专题9 圆的相关证明与计算(word练习)-【卓文中考·精准巧练】2024年陕西中考数学复习

专题9　圆的相关证明与计算 [针对陕西中考第24题] 1.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，且CD⊥AB于点E. （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若CD＝4，OE＝1，求☉O的半径. 第1题图 2.如图，已知AB是☉O的直径，点P在BA的延长线上，E为圆外一点，且AB＝BE，PD切☉O于点D，交EB于点C，连接AE，点D恰好在AE上. （1）求证：BE⊥PC； （2）连接OC，如果PD＝2，∠ABC＝60°，求OC的长. 第2题图 3.如图，AB为☉O的直径，DE切☉O于点E，BD⊥DE于点D，交☉O于点C，连接BE. （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长. 第3题图 4.如图，点E是以AB为直径的☉O外一点，点C是☉O上一点，EB是☉O的切线，EC⊥OC，连接AC并延长交BE的延长线于点F. （1）求证：点E是BF的中点； （2）若EC＝OC，☉O的半径为3，求CF的长. 第4题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE. （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长. 第5题图 6.[2023湖州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连接OB. （1）求证：BD＝BC； （2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长. 第6题图 7.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HF是☉O的切线，延长HF交AB的延长线于点M. （1）求证：HG＝HF； （2）连接BF，若sin M＝，BM＝2，求BF的长. 第7题图 专题9　圆的相关证明与计算 1.（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B. 又∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D. （2）解：∵AB是☉O的直径，且CD⊥AB于点E， CD＝4，∴CE＝CD＝2. 在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2. ∵OE＝1，CE＝2，∴OC2＝＋12， 解得OC＝3（负值已舍）， ∴☉O的半径为3. 2.（1）证明：如答图，连接OD. ∵AB＝BE，∴∠E＝∠BAE. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠E，∴OD∥BE. ∵PD切☉O于点D，∴OD⊥PD，∴BE⊥PC. （2）解：∵OD∥BE，∠ABC＝60°， ∴∠DOP＝∠ABC＝60°. ∵PD⊥OD，∴tan∠DOP＝＝＝， 解得OD＝2，∴OP＝4，∴PB＝6， ∵sin∠ABC＝＝，∴PC＝3， ∴DC＝，∴DC2＋OD2＝OC2， ∴＋22＝OC2，解得OC＝（负值已舍）. 第2题答图 3.（1）证明：∵DE切☉O于点E，∴OE⊥ED. ∵BD⊥DE，∴OE∥BD，∴∠OEB＝∠EBD. ∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE， ∴∠EBD＝∠OBE，∴BE平分∠ABC. （2）解：如答图，连接AC交OE于点F，过点E作EM⊥AB于点M. ∵BE平分∠ABD，∴ED＝EM. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACD＝∠D＝∠DEF＝90°， ∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF＝AC. ∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8， 则EM＝ED＝CF＝AF＝AC＝4， ∴OF＝＝3， ∴EF＝OE－OF＝2，∴CD＝EF＝2. 第3题答图 4.（1）证明：如答图，连接BC. 第4题答图 ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵EC⊥OC，OC是☉O的半径， ∴EC是☉O的切线. ∵EB是☉O的切线，∴EC＝EB， ∴∠ECB＝∠EBC. ∵∠ECB＋∠FCE＝90°， ∠EBC＋∠F＝90°， ∴∠FCE＝∠F，∴EF＝EC， ∴EF＝EB，∴点E是BF的中点. （2）解：由（1）得四边形OCEB是正方形. ∵EC＝OC，∴△ABF是等腰直角三角形. ∵☉O的半径为3，∴AB＝6， ∴AF＝AB＝6. ∵BC⊥AF，∴CF＝AF＝3. 5.解：（1）如答图，连接AD. ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°. ∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝70°， ∴∠CAD＝180°－70°－70°＝40°， ∴∠DAE＝90°－40°＝50°. 又∵AD＝AE，∴∠DEA＝∠ADE＝（180°－50°）＝65°. （2）如答图，过点A作AF⊥CD，垂足为F. ∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5. 又∵AF·BC＝AC·AB，∴AF＝＝， ∴CF＝＝. ∵AC＝AD，AF⊥CD，∴CD＝2CF＝. 第5题答图 6.（1）证明：如答图，连接OD. 第6题答图 ∵半圆O与AB相切于点D，∴OD⊥AB. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODB＝∠OCB＝90°. 在Rt△ODB和Rt△OCB中， ∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL）， ∴BD＝BC. （2）解：如答图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°. ∵Rt△ODB≌Rt△OCB， ∴∠CBO＝∠DBO＝∠ABC＝30°. 在Rt△OBC中，∵OC＝1，∴BC＝＝. 在Rt△ABC中，AB＝＝2. 7.（1）证明：如答图，连接OF，∴∠A＝∠OFA. ∵CD⊥AB，∴∠AEG＝90°，∴∠A＋∠AGE＝90°. ∵HF是☉O的切线，∴OF⊥HM， ∴∠HFO＝90°＝∠OFA＋∠HFG， ∴∠HFG＝∠AGE＝∠HGF，∴HF＝HG. （2）解：如答图，连接BF. 由（1）得∠OFM＝90°，∴∠BFO＋∠BFM＝90°. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFB＝90°， ∴∠A＋∠ABF＝90°. ∵OB＝OF，∴∠ABF＝∠BFO，∴∠BFM＝∠A. ∵∠FMB＝∠AMF，∴△BFM∽△FAM， ∴＝. ∵BM＝2，OB＝OF， ∴sin M＝＝，解得OF＝8， ∴OM＝10，AM＝18，AB＝16， ∴FM＝＝6， ∴＝＝，∴BF＝AF. ∵AF2＋FB2＝AB2，∴AF2＋＝162， ∴AF＝（负值已舍）， ∴BF＝. 第7题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$