专题4 二次函数与几何综合题(word练习)-【卓文中考·精准巧练】2024年陕西中考数学复习

专题4　二次函数与几何综合题 [针对解答题中的二次函数几何综合题，2018－2021年考查] 类型1　二次函数与线段、面积问题 1.[2023铁一中八模]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知A（－2，0），该抛物线的对称轴为直线x＝. 第1题图 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）假设将线段AC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点A，C平移后的对应点分别记为点A'，C'，当点C'在点C右侧时，求以A，C，A'，C'为顶点的四边形周长的最大值. 2.[2018陕西，24]已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C. （1）求A，B，C三点的坐标，并求△ABC的面积； （2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L'，且L'与x轴相交于A'，B'两点（点A'在点B'的左侧），并与y轴相交于点C'，要使△A'B'C'和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式. 3.[2023交大附中三模]如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（－4，5），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标. 第3题图 4.[2023黄石节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于两点A（－3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）. （1）求此抛物线的解析式； （2）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE＋2BD的最小值. 第4题图 类型2　二次函数与三角形全等、相似 5.[2021陕西，25]已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. （1）求点B，C的坐标； （2）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 6.[2020陕西，24]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点（3，12）和（－2，－3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l. （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点.要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标. 第6题图 类型3　二次函数与特殊三角形 7.[2023随州节选]如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N. （1）直接写出抛物线和直线BC的解析式； （2）连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值. 第7题图 8.[2023交大附中四模]已知抛物线y＝x2－6x＋c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，5）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）将抛物线沿y轴方向向上平移k个单位长度（k＞0），平移后抛物线的顶点为点P，且点P在x轴下方.是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 9.[2023师大附中三模]已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点（－2，3）和（6，7），与x轴的交点为A，B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C. （1）求抛物线L的函数表达式； （2）将抛物线L平移，得到抛物线L'，且点A经过平移后得到的对应点为点A'.要使△A'BC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求满足条件的抛物线L'的函数表达式. 类型4　二次函数与特殊四边形 10.[2023自贡节选]如图，抛物线y＝－x2＋bx＋4与x轴交于A（－3，0），B两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式及B，C两点坐标； （2）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标. 第10题图 11.[2023兴安盟节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点. （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标. 第11题图 专题4　二次函数与几何综合题 1.解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝，且过点A（－2，0），∴解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋6. （2）令x＝0，得y＝6，∴C（0，6）， 令y＝0，得－x2＋x＋6＝0， 解得x1＝3，x2＝－2， ∴A（－2，0），B（3，0）. 由平移的性质得AC∥A'C'且AC＝A'C'， ∴四边形ACC'A'为平行四边形. ∵点C'在点C右侧时，只有两种情况， 线段A'C'在点B的左右两侧，其中A'C'在点B右侧时，四边形周长最大. 令y＝－6，则－x2＋x＋6＝－6， 解得x1＝4，x2＝－3（舍去）， ∴A'（4，－6）， ∴AA'＝6，AC＝＝2， ∴四边形周长最大值为2（6＋2）＝12＋4. 2.解：（1）当y＝0时，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2， ∴A（－3，0），B（2，0）. 当x＝0时，y＝－6，∴C（0，－6）， ∴S△ABC＝AB·OC＝15. （2）∵抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L'， ∴A'B'＝AB＝5， ∵△A'B'C'和△ABC的面积相等， ∴OC'＝OC＝6，即C'（0，－6）或（0，6）， 设抛物线L'的解析式为y＝x2＋bx－6或y＝x2＋bx＋6， 设A'（m，0），B'（n，0）， 当m，n为方程x2＋bx－6＝0的两根时， m＋n＝－b，mn＝－6. ∵｜n－m｜＝5，∴（m＋n）2－4mn＝25， ∴b2－4×（－6）＝25，解得b1＝1（舍去），b2＝－1， ∴抛物线L'的函数表达式为y＝x2－x－6. 当m，n为方程x2＋bx＋6＝0的两根时， 则m＋n＝－b，mn＝6. ∵｜n－m｜＝5，∴（m＋n）2－4mn＝25， ∴b2－4×6＝25，解得b3＝7，b4＝－7， ∴抛物线L'的函数表达式为y＝x2＋7x＋6或y＝x2－7x＋6. 综上所述，所有满足条件的抛物线L'的函数表达式为y＝x2－x－6或y＝x2＋7x＋6或y＝x2－7x＋6. 3.解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（－4，5）， ∴∴ ∴抛物线的解析式为y＝x2＋3x＋1. （2）∵抛物线的解析式为y＝x2＋3x＋1＝－， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－. ∵AC∥x轴，且点C在抛物线上，∴C（－3，1）. 由A（0，1），B（－4，5）得直线AB的解析式为y＝－x＋1. 设P（t，t2＋3t＋1），则E（t，－t＋1）， ∴PE＝－t＋1－t2－3t－1＝－t2－4t. ∵S四边形AECP＝S△AEP＋S△CEP， ∴S四边形AECP＝PE·CF＋PE·AF ＝PE·AC ＝（－t2－4t） ＝－（t＋2）2＋6. ∵－＜0，－3＜t＜0， ∴当t＝－2时，S四边形AECP最大， 此时点P的坐标为（－2，－1）. 4.解：（1）设此抛物线的解析式为y＝a（x＋3）（x－4）＝a（x2－x－12）， ∵抛物线过点C（0，4），∴－12a＝4，∴a＝－， ∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4. （2）如答图，作∠EAG＝∠BCD，使AG＝2BC＝8. ∵AE＝2CD，∴△BCD∽△GAE，且相似比为1∶2， ∴GE＝2BD， 当C，E，G三点共线时，CE＋2BD＝CE＋EG＝CG，此时CE＋2BD取得最小值. 在△ABC中，设AC边上的高为h， 则S△ABC＝AC·h＝AB·CO，即5h＝4×7， 解得h＝， 则sin∠ACB＝＝＝sin∠EAG，则tan∠EAG＝7. 过点G作GN⊥x轴于点N，则NG＝AG·sin∠EAG＝， ∴点G的纵坐标为－. 同理可得点G的横坐标为－，∴G， 由点C，G的坐标得CG＝＝，即CE＋2BD的最小值为. 第4题答图 5.解：（1）令x＝0，得y＝8，∴C（0，8）， 令y＝0，得－x2＋2x＋8＝0， 解得x1＝－2，x2＝4，∴B（4，0）. （2）存在.设P（0，y）， ∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边， ∴＝，即＝，解得y1＝16，y2＝， ∴P（0，16）或P. 6.解：（1）将点（3，12）和（－2，－3）代入抛物线表达式得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. 第6题答图 （2）抛物线的对称轴为直线x＝－1， 令y＝0，解得x1＝－3，x2＝1， 令x＝0，得y＝－3， ∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）， ∴OA＝OC＝3. ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等. 设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m－（－1）＝3，解得m＝2， ∴n＝22＋2×2－3＝5，∴P（2，5）， ∴点E（－1，2）或（－1，8）. 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得点P（－4，5），此时点E的坐标同上. 综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，5）或（－4，5），点E的坐标为（－1，2）或（－1，8）. 7.解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），B（2，0）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－2）. 将点C（0，2）代入，得2＝a×1×（－2），解得a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－2）， 即y＝－x2＋x＋2. 由点B（2，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y＝－x＋2. （2）∵点M在直线BC上，且P（m，n）， ∴点M的坐标为（m，－m＋2）， ∴CM2＝（m－0）2＋（－m＋2－2）2＝2m2，OM2＝m2＋（－m＋2）2＝2m2－4m＋4. 由C（0，2）得OC＝2，当CM＝OM时，CM2＝OM2， 即2m2＝2m2－4m＋4，解得m＝1； 当CM＝OC时，CM2＝OC2， 即2m2＝4，解得m1＝，m2＝－（舍去）； 当OM＝OC时，OM2＝OC2； 即2m2－4m＋4＝4，解得m3＝2，m4＝0（舍去）. 综上所述，m的值为1，或2. 8.解：（1）∵抛物线y＝x2－6x＋c与y轴交于点C（0，5），∴c＝5， ∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋5＝（x－3）2－4， ∴顶点坐标为（3，－4）. （2）∵将抛物线沿y轴方向向上平移k个单位长度（k＞0），∴平移后抛物线的顶点为P（3，k－4）. ∵点P在x轴下方，∴k－4＜0，∴0＜k＜4， 令y＝0，得x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5. ∵点A在点B的左侧，∴A（1，0），B（5，0）. 如答图①，当∠CBP＝90°时，记直线x＝3交x轴于点D，则D（3，0），∴BD＝OB－OD＝2. ∵C（0，5），∴CO＝OB＝5，∴∠OBC＝45°， ∴∠DBP＝∠CBP－∠OBC＝45°，∴DP＝BD＝2， ∴P（3，－2），即k－4＝－2，∴k＝2. 如答图②，当∠CPB＝90°时， ∵B（5，0），C（0，5），P（3，k－4），∴BC2＝52＋52＝50， CP2＝（0－3）2＋[5－（k－4）]2＝32＋（9－k）2， BP2＝（5－3）2＋[0－（k－4）]2＝22＋（4－k）2， 在Rt△BCP中，BP2＋CP2＝BC2， ∴22＋（4－k）2＋32＋（9－k）2＝50， 解得k1＝3，k2＝10（舍去）. 综上所述，当以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形时，k的值为2或3. 图① 图② 第8题答图 9.解：（1）把点（－2，3）和（6，7）代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线L的函数表达式为y＝x2－x－2. （2）令y＝x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4. ∵点A在点B的左侧，∴A（－1，0），B（4，0）. 把x＝0代入得y＝－2，∴C（0，－2）. 如答图①，当点A'在BC上方时，过点A'作x轴的平行线交y轴于点P，过点B作y轴的平行线，交PA'的延长线于点Q. ∵PQ∥x轴，BQ∥y轴，∠POB＝90°， ∴四边形POBQ为矩形. ∵∠PCA'＋∠PA'C＝∠PA'C＋∠BA'Q＝90°， ∴∠PCA'＝∠QA'B. ∵△A'BC是以BC为斜边的等腰直角三角形， ∴A'C＝A'B. 在△CPA'和△A'QB中， ∴△CPA'≌△A'QB（AAS）. 设点A'（m，n），∴A'P＝BQ＝OP＝m，∴m＝n. ∵CP＝A'Q＝2＋n，PA'＋A'Q＝m＋2＋n＝4， ∴解得∴A'（1，1）， ∴抛物线L向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度得到抛物线L'. ∵抛物线L的函数表达式为y＝x2－x－2＝－， ∴抛物线L'的函数表达式为y＝－. 如答图②，当点A'在BC下方时，设点A'（m，n）， ∴A'P＝BQ＝OP＝m，∴m＝－n. ∵CP＝A'Q＝－2－n，PA'＋A'Q＝m－2－n＝4， ∴解得∴A'（3，－3）， ∴抛物线L向下平移3个单位长度，向右平移4个单位长度得到抛物线L'， ∴抛物线L'的函数表达式为y＝－. 综上所述，抛物线L'的函数表达式为y＝－或y＝－. 图① 图② 第9题答图 10.解：（1）把点A的坐标代入解析式，得－×（－3）2－3b＋4＝0，解得b＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋4， ∴点C的坐标为（0，4）. 令y＝0，解得x1＝－3，x2＝1， ∴点B的坐标为（1，0）. （2）设点D的坐标为（a，b）.若AC为平行四边形的对角线，则对角线的交点坐标为， ∴解得∴D（－4，4）； 若AB为平行四边形的对角线，则对角线的交点坐标为（－1，0）， ∴解得∴D（－2，－4）； 若BC为平行四边形的对角线，则对角线的交点坐标为， ∴解得∴D（4，4）. 综上所述，点D的坐标为（－4，4）或（－2，－4）或（4，4）. 11.解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. （2）设M（－1，m），P（t，－t2－2t＋3）， 设矩形的对角线交点为K， 则N（t＋1，－t2－2t＋6－m）， ∵点N在坐标轴上，∴t＋1＝0或－t2－2t＋6－m＝0， 当t＝－1时，此时PM∥y轴，P（－1，4）. ∵四边形PMCN是矩形，∴PM⊥MC，∴M（－1，3），N（0，4）； 如答图，当－t2＋2t＋6－m＝0时，点N在x轴上. 过点P作PH⊥x轴交于点H. ∵∠PNC＝90°， ∴∠PNH＋∠CNO＝90°，∠PNH＋∠HPN＝90°， ∴∠CNO＝∠NPH，∴△PHN∽△NOC， ∴＝，即＝， 解得t＝， ∵点P在直线AC上方，∴－3＜t＜0， ∴t＝，∴N. 综上所述，点N的坐标为（0，4）或. 第11题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$