专题5 综合与实践(word练习)-【卓文中考·精准巧练】2024年陕西中考数学复习

专题5　综合与实践 [针对陕西中考最后一题，必考] 类型1　探究与证明 1.[2022陕西，26]问题提出 （1）如图①，AD是等边三角形ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为　　　　； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°.过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB，BC于点O，E，求四边形OECA的面积； 问题解决 （3）如图③，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC.工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD； ②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E； ③以点A为圆心，AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP，BP，得△ABP. 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论. 第1题图 2.[2023高新一中七模]劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件. 问题提出 （1）如图①，是一块三角形板材（△ABC），希望能够裁出一块以BC为底边的等腰三角形部件.请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图.保留作图痕迹，不写作法）； 问题探究 （2）如图②，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中∠C＝90°，∠ADC＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6.小明和小丽通过测量和计算发现：若连接BD，则△ABD就是一个等腰三角形.请你说明理由，并求出△ABD的面积； 问题解决 （3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来，他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形.你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，并说明理由. 第2题图 类型2　利用函数解决线段及面积问题 3.[2023交大附中二模]问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，AB＝1，则△ABC的面积为　　　　； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，AB＝5，CB＝6，AC＝4.点O是三个内角角平分线的交点，点M在BC边上，且BM＝1.在边AB上找一点N，使得四边形OMBN面积是△ABC面积的，求出此时AN的长度； 问题解决 （3）如图③，某开发区将设计改造一块五边形ABCDE空地.已知AB＝AE＝100 m，∠EAB＝60°，按照设计需求DE∥AB，AE∥BC，且满足DE＋BC＝120 m.现设计规划在阴影部分△ACD区域种植花卉.公司为了节约成本，满足设计需求，种植花卉阴影部分即△ADC区域的面积尽可能小.请你计算出种植花卉△ADC面积的最小值. 图① 图② 图③ 第3题图 4.[2021陕西，26]问题提出 （1）如图①，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积（结果保留根号）； 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O，P，M，N分别在边BC，CD，AE，AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC.已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800 m，BC＝1 200 m，CD＝600 m，AE＝900 m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由. 第4题图 类型3　图形的面积数量关系 5.[2023高新一中五模]问题探究： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　　　　； （2）如图②，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点M在AD上，点N在BC上.若MN平分菱形ABCD的面积，且线段MN的长度最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN的长度（保留作图痕迹，不写作法）； 问题解决： （3）合理开发利用土地资源能为人类持续创造更多财富，如图③，现有一块四边形空地ABCD计划改造利用，经测量AB＝60 m，AD＝80 m，AB∥CD，∠ABC＝∠C＝90°，∠D＝60°，P是BC边上的一个移动观测点，过AB边上一点E修一条垂直于AP的笔直小路EF（小路宽度不计），交CD边于点F，在垂足M处建一凉亭，在凉亭M和顶点B之间修一条绿化带（宽度不计），请问是否存在EF平分四边形土地ABCD的面积？若存在，求出在EF平分四边形土地ABCD的面积时绿化带BM长度的最小值；若不存在，请说明理由. 图① 图② 图③ 第5题图 6.[2023西工大附中一模]【问题提出】 （1）如图①，AB为半圆的直径，O为圆心，C，D为半圆上的两点.若OB＝5，BC＝6，则sin∠BDC＝　　　； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点P在直线AB的右侧，且满足tan∠APB＝2，求点P到CD的最短距离； 【问题解决】 （3）如图③，有一块矩形ABCD型板材，AB＝4 m，AD＝6 m，由于工作需要，工人王师傅想在这块板材上找一点P，裁出△ABP和△ADP，并满足cos∠APB＝，S△ADP∶S△ABP＝3∶2，请问王师傅的设想可以实现吗？如果可以，请帮他计算所裁得的△ABP的面积；如果不能，请说明你的理由. 图① 图② 图③ 第6题图 类型4　利用垂线段最短、对称解决线段最值问题 7.[2023铁一中四模]问题发现 （1）如图①，已知正方形ABCD，G为CD边上一点（不与端点重合），以CG为一边作正方形CGFE，连接BD，BF，DF.若AB＝4，则△BDF的面积为　　　　； 问题解决 （2）如图②，已知有一四边形场地ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝AB，测得BC＝400米，现在需要修建一块三角形区域DEF为休闲区，其中E为BC的中点，且EF⊥CD于点F，请问三角形地块DEF的面积能否取到最大值？若能，请求出这个最大值；若不能，试说明理由. 图① 图② 第7题图 8.[2018陕西，25]问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为　　　　； 问题探究 （2）如图②，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是☉O上一动点，求PM的最大值； 问题解决 （3）如图③所示，AB，AC，是某新区的三条规划路，其中AB＝6 km，AC＝3 km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E，F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P，E，F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP.为了快捷、环保和节约成本.要使得线段PE，EF，FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）. 第8题图 类型5　利用辅助圆解决的几何问题 9.[2019陕西，25]问题提出： （1）如图①，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决： （3）如图③，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由（塔A的占地面积忽略不计）. 第9题图 10.[2023工大附中四模]【问题提出】 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是边BC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则EF的最小值为　　　　； 【问题探究】 （2）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，AC＝3，点D是BC边上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，☉O是四边形AEDF的外接圆，求☉O直径的最小值； 【问题解决】 （3）某小区内有一块形状为四边形的空地，如图③所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝200米，AB＝400米，点E在CD上，且CE＝2DE.F，G分别是边AB，BC上的两个动点，且∠FEG＝60°.为了改善人居环境，小区物业准备在尽可能大的四边形BFEG区域内种植花卉，请问这个四边形BFEG区域的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由. 图① 图② 图③ 第10题图 类型6　旋转变换在几何问题中的应用 11.[2020陕西，25]问题提出 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则图①中与线段CE相等的线段是　　　　； 问题探究 （2）如图②，AB是半圆O的直径，AB＝8.P是上一点，且＝2，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长； 问题解决 （3）如图③，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知☉O的直径AB＝70 m，点C在☉O上，且CA＝CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交☉O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）. a.求y与x之间的函数关系式； b.按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30 m时，整体布局比较合理.试求当AP＝30 m时，室内活动区（四边形PEDF）的面积. 第11题图 12.[2023师大附中九模]如图，正方形ABCD是边长为4米的一块板材. 操作一：现需从中裁出一个等腰直角三角形DPQ模具，点P在边BC上，点Q在正方形ABCD的内部或边上. （1）如图①，若∠DPQ＝90°，BP＝3米，是否能裁出符合条件的△DPQ？若能，确定点Q的位置；若不能，请说明理由； （2）如图②，连接AC，在对角线AC上取点Q，连接DQ，过点Q作QP⊥QD交边BC于点P，连接DP，得到△DPQ.请证明△DPQ符合裁剪要求； 操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求进行裁剪.即在正方形ABCD中重新裁出的一个四边形DPBQ模具，点P，Q分别在边BC，AB上. （3）如图③，若需裁出的四边形DPBQ面积为10平方米，请探究模具四边形DPBQ周长的最小值. 第12题图 专题5　综合与实践 1.解：（1）75° （2）如答图①，连接PB. ∵AP∥BC，AP＝BC，∴四边形PBCA为平行四边形. ∵CA＝CB，∴平行四边形PBCA为菱形， ∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°－∠C＝60°， ∴BE＝PB·cos∠PBC＝3，PE＝PB·sin∠PBC＝3. ∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°， ∴OE＝BE·tan∠ABC＝， ∴S四边形OECA＝S△ABC－S△OBE ＝×6×3－×3× ＝. （3）符合要求.理由如下： 如答图②，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，连接PF. ∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ADC＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形FDCA为正方形，∴AF＝AC. ∵PE是CD的垂直平分线， ∴PE是AF的垂直平分线，∴PF＝PA. ∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF为等边三角形， ∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝∠PAF－∠FAD＝15°， ∴裁得的△ABP型部件符合要求. 第1题答图 2.解：（1）如答图①，作出线段BC的垂直平分线EF，交AB于点D，连接CD，CD即为所求切割线，△BCD是以BC为底的等腰三角形. （2）如答图②，延长AD，BC交于点E，过点A作AF⊥BC于点F. ∵∠BCD＝90°，∴△BDC是直角三角形. ∵BC＝12，CD＝2，∴BD＝＝2. ∵∠ADC＝150°，∴∠EDC＝30°. 在Rt△EDC中，∵tan∠EDC＝， ∴EC＝DC·tan∠EDC＝2， ∴DE＝2EC＝4，∴AE＝AD＋DE＝10. ∵AF⊥BC，∠DCE＝90°，∴DC∥AF， ∴∠EAF＝∠EDC＝30°， ∴EF＝AE＝5，AF＝＝5. ∵BC＝12，∴BF＝BC－CF＝BC－（EF－EC）＝9， ∴AB＝＝2，∴AB＝BD，即△ABD为等腰三角形. ∵BE＝BC＋CE＝14， ∴S△ABD＝S△ABE－S△DBE＝BE·AF－BE·DC＝21. （3）如答图③，连接BD，取BD的中点O，连接OC，则BD，OC为分割线，△BAD，△OCD，△OBC均为等腰三角形.理由如下： 由（2）知△BAD是等腰三角形； ∵∠BCD＝90°，O是BD的中点，∴OC＝OD＝OB， ∴△OCD，△OBC均为等腰三角形， 故△BAD，△OCD，△OBC三个均为等腰三角形. 图① 图② 图③ 第2题答图 3.解：（1）　【解析】解法1：公式S＝AC·AB·sin A＝；解法2：过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H，则CH＝AC＝2，∴S＝AB·CH＝. （2）如答图①，连接BO. ∵点O为三个内角角平分线的交点， ∴点O到△ABC的三边距离相等. ∵四边形OMBN面积是△ABC面积的， ∴S△OBM＋S△OBN＝S△ABC， ∴BM＋BN＝（AB＋BC＋AC）＝， ∴BN＝－BM＝，∴AN＝AB－BN＝. （3）如答图②，延长ED，BC交于点F. ∵EF∥AB，AE∥BF，∴四边形ABFE为平行四边形. 又∵AB＝AE，∴四边形ABFE为菱形， ∴AB＝BF＝EF＝AE＝100. 设DE＝a，则DF＝100－a，BC＝120－a，∴CF＝a－20， ∴S△ADC＝S菱形ABFE－S△ADE－S△ABC－S△DFC， ∴S△ADC＝AB2－DE·AE·sin 60°－AB·BC·sin 60°－DF·CF·sin 60°＝（a－60）2＋1 600. ∵＞0，∴当a＝60时，种植花卉△ADC面积最小，最小值为1 600 m2. 图① 图② 第3题答图 4.解：（1）如答图①，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H，过点E作EG⊥DH于点G，则∠H＝90°，AH∥EG. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°. 在Rt△ADH中，AD＝6， ∴AH＝AD·sin∠ADH＝3. ∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝3. 又∵AH∥EG，∴EG＝AH＝. ∵DF＝5，∴FC＝CD－DF＝3， ∴S四边形ABFE＝S▱ABCD－S△DEF－S△BFC＝8×3－×5×－×3×3＝. （2）存在，如答图②，记AE与CD的延长线交于点K，则四边形ABCK是矩形， ∴AK＝BC＝1 200，CK＝AB＝800， 设AN＝x，则PC＝x，BO＝2x，BN＝（800－x），AM＝OC＝1 200－2x， ∴MK＝AK－AM＝1 200－（1 200－2x）＝2x，PK＝CK－CP＝800－x， ∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK－S△AMN－S△BON－S△OCP－S△PKM ＝800×1 200－x（1 200－2x）－×2x（800－x）－x（1 200－2x）－×2x（800－x） ＝4（x－350）2＋470 000， ∴当x＝350时，S四边形OPMN取得最小值，最小值为470 000 m2， 此时AM＝1 200－2x＝500＜900，AN＝x＝350＜600， ∴存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN，其面积的最小值为470 000 m2，此时点N到点A的距离为350 m. 第4题答图 5.解：（1）4－4　【解析】如答图①，记半圆的圆心为O，连接AO，PO，则AP≥AO－PO＝－BC＝4－4， ∴AP的最小值是4－4. （2）∵MN平分菱形ABCD的面积， ∴MN过菱形对角线的交点. 当MN⊥BC时，线段MN的长度最短，此时MN＝AB·sin B＝4. 符合要求的线段MN如答图②. （3）存在. ∵EF平分四边形土地ABCD的面积， ∴BE＋CF＝（AB＋CD）. 由（2）得EF过定点，且这个定点为EF的中点. 如答图③，记EF的中点为G，连接AG. ∵∠AMG＝90°，∴点M在以AG为直径的圆弧上（记圆弧的圆心为H）. 连接BH，MH，则BM≥BH－MH，∴当B，M，H三点在同一直线上时，BM取得最小值，最小值为BH－MH. ∵∠D＝60°，AD＝80， ∴BC＝AD·sin D＝40，DC＝AB＋AD＝100， ∴BE＋CF＝80. 以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则B（0，0），A（0，60），C（40，0），G（20，40）， ∴H（10，50）， ∴MH＝AG＝＝20， BH＝＝20， ∴绿化带BM长度的最小值为BH－MH＝（20－20）m. 图① 图② 图③ 第5题答图 6.解：（1）　【解析】如答图①，连接AC，作OE⊥BC于点E. 由圆周角定理得∠BDC＝∠A. ∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC∥OE， ∴∠EOB＝∠A，∴∠BDC＝∠BOE. 由垂径定理得BE＝3， ∴sin∠BDC＝sin∠EOB＝＝. （2）如答图②，在BC边上取一点E，使BE＝4，连接AE，则tan∠AEB＝＝2. ∵tan∠APB＝2，∴点P在以AE为直径的优弧AEB上， 记优弧AEB所在的圆为☉O，则圆心O为AE的中点， ∴点O到AB的最短距离为BE＝2，☉O的半径r＝AE＝＝2， ∴点P到CD的最短距离为BC－BE－r＝8－2. （3）王师傅的设想可以实现.记点P到AD边的距离为h1，到AB边的距离为h2. ∵S△ADP∶S△ABP＝3∶2， ∴＝，整理得h1＝h2， ∴点P在∠BAD的平分线上.如答图③，在BC边上取一点E，使BE＝3，连接AE，则AE＝5， ∴cos∠BEA＝. ∵cos∠APB＝，∴点P在以AE为直径的圆弧上，记圆弧所在的圆为☉I，则☉I的半径为AE＝. 作IG⊥AB于点G，PQ⊥AB于点Q，连接IP，IB，AP，则AQ＝PQ，∠BIP＝90°. 设PQ＝m，则AQ＝m，BQ＝4－m. 在Rt△PBQ中，BP2＝（IB）2＝BQ2＋PQ2， ∴＝（4－m）2＋m2，解得m1＝，m2＝（舍去）， ∴S△ABP＝AB·PQ＝7. 综上所述，王师傅的设想可以实现，所裁得的△ABP的面积为7 m2. 图① 图② 图③ 第6题答图 7.解：（1）8　【解析】设正方形CGFE的边长为a， 则S△BDF＝S△BCD＋S梯形CDFE－S△BEF ＝×42＋a（a＋4）－a（4＋a） ＝8. （2）三角形地块DEF的面积能取到最大值. 如答图，连接AF，AC，过点F作AE的垂线，交AE的延长线于点G. ∵∠ADC＝90°，EF⊥CD，∴EF∥AD，∴S△DEF＝S△AEF. ∵EF⊥FC，∴点F在以EC为直径的圆弧上运动，记圆心为M，连接FM，过点M作MH⊥AG于点H，则FM＋MH≥FG，当点G与点H重合时，FG取得最大值，此时△AEF的面积最大，即△DEF的面积取得最大值. ∵BC＝AB，BC＝400，E为BC的中点， ∴BE＝200，AB＝，FM＝EM＝100， ∴AE＝＝. ∵∠B＝∠MHE，∠AEB＝∠MEH，∴△AEB∽△MEH， ∴＝，∴MH＝＝， ∴FG的最大值为FM＋MH＝100＋， ∴三角形地块DEF的面积最大值为AE·FG＝（平方米）. 第7题答图 8.解：（1）5 （2）如答图①，连接OA，OP，OM. ∵M是AB的中点， 由垂径定理得AM＝AB＝12. ∵OA＝13，∴由勾股定理得OM＝5，∴PM≤PO＋OM， 当P，O，M三点共线时，PM取得最大值，最大值为OM＋OP＝18. （3）如答图②，在上取一点P，连接AP，分别以AB，AC所在直线为对称轴，作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE，PF，AM，AN.取所对的圆心O，连接OA，OB，OC，OP， ∴AM＝AP＝AN， ∴M，P，N三点在以点A为圆心，AP长为半径的圆上. ∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC， ∴∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠MAB＋∠NAC＝60°， ∴∠MAN＝120°. 设AP＝r，易得MN＝r. ∵PE＝ME，PF＝FN， ∴PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝r， ∴当AP最小时，PE＋EF＋PF取得最小值. ∵AP＋OP≥OA，∴AP≥OA－OP， ∴当点P在OA上时，AP取得最小值. 如答图③，连接BC，AO，取AB的中点Q，连接CQ， ∴AQ＝AC＝3. ∵∠BAC＝60°，∴AQ＝QC＝AC＝BQ＝3， ∴∠ABC＝∠QCB＝30°， ∴∠ACB＝90°，由勾股定理得BC＝3. ∵∠BOC＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝90°，由勾股定理得OA＝＝3. ∵OP＝OB＝3， ∴AP＝r＝OA－OP＝3－3， ∴PE＋EF＋PF＝MN＝r＝3－9， ∴PE＋EF＋PF的最小值为（3－9）km. 第8题答图 9.解：（1）如答图①，点D1，D2，D3均为满足条件的点D的位置.（作出一个符合条件的平行四边形即可） （2）如答图②，取BC的中点O.∵AB＝4，BC＝10，∴OB＞AB， ∴以点O为圆心，OB长为半径作☉O，则☉O一定与AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O. ∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外. ∴当△BPC的顶点在P1或P2的位置时，△BPC的面积最大. 作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3， ∴AP1＝BE＝OB－OE＝2， 由对称性得AP2＝8. 综上所述，点P到点A的距离为2或8. （3）可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE. 如答图③，连接BD. ∵A为▱BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°， ∴BD＝100，∠BED＝60°. 作△BDE的外接圆☉O，则点E在优弧BD上，取的中点E'，连接E'B，E'D， 则E'B＝E'D，且∠BE'D＝60°，∴△BE'D为等边三角形. 连接E'O并延长，经过点A至点C'，使E'A＝AC'，连接BC'，DC'. ∵E'A⊥BD，∴四边形E'BC'D为菱形，且∠C'BE'＝120°. 作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO＋OA＝E'O＋OA＝E'A， ∴S△BDE＝·BD·EF≤BD·E'A＝S△E'BD， ∴S▱BCDE≤S菱形BC'DE'＝2S△E'BD＝1002·sin 60°＝5 000（m2）， ∴满足要求的▱BCDE的最大面积为5 000 m2. 第9题答图 10.解：（1） （2）如答图①，作BH⊥AC于点H，则BH＝AH＝AB＝2，∴CH＝，∴BC＝＝. 连接AD，当AD⊥BC时，AD的长最短，即☉O的直径最小，此时AD·BC＝BH·AC，∴AD＝＝，即☉O直径的最小值为. （3）这个四边形BFEG区域的面积存在最大值. ∵∠B＝60°，AB＝400，∴BC＝AB＋AD＝400，DC＝AB·sin B＝600. 又∵CE＝2DE，∴DE＝200， ∴tan∠DAE＝＝，∴∠DAE＝30°， ∴AE＝2DE＝400＝EC. ∵AD∥BC，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°，∴∠EAF＝90°. 如答图②，将△EAF绕点E旋转至△ECJ， 则S四边形BFEG＝S四边形ABCE－S△AEF－S△ECG ＝S四边形ABCE－S△EGJ， ∴当△EGJ面积最小时，四边形BFEG面积最大. 在△EGJ中，∠GEJ＝∠GEC＋∠CEJ＝180°－∠AED－∠FEG＝60°. 作△EGJ的外接圆☉O，作OM⊥GJ于点M，连接OG，OJ，OE. 设☉O的半径为r，则GJ＝r，OM＋EO＝r≥EC，∴r≥EC＝，∴△EGJ的面积最小值为××400＝， ∴这个四边形BFEG区域的面积最大值为400×400－＝ 平方米. 图① 图② 第10题答图 11.解：（1）CF，DE，DF （2）如答图①，连接OP， ∵AB是半圆O的直径，＝2， ∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°， ∴∠ABP＝30°. 根据题意易证四边形PECF是正方形，∴PF＝CF. 在Rt△APB中，PB＝AB·cos∠ABP＝4. 在Rt△CFB中，BF＝＝＝CF. ∵PB＝PF＋BF，∴PB＝CF＋BF，即4＝CF＋CF，解得CF＝6－2. （3）a.∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. ∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC， 根据题意易证四边形DEPF是正方形， ∴PE＝PF，∠APE＋∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°. 如答图②，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A'PF，PA'＝PA， 则A'，F，B三点共线，∠APE＝∠A'PF， ∴∠A'PF＋∠BPF＝90°，即∠A'PB＝90°， ∴S△PAE＋S△PBF＝S△PA'B＝PA'·PB＝x（70－x）. 在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝35， ∴S△ACB＝AC2＝1 225， ∴y＝S△PA'B＋S△ACB＝x（70－x）＋1 225＝－x2＋35x＋1 225. b.当AP＝30时，A'P＝30，PB＝AB－AP＝40， 在Rt△A'PB中，由勾股定理得A'B＝＝50，∴PF＝＝24. ∴S四边形PEDF＝PF2＝576， ∴当AP＝30 m时，室内活动区（四边形PEDF）的面积为576 m2. 第11题答图 12.（1）解：不能裁出符合条件的△DPQ.理由如下： ∵∠DPQ＝90°，∴∠DPC＋∠QPB＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠C＝∠B＝90°， ∴∠BQP＋∠BPQ＝90°，∴∠BQP＝∠DPC. 又∵BP＝3≠CD， ∴△BPQ与△DPC不全等，∴PD≠PQ， ∴△DPQ不是等腰直角三角形， ∴不能裁出符合条件的△DPQ. （2）证明：如答图①，过点Q作QM⊥AD于点M，延长MQ交BC于点N， ∵AD∥BC，∴MN⊥BC， ∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN. ∵AD＝BC，∴DM＝NC. ∵∠ACB＝45°，∠QNC＝90°， ∴∠NQC＝∠ACB＝45°，∴QN＝CN＝DM. ∵∠DQP＝90°，∴∠DQM＋∠NQP＝90°. ∵∠DQM＋∠MDQ＝90°， ∴∠MDQ＝∠NQP， ∵∠DMQ＝∠QNP，∴△DQM≌△QPN（ASA）， ∴DQ＝QP，∴△DPQ是等腰直角三角形. （3）解：如答图②，将△DAQ绕点D逆时针旋转90°得△DCE，则DE＝DQ. ∵AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°， ∴Rt△ADQ≌Rt△CDE（HL），∴S△ADQ＝S△CDE. ∵S△DPE＝S△CDP＋S△CDE＝S△ADQ＋S△CDP＝6， ∴×4PE＝6，解得PE＝3. 设PC＝x，则AQ＝3－x， ∴DP2＝CD2＋CP2＝16＋x2，DQ2＝AD2＋AQ2＝x2－6x＋25， ∴DP2＋DQ2＝2x2－6x＋41＝2＋， ∴当x＝时，DP2＋DQ2最小，故DP＋DQ也最小， DP＝DQ＝＝， ∴四边形DPBQ周长的最小值为2×＋2×＝（5＋）米. 图① 图② 第12题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$