1．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆中的关系即可求解. 【详解】由于，所以椭圆的焦点在轴上，且，故焦点为， 故选：D 2.（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，可得椭圆标准方程为， 则，，， 所以长轴长为、短轴长为、离心率为. 故选：D. 3.（2024·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为； 当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为． 故选：D． 4．（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】B 【分析】利用椭圆的方程分别求出两个方程的a，b，c的值以及焦点所在位置，即可判断每个选项的正误. 【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上， 所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为， 对于椭圆，因为，则， 可得，且焦点在y轴上， 所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为， 所以A、C、D错误，B正确. 故选：B. 5.（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故选：B. 6．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】先求出、的坐标，再由轴，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面积法可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，， 当时，，解得， 因为轴，所以， 所以， 设到直线的距离为， 因为，所以， 解得， 故选：A 7．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意对直角位置进行分类讨论，当或为直角时可直接求得点横坐标，当为直角时，利用向量构造方程组即可求得结果. 【详解】根据题意可知，， 不妨设，设； ①若为直角，即与轴垂直，此时点的横坐标与，即； 又因为点在椭圆上，所以，解得 所以，点的坐标为或； ②若为直角，此时点的横坐标与，即； 又因为点在椭圆上，所以，解得 所以，点的坐标为或 ③若为直角，则，即 可得，联立椭圆方程可得， 解得，所以 即点的坐标为或或或 8.（2024·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 题型二 利用几何性质求标准方程 9．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)经过两点. (4)过点且与椭圆有相同焦点. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意可得，然后利用椭圆的定义得到，进而即可求解； （2）椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入，解方程组即可求解； （3）椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入，解方程组即可求解； （4）根据题意可知椭圆的焦点坐标为，设所求方程为， 将点代入得即可求解. 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得，可得，所以. 又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程， 得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为． 把两点代入， 得：，解得， ∴椭圆方程为． （4）依题意，知椭圆的焦点坐标为. 设所求方程为， 将点代入得，所以， 则所求椭圆的标准方程为. 10．（2024·高二课时练习）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】. 【分析】由题设可得且焦点为，设椭圆为且，根据点在椭圆上求参数，即可得椭圆标准方程. 【详解】由题设，椭圆焦点为则，令椭圆的标准方程为且， 又在椭圆上，则，整理得，解得或(舍). 所以椭圆的标准方程为. 11.（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由化简可得， 焦点为在轴上， 同时又过点，设， 有，解得， 故选：C 12．（2024·高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为， 设所求椭圆的长半轴长为，则， 故所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 13.（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 14．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆几何性质可知，代入椭圆标准方程即可求得结果. 【详解】根据题意可设椭圆方程为， 易知，且，解得； 所以，故椭圆方程为. 故选：A 15．（2024·全国·高二专题练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到，，即可得到，，，再分类讨论即可得到答案. 【详解】因为短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形， 所以，设，，，， 因为焦点到椭圆上点的最短距离为， 所以，即.，，. 当焦点在轴时，椭圆的方程为， 当焦点在轴时，椭圆的方程为. 故选：B 16.（2024·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为， 于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，， 则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上， 圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径， 所以椭圆的蒙日圆方程为. 故选：B 题型三 点与椭圆的位置关系 （一）点和椭圆位置关系的判断 17．（2024·全国·高二假期作业）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 18．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 19．（2024·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. （二）根据点和椭圆位置关系求参数 20．（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解. 【详解】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上， 所以点(m,n)满足椭圆的范围， 因此，即． 故答案为：. 21．（2024·高二课时练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果. 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 22．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围. 【详解】∵点在椭圆的内部， ∴，整理得，解得． 故答案为： （三）点和椭圆位置关系的应用 23．（2023秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解. 【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点， 直线与椭圆恒有公共点， 即点在椭圆内或椭圆上，，即， 又，否则是圆而非椭圆， 或，即实数的取值范围是. 故答案为： 24．（2024·全国·高二专题练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意直线过的定点在椭圆上或椭圆内，进而，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题知直线l：过定点， 因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内， 所以，由于，所以， 所以实数a的取值范围是 25．（2023秋·湖南郴州·高二校考期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，点在椭圆的外部.进而可推得，则，开方即可得出答案. 【详解】由题意可得，点在椭圆的外部. 所以，，所以. 又椭圆焦点在轴上，所以，所以. 又，所以，所以. 故选：C. 26．【多选】（2024·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据轨迹是以斜边为直径的圆，判断在椭圆内或椭圆外即可. 【详解】由题意可得，椭圆的焦点分别为 ，， 因为 ，所以点M在以 为直径的圆上，则短半轴长为 ，所以点M在椭圆内，故A正确； 由 得，则该椭圆的长半轴长为 ，所以点M在椭圆外，故D正确. 故选：AD 题型四 椭圆的离心率问题 （1） 求椭圆的离心率 27．（2023秋·高二单元测试）设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______. 【答案】/0.625 【分析】分别表示出、，在中由计算可得结果. 【详解】如图所示，    由图知， 所以，， 又因为，， 所以， 所以在中，由得， 解得：， 所以椭圆E的离心率为. 故答案为：. 28．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可. 【详解】在中，， 设，由题意知,， 由余弦定理得,， 由椭圆定义知，则离心率. 故选:C. 29．（2024·河北·高二校联考期末）如图所示，斜率为的直线交椭圆于M、N两点，交轴、轴分别于Q、P两点，且，则椭圆的离心率为______．    【答案】/0.5 【分析】数形结合，表示出M、N点的坐标，代入方程，找到的关系，再结合，即可求解椭圆的离心率； 【详解】设直线由图可知，， 设直线由图可知，， 又因为，设在轴上投影长度为， 所以 代入，解得：， 上式除以下式得：， 等式两边同时除以，解得：即： 又因为，解得，所以椭圆的离心率为， 故答案为：；    30．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，所以， 由，得， 又，所以， 在中，由， 得，即，所以， 即的离心率为. 故选：A.    31．（2024·上海虹口·高二统考期末）已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________. 【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，设的边长为，即可求出、、，从而求出、，即可求出离心率. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 因为是等边三角形，、分别是边和的中点， 所以，设的边长为， 则，即，，， 又，所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 32．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，， 因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为， 又该圆与直线相切，如图，      所以圆心到直线的距离等于半径，即，则， 因此，即， 所以离心率为. 故选：C. 33.（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由题知，，且，即， ∴，∴，∴，∴. 故答案为：    34.（2024·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限， 联立，可解得， ，，又， ，， 又，， ， ， ， ， ，又， 该椭圆的离心率． 故选：C． 35．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为______． 【答案】/ 【分析】得到椭圆切线为，将其与椭圆方程联立，利用判别式为0解出，则可得到离心率. 【详解】由题意知，解得，将直线沿着其法向量方向向右下方平移单位， 因为直线倾斜角为，那么在竖直方向向下移动了2个单位，此时直线为，且与相切． 联立，得0， 所以，解得，所以，即， 所以，即的离心率为． 故答案为：.    36.（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，椭圆的左顶点为， 因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则， 所以，可得， 又因为，即， 代入可得，所以离心率为. 故选：D. 37．（2024·高二课时练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， ，， 故椭圆的离心率. 故选：B. 38.（2024·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形． 设，则． 因为，所以， 又因为，所以，所以． 在中，， 由余弦定理得， 所以，所以． 故选：B.    39.（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形， 腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即， 而椭圆的短轴长，即， 所以椭圆的离心率 故选：D （2） 求椭圆的离心率的取值范围 40．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分和，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围． 【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个， 设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又，消去整理得： ，解得(舍去)或， 同得，所以，即， 若，则，又，消去整理得： ，解得或， 舍去． 所以，所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 故选：D． 41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出椭圆方程，由于不在椭圆的外部，得到，结合，得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的方程为， 因为不在椭圆的外部， 所以，因为， 所以，化简得：， 同除以得：，结合， 解得：， 故. 故选：B 42.（2024·陕西西安·统考一模）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意， 在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， 由椭圆的定义得， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 43．（2024·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，用坐标表示出等式，点在椭圆上，适合椭圆方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等关系，求得的范围． 【详解】设，则，， 由，， 化为，，整理得， ，，解得． 44．（2024·全国·高二期末）已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，消去即得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，由得， ，，即， 由在椭圆上，故，即， 消去得，， 根据椭圆上点满足，又两点不同，可知， 整理得，故，故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围. 45．（2024·上海青浦·高二统考期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 46．（2024·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别， 所以，得到， 又，所以，得到，故. 故选：C. 47.（2024·全国·高三专题练习）已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为∴． 设，则 ∴当，即时，取最大值，此时离心率. 故选：C 48.（2024·甘肃定西·统考模拟预测）过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，又椭圆左焦点    若，则，即， 所以，即 所以椭圆的离心率； 当倾斜角为，直线的斜率存在设为，则， 设，则，所以①，    若，则②， 联立①②，结合可得， 由，，所以，且， 所以，则，故， 所以，即，故 综上，椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. （3） 由椭圆的离心率求参数（范围） 49．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 【答案】C 【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答. 【详解】椭圆的离心率， 当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得， 当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得， 所以的值可能是3或. 故选：C 50．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案. 【详解】当时，则；当时，则； 所以推不出，充分性不成立； 当时，则，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 51．（2024·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为______. 【答案】 【分析】根据间的关系知，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，得到，所以长轴与短轴的比值为. 故答案为：. 52.（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 【答案】C 【详解】椭圆的离心率， 当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得， 当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得， 所以的值可能是3或. 故选：C 53．（2024·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 54.（2024·吉林长春·校联考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 . 【答案】 【详解】根据题意知，由得， 不妨设点在第一象限，则点的坐标为. 由知，且， 从而得到点的坐标为. 将点的坐标代入椭圆C方程得， 整理得，即， 所以. 又因为，所以，即实数λ取值范围为. 故答案为：. 题型五 直线与椭圆的位置关系 （一）判断直线与椭圆的位置关系 55．（2024·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可. 【详解】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 56．（2023秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 57.（2024·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. （二）判断直线与椭圆的公共点个数 58．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案. 【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示： 根据图像知有个公共点. 故选：B 59．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断. 【详解】直线与：没有交点， 所以直线与：相离， 所以，得， 故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，所以 ，即在椭圆内部， 而易知在椭圆外， 所以过点、两点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B （三）由直线与椭圆的公共点个数求参数 60.（2024·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则， 将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得， 则，解得. 故选：C. 61.（2024·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线过定点， 所以，解得①. 由于方程表示椭圆，所以且②. 由①②得的取值范围是. 故选：C 62．（2024·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________. 【答案】 【分析】法1用代数法转化为一元二次方程只有两个相等实根求解；法2用椭圆在椭圆上一点处的切线方程的形式求解；法3用椭圆的定义可求解. 【详解】法1：联立方程得， 得， 所以，得，所以. 法2：设，则处切线， 可化为，比对得， 代入椭圆方程得：，得. 得，所以，得，所以. 法3：椭圆长轴长，焦点. 由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足， 椭圆上外部的每一个点P，均满足，直线与椭圆有且仅有一个公共点P， 则对于直线上任意一点，满足，当且仅当在点处时，等号成立， 即当在处时，取得最小值.求得关于直线对称的点为， 所以， 因此，椭圆方程为，P的坐标是. 故答案为：； （四）直线与椭圆相切问题 63.（2024·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B 题型六 弦长及中点弦问题 （一）弦长问题 64．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则等于________． 【答案】 【分析】求出直线方程，联立直线与椭圆，由根与系数的关系，利用弦长公式求解. 【详解】由得＝1， ， ，直线l的方程为． 由得. 设， 则，， . 故答案为： 65．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________． 【答案】 【分析】设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值. 【详解】在椭圆中，，，则，故点， 设点、，由题意可知，直线的方程为，即， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 所以，. 故答案为：. 66．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长. 【答案】 【分析】根据定点坐标得到值，再根据离心率和关系即可求出，最后联立直线方程解出交点横坐标，最后利用弦长公式即可得到答案. 【详解】由已知得，且， 即，所以，即， 解得，所以椭圆方程为. 将与联立， 消去得， 所以， 所以所求弦长.    67.（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线被椭圆C截得的弦长为，求k的值． 【答案】 【详解】设直线与椭圆的交点为， 联立消去整理得， 解得， 所以弦长， 整理得即解得，. 68．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且在直线l的左上方.若，则的周长是______. 【答案】 【分析】确定点P在椭圆上，设，联立椭圆方程可得根与系数的关系，化简可得，结合题意可求得，由此可求出A，B的横坐标，即可求得，即得答案. 【详解】由题意知满足，即P在椭圆C：上， 设，    联立，得， 需满足，即， 又因为在直线l的左上方，故，即，即； 若A或B的横坐标为，则， 则或，与不符， 故A或B的横坐标不可能为为； 则，， 则 上式中，分子等于 ，即， 又，则与x轴围成的三角形为正三角形， 故， 故直线PA的方程，联立， 可得，其两根为， 则，即， 故； 同理求得，， 而， 故的周长是, 故答案为： 【点睛】难点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，求解三角形周长，即要求出直线和椭圆相交的弦长，难点在于计算的复杂以及计算量较大，因此要十分细心. 69．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将代入椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程；解法二：由椭圆定义求出，结合焦点坐标，求出，得到答案； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出弦长，求出最大值和直线方程. 【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为． 由题意知，， 解得． 所以，椭圆C的标准方程为． 解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为． 根据椭圆定义得， 即． 又因为，所以， 所以，椭圆C的标准方程为． （2）由，消去y，得， 因为直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 解得． 设，， 则，， 所以 当时，取最大值，此时直线l的方程为 70．（2024·河南开封·高二统考期末）已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． (1)求点的轨迹方程； (2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)点的轨迹是椭圆，方程为 (2)或 【分析】（1）利用相关点法求解点的轨迹方程，得到点的轨迹为椭圆； （2）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用垂径定理得到，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出，从而列出方程，求出答案. 【详解】（1）点，点，则点，由点是的中点，得，， 因为在圆上，所以， 可得，即，所以点的轨迹是椭圆。 （2）若直线的斜率不存在，则， 将代入中，解得，则， 将代入中，解得，则， 而，舍去； 若直线的斜率存在，设为，则， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 则， 联立得， 设，，则，， ， 由， 得，解之得． 综上所述，直线的方程为或． 71．（2024·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，写出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的纵坐标，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解：由椭圆的定义可得， 所以，，又因为，则， 所以，椭圆的标准方程为. （2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即. 联立可得，解得，，    所以，. 72．（2024·广东江门·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线方程可确定焦距，再结合离心率和椭圆的关系可求得椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据三角形面积公式可知所求面积之比为，利用可构造不等式求得的范围，从而确定面积之比的取值范围. 【详解】（1）双曲线的方程可化为，其焦距为， 设椭圆的焦点为，，解得：， 又椭圆的离心率，，， 椭圆的方程为. （2）   由（1）知：，，， 由题意知：直线斜率不为，则可设，，， 由得：，则， ，； ，， ； ， 又，， ，即， 又，， 设，则，，解得：， ，即与的面积之比的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题重点考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积相关问题的求解；解题关键是能够将问题转化为变量的取值范围的求解问题，利用非对称韦达的处理方法，结合的范围可构造不等式求得结果. 73．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题的周长为，据此可得答案； （2）先讨论两直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到得关于的关系式，由此得解. 【详解】（1）设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率. （2）由（1）可知，又，所以， 所以椭圆的方程为. ①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积. ②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以. 所以. 设的方程为，同理可得. 所以四边形的面积 ， 因为，当且仅当时取等号.所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为.    （二）中点弦问题 74．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______. 【答案】 【分析】设这条弦的两个端点分别为、，由中点坐标公式得，利用点差法可求得直线的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程. 【详解】解：已知椭圆的弦被点平分， 设这条弦的两个端点分别为、， 则，得， 由于点、均在椭圆上，则， 两式相减得，可得， 即， 所以直线的斜率为， 因此，这条弦所在直线的方程为，即. 故答案为：. 75．（2024·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________. 【答案】 【分析】用点差法即可求出直线的斜率，再用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】设，，根据中点坐标公式，，， 且，，两式相减，化简可得， 所以，即直线的斜率为， 根据点斜式，得到直线的方程为，即. 故答案为： 76．（2024·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________． 【答案】/ 【分析】根据题意利用点差法分析运算即可. 【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则， 可得， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理得，即 所以. 故答案为：. 77.（2024·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【详解】由题意， 在椭圆中，一个焦点为， 设椭圆的方程为, ∴， 设直线与椭圆的交点为,弦中点为 ∵直线截得弦的中点的横坐标为， ∴，， ∴ 即 ∴. ∴，解得： ∴椭圆的方程为：， 故答案为：. 故答案为：.    78.（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得 ，因为线段AB的中点为，所以，， 所以，由，得，又因为，解得，， 所以椭圆C的方程为． 故选：A． 79．（2023秋·高二课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法计算即可. 【详解】设，M、N中点为D ，则， 由题意得： 因为M、N在椭圆上，则， 两式相减整理得， ∴. 故选：B. 80．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可. 【详解】设斜率为直线方程为：， 代入椭圆中，消元整理得： ， 线段的中点为，设， 则， 所以， ， 所以，消去得：， 所以线段的中点为的轨迹方程为：， 如图所示： 的轨迹即为线段， 由或， 所以， 所以的轨迹长度为： ， 故答案为：. 81.（2024·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设，，，则， 两式相减得，即， 所以，因为是垂直平分线，有， 所以，即，化简得， ∵，∴. 故答案为： 82．（2024·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，然后根据斜率之积为列方程整理可得； （2）方法一：利用点差法求得直线斜率，再联立直线方程和椭圆方程消元，由弦长公式可得； 方法二：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和点Q坐标求出直线方程，然后由弦长公式可得. 【详解】（1）设，由题可得， 则． 整理得， 故曲线C的方程为． （2）（法一）设， 则两式相减得，则 ， 因为线段MN的中点，所以，所以， 故直线l的方程为，即， 联立方程组，消去y整理得， ，则， 则.      （法二）易知直线斜率存在，设直线方程为， 联立方程组，消去y整理得， ， 则 ,       又， 可求得，即有， 则. 题型七 椭圆中三角形面积问题 83.（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积． 【答案】的周长为，面积为． 【详解】如下图所示：    由椭圆方程可知， 根据椭圆定义可知， 所以的周长为， 即的周长为； 易知， 又直线的倾斜角为，则， 所以直线的方程为，设 联立整理可得， 由韦达定理可知； 由图可知的面积为； 所以的周长为，面积为 84.（2024·北京·高二北京师大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知有 解得 所以椭圆的方程为. （2）由 消去，整理得. 设，则 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为 85.（2024·四川·高二统考期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知， 所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆， 则，所以， 因此动点的轨迹的方程是. （2）如图：    不妨设点在轴上方，连接， 因为分别为有中点，所以， 所以， 当直线的斜率不存在时，其方程为，则，， 此时； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 设，，显然直线不与轴重合，即， 联立，得， 则，， 所以， 又点到直线的距离， 所以，令， 则， 因为，所以， 所以，所以. 综上，，即的最大值为. 86.（2024·湖南衡阳·高二校联考期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得， 所以椭圆的方程为． （2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为， 由消去整理得，则， 的面积 ，令，对勾函数在上单调递增， 则，即，从而，当且仅当时取等号， 故面积的取值范围为． 87.（2024·江西九江·高二江西省湖口中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， (1)求椭圆的方程； (2)椭圆左焦点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为. （2） 消去，整理得，解得，， 如图    则，，则， 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为. 88.（2024·河南洛阳·高二统考期末）已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题意可得，且为线段的垂直平分线，所以，， 因为， 所以，点的轨迹是以点、为焦点的椭圆， 设椭圆的标准方程为， 则，，则， 因此，曲线的轨迹方程为. （2）解：若直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意. 设直线的方程为，联立可得， 则， 设点、，则，， 则， 所以，， 解得或， 故直线的方程为或或. 题型八 求椭圆的参数或范围问题 89．（2023秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围． 【答案】. 【分析】利用两点间距离公式及椭圆方程可得，再利用椭圆的有界性即求. 【详解】由题可设，且， 由，可得， ∴又， ∴， ∴， 由，可得，即， ∴实数m的取值范围为. 90．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， ∴， ∴，代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部， ∴， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：A． 91．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 【答案】详见解析. 【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证. 【详解】由，可得， ∴， 又， ∴， 即. 92．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案． 【详解】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，， 所以该圆的方程为：， 由，消去y得：解得， 又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上， 由于的左右顶点横坐标分别为-3和3， ∴为使为锐角， 的取值范围是 又动点坐标在第一象限， 故答案为：． 93．（2024·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，为椭圆上任意一点，求使的x的取值范围． 【答案】 【分析】由题意，可得，所以，即，又，联立即可求解. 【详解】解：由题意得， 因为点不可能在线段上，所以若，则， 所以，化简得， 又因为，所以消去化简得，即， 所以使的x的取值范围是. 94．（2024·全国·高三专题练习）若经过点的直线l与椭圆有A，B两个交点（其中点A在x轴上方），求的取值范围． 【答案】. 【分析】设，利用椭圆的性质可得，然后利用两点间距离公式可得，进而即得. 【详解】设，则，又点A在x轴上方， ∴，，又， ∴， 由，可得， ∴，即的取值范围为. 题型九 求椭圆的最值问题 95．（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可知，由两点之间的距离公式可得，，再根据二次函数的单调性，即可求出结果. 【详解】解：因为点是椭圆上一点， 所以， 又，， 所以，， 设，， 则， 所以函数在区间上单调递减， 所以，， 所以， 所以函数点P到点的距离的取值范围. 96．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______. 【答案】 【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答. 【详解】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且， 于是得， 因，则当时，， 所以的最大值为. 故答案为： 97．（2024·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 98．（2024·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可. 【详解】不妨设点为，，则，则 设圆的圆心为，则坐标为 则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差. 又 当时，，当且仅当时取得等号； 故. 故答案为：. 99．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若，且在上，在圆上，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】结合点与圆的位置关系可得，证明等于点到直线的距离的一半，利用平面几何结论求的最小值. 【详解】如图，，当且仅当为线段与圆的交点时等号成立； 设点的坐标为，则，， ， 所以等于点到直线的距离的一半， 过点作直线的垂线，垂足记为，过点作直线的垂线，垂足记为， 则 当且仅当点为线段与椭圆的交点时等号成立，此时点的坐标为，所以的最小值为1， 故答案为：1. 100．（2023秋·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知点是曲线上的动点则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】画出动点的轨迹，再利用的几何意义可求的取值范围. 【详解】方程即或， 即或， 所以对应的图形如图所示（椭圆及其内部的线段）： 设，则， 当在椭圆上时，， 而，故， 当在椭圆内部的线段上时，有， 又此时，而， 故. 故答案为：. 题型十 椭圆中的向量问题 101.（2024·全国·高三对口高考）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【详解】设，， 则， 则， 因为点为椭圆上，所以有：，即， 所以， 又因为， 所以当时，的最大值为6. 故选：A. 102.（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 【答案】(1); (2). 【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以． 又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而． 所以椭圆的标准方程． （2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为． 联立直线的方程与椭圆方程， 消去，得，其中． 设，，则，． 因为，所以 ． 因此的值是． 题型十一 椭圆的定点、定值问题 103．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆离心率为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，可求得点的坐标，同理可得出点的坐标，求出直线的方程，并化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）解：由已知条件可得，解得：. 所以，椭圆的方程为. （2）解：设直线的方程为，直线的方程为，则. 联立， 因为点在椭圆内，则直线、与椭圆均相交，    设点、， 所以，，则， 所以，线段的中点为. 同理可得，线段的中点为 所以直线斜率为 . 所以直线方程为： ， 所以，直线的方程可化为， 由可得，因此直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 104．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据离心率设，故，根据的最大值可求，故可求椭圆的标准方程. （2）利用“知点求点”可得的坐标（用表示），取，则可证明共线，故可证直线PQ经过定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为. 因为离心率为，故，故可设，故. 设，则， 当且仅当时等号成立，故即，故. 故，所以椭圆方程为：. （2）   由（1）可得. 直线的方程为， 由可得， 该方程必有一根，故即， 所以，同理，. 取，若，则或， 故，此时直线的方程为：，过定点； 若， 则，， ， 故，故共线，即直线过定点， 综上，直线PQ经过定点. 105.（2024·广东韶关·高二校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 106．（福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下期末联考数学试题）已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点． (1)证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)定点，理由见解析 【分析】（1） 先设，再根据距离比计算轨迹，最后计算斜率积即可； （2）先设，再根据为直径的圆过定点，计算可得. 【详解】（1）设，则有， 整理得；   设,，，则，， 由 ，两式相减：， 整理得，，， 即直线与直线的斜率之积为定值． （2）显然直线的斜率不为0，设直线方程为， 联立方程组，消去得：， 所以， ， ，     ， 直线， 从而点， 根据椭圆的对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点在轴上，可设为， 以为直径的圆过定点，则， 又，， 从而， 整理得， 故 ，解方程组可得， 即以为直径的圆过定点． 107．（2024·上海崇明·高二统考期末）已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于. (1)设，求的值； (2)求证：； (3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据离心率、及计算可得； （2）依题意可得，，即可求出，求出直线的方程，即可求出点坐标，再求出向量的坐标，即可得证； （3）先求出椭圆的方程，设出直线方程，联立后得出、两点纵坐标的关系式，根据、的坐标表示出直线的方程，令，化简得出点的横坐标为定值. 【详解】（1）因为，且，解得，. （2）因为，所以，， 又、，， 所以，所以直线：，令，解得， 所以， 所以，， 所以. （3）当时由（2）可知，，所以椭圆方程为， 设直线方程为，，则， 联立得， 则，，. 直线的方程为， 令得 ， 故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 108．（2024·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，又，解得， 所以椭圆方程为 （2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 109．（2023秋·江苏扬州·高二校考期中）已知分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． （1）若点M的坐标为（），求的面积； （2）若点M的坐标为(x0，y0)，且是钝角，求横坐标x0的范围； （3）若点M的坐标为，且直线（）与椭圆W交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值； 【答案】（1）；（2）；（3）定值为0，证明见解析. 【分析】（1）把M 代入椭圆方程，可得，由可得答案； （2）由余弦定理得，由是钝角得，结合可得答案； （3）设，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和 可得答案. 【详解】（1）因为点M 在椭圆上，所以，因为，所以， 因为，所以，， 所以. （2）因为点M在椭圆上，所以， 由余弦定理得 ， 因为是钝角，所以， 又因为，所以，解得， 的范围为. （3）设， 由得， ，， 又，所以 ， 即有为定值. 110．（2024·高二课时练习）已知点M为椭圆上的任一点，它与此椭圆的短轴两端点、的连线分别交x轴于点P、Q．求证：为定值．（O为坐标原点） 【答案】证明见解析 【分析】设点坐标为，分别写出直线和的直线方程，求得点P、Q的坐标表示，即可得出的表达式并联立椭圆方程化简可得到证明. 【详解】根据题意可知，不妨设，， 点M与短轴两端点、不重合，设， 所以直线的方程为，可得其与交轴的交点， 同理，的方程为，可得其与交轴的交点， 所以 又因为M在椭圆上，即，整理得， 即， 所以为定值. 111．（2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知点在椭圆上，点为椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为．记直线的斜率分别为． (1)求证：为定值； (2)若，求证：为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设出切线方程，代入椭圆方程，由判别式等于0即可得两切线斜率的积； （2）设，由（1）可得，根据椭圆方程用表示可得，再利用即可求解. 【详解】（1）依题意可设过点的切线方程为， 联立，消去得， 由， 可得是方程的两解， 所以， 又因为点在椭圆上，即， 所以. （2）设，由（1）可得，即，所以， 又由得， 即， 所以 . 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 112.（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证： ①为定值； ②点M在定直线上. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，． 从而． ②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 113.（2024·四川成都·校考一模）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，可得，解得， 又因为，所以， 因为点在椭圆上，所以， 解得，，，所以椭圆的标准方程为． （2）证明：当与轴重合时，，所以 当不与轴重合时，设，直线的方程为， 由整理得， 则， 故 圆心到直线的距离为，则， 所以，即为定值． 题型十二 椭圆的实际应用问题 114．（2024·河北邯郸·高二统考期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 【答案】D 【分析】根据椭圆方程表示近日点距离与远日点距离，再根据条件得到两个方程求解即可. 【详解】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距， 近日点距离为，远日点距离为， 近日点距离和远日点距离之和是， 近日点距离和远日点距离之积是， 解得，则. 故选：D. 115．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 116．（2024·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 117．（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解. 【详解】由题设知，解得， 所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为． 故选：C. 118．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点． (1)求椭圆C的方程． (2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出T点，利用斜率之积为列出方程化简即可；（2）当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分． 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设，直线的斜率分别为，，由题意知，，由得，整理得，故椭圆C的方程为． （2） 当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立， 只需证明法线平分． 设M点坐标为，则． 设与椭圆切于M点的切线方程为， 与椭圆方程联立得消去y得：，， 得． 所以切线斜率为，所以法线斜率为，法线方程为， 令，可得法线与x轴交点N的横坐标为， 易知，，所以，，， 所以，， 所以， 则或（舍去）， 所以法线MN平分，所以原结论成立． 119.【多选】（2024·全国·高二专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（    ） A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等 C． D．与小椭圆相切 【答案】BC 【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为， 设点、、， 以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设小椭圆的方程为， 则大椭圆的方程为， 对于A，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，A错； 对于B，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，B对； 对于C，当直线与坐标轴垂直时，则点关于坐标轴对称，此时点为线段的中点，合乎题意，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 联立可得， ，可得， 此时，， 联立， 可得， 由韦达定理可得， 即点为线段的中点，所以，，C对； 对于D，当点的坐标为时，将代入可得，不妨取点、，则，若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，D错. 故选：BC $$