培优专题8 辅助圆问题(word练习)-【卓文中考·精准巧练】2024年陕西中考数学复习

培优专题8　辅助圆问题 [与辅助圆相关的辅助线作法见《精准讲解》P62] 1.定角定高如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AH⊥BC于点H，AH＝6，则△ABC的最小面积为　　. 第1题图 2.点圆最值如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，N，M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为　　. 第2题图 3.对称＋点圆最值如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN＋MN的最小值为　　. 第3题图 4.阿氏圆如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径作☉C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是☉C上一个动点，则PA＋PB的最小值为　 . 第4题图 5.瓜豆圆如图，☉O的直径AB＝2，C为☉O上动点，连接CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接OD，则OD的最大值为　 . 第5题图 6.最大张角如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为　　. 第6题图 7.对角互补构造辅助圆如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为　 . 第7题图 8.定边定角如图，在△ABC中，∠C＝120°，AB＝10，试判断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 第8题图 1.6　2.5 3.7　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵∠ADP＝∠PAB，∴∠ADP＋∠PAD＝∠PAB＋∠PAD＝∠BAD＝90°，∴点P的运动路线为以AD为直径的圆.如答图，作以AD为直径的☉O，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交☉O于点P'，连接M'N，OP，则OP＝OP'＝3，M'N＝MN，∴PN＋MN＝PN＋M'N＝PN＋M'N＋OP－OP'≥OM'－OP'＝OM'－3，∴PN＋MN的最小值为OM'－3.连接OM，∵四边形ABCD是矩形，O是AD的中点，M为BC的中点，∴OD＝AD＝BC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°，∴四边形OMCD是矩形，∴OM＝DC＝AB＝8.∵点M关于直线DC的对称点为M'，∴M'M＝2MC＝6.由勾股定理得OM'＝＝10，∴PN＋MN的最小值为OM'－3＝7. 第3题答图 4.　【解析】如答图，在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ.∵AC＝9，CP＝3，∴＝.∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA＋PB＝PQ＋PB≥BQ，当B，Q，P三点共线时，PA＋PB的值最小.在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB＝，∴PA＋PB的最小值为. 第4题答图 5.＋1　【解析】如答图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD.由旋转的性质得BC＝CD，∠DCB＝90°，∴∠DBC＝45°，BD＝BC.∵△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB＝BE＝1，∴BE＝OE＝.∵∠DBC＝∠OBE，∴∠OBD＝∠CBE.又∵＝＝，∴△DBO∽△CBE，∴＝＝，∴DO＝CE，∴当CE取得最大值时，OD取得最大值.当C，O，E三点共线时，CE取得最大值为1＋，∴OD的最大值为＋1. 第5题答图 6.4－2　【解析】如答图，过点A，M作☉O与CD相切于点P'.记PM与☉O交于点Q，连接AP'，MP'，OM，OP'，AQ，则∠AP'M＝∠AQM＞∠APM，∠OP'D＝90°，∴当点P运动到点P'时，∠APM的度数最大.作ON⊥AD于点N，则MN＝AN＝AM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴四边形OP'DN是矩形.∵AB＝4，M是AD的中点，∴AM＝DM＝2，MN＝1，∴OM＝OP'＝DN＝DM＋MN＝3.∵ON＝＝2，∴DP'＝ON＝2，∴CP'＝DC－DP'＝4－2，∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4－2. 第6题答图 7.－1　【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，且BD为这个圆的直径.如答图，记圆心为O，连接AO，CO，取AO中点F，连接EF，DF.∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°.∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OC＝OA＝OD＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，则DF＝.∵EF是△AOC的中位线，∴EF＝OC＝1.在△DEF中，DF－EF≤DE，当D，E，F三点共线时，DE取得最小值，最小值为－1. 第7题答图 8.解：存在.如答图，作△ABC的外接圆. ∵AB＝10，∠ACB＝120°都是定值，∴点C在上. 作OM⊥AB于点N，交于点M，CH⊥AB于点H，则AN＝BN＝AB＝5. 当点C与点M重合时，CH取得最大值，最大值为AN·tan 30°＝，∴S△ABC的最大值为×10×＝. 第8题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$