培优专题4 与中点有关的辅助线作法(word练习)-【卓文中考·精准巧练】2024年陕西中考数学复习

培优专题4　与中点有关的辅助线作法 [与中点有关的辅助线构造方法见《精准讲解》P39] 1.如图，△ABC是一磨损的三角形工件，其中D为AB的中点，BC＝4 cm，DC＝3 cm，则AC边的长度可能是（ ） 　　　　　　　　　　　 第1题图　　　　 A.11 cm B.10 cm C.9 cm D.2 cm 2.如图，已知四边形ABCD为矩形，点E从点C出发，沿CD边向上运动，M，P，Q分别为BC，MA，ME的中点，则在点E的运动过程中，线段PQ的长（ ） 第2题图 A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先减小，后增大 D.先增大，后减小 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，以点C为圆心，CA为半径的☉C与AB交于点D.若点D恰好为AB的中点，则AB的长为（ ） 第3题图 A. B.3 C.6 D.9 4.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝　　. 第4题图 5.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥DF.若BC＝4，则四边形AEDF的面积为　 　. 　第5题图 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是　 　. 第6题图 7.先阅读，再解答问题： 如图①，已知在△ABC中，AD为中线.延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，CE.在△ABD和△ECD中，AD＝ED，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝EC，AB∥CE等结论. 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题. 解决问题：如图②，在△ABC中，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF. 图① 图② 第7题图 1.C　2.B　3.C 4.　【解析】如答图，连接CF.∵在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB＋BC＝12，∴CF＝＝13.∵M，N分别是DC，DF的中点，∴MN＝CF＝. 第4题答图 5.2　【解析】如答图，连接AD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴BD＝CD＝AD＝BC＝2，且AD⊥BC，∴∠EAD＝∠C＝45°.∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形AEDF＝S△ADE＋S△ADF＝S△ADF＋S△CDF＝S△ADC＝S△ABC＝××4×2＝2. 第5题答图 6.8　【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°.如答图，延长CD到点H，使DH＝CD，连接AH.∵D为AB的中点，∴AD＝BD.在△ADH和△BDC中，∴△ADH≌△BDC（SAS），∴S△ADH＝S△BDC，AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°.∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴S△ACH＝×4×4＝8，∴S△ABC＝S△ADC＋S△ADH＝S△ACH＝8. 第6题答图 7.证明：如答图，延长AD至点G，使得DF＝DG，连接CG. ∵AD是BC边的中线，∴BD＝DC. 在△BDF和△CDG中， ∴△BDF≌△CDG（SAS），∴BF＝CG，∠BFD＝∠G. ∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G. ∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF， ∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF. 第7题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$