培优专题2 二次函数与几何图形的结合(word练习)-【卓文中考·精准巧练】2024年陕西中考数学复习

培优专题2　二次函数与几何图形的结合 [同类题型解题方法见《精准讲解》P27～P31] [2023西工大附中十模改编]如图，抛物线W1与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线W1的顶点. （1）求表达式求抛物线W1的函数表达式及点D坐标； （2）线段问题如图①，点P在直线AC上方的抛物线上运动.连接AC，过点P作PH⊥x轴于点H，PH交直线AC于点Q.设点P的横坐标为t. 图① a.线段最值请用含t的代数式表示出线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； b.倍分关系当PQ＝2QH时，请求出点Q的坐标； （1）已知抛物线与x轴的两个交点，设交点式求解表达式. （2）a.用t分别表示出点P，Q的坐标，结合两点位置关系得到线段PQ的表达式，利用函数的增减性求得PQ的最大值； b.用含t的代数式分别表示出线段PQ与QH的长，利用已知条件建立方程求解.注意最后需结合自变量的取值范围舍去不满足条件的值； c.线段和最值如图①，点M为抛物线W1的对称轴上一点，连接CM，BM，求CM＋BM的最小值； d.实际应用[2023陕西第25题改编]如图②，现有一形状与图①抛物线相同的拱门框架，将其放入平面直角坐标系xOy中，其中AO＝3 m.为了制作拱门时防止其变形，决定在拱门框架内焊接矩形钢结构框架PHMN来固定拱门，求所需钢材的最大长度； 　图② （3）面积问题如图③，P为抛物线上一动点，连接AC，BC，PA，PB. 图③ a.面积相等若S△PAB＝S△ABC（点P不与点C重合），请求出点P的坐标； c.结合抛物线的对称性，可利用对称转化线段位置，然后进行下一步的求解； d.分别表示出PH与PN的长，利用矩形周长公式表示出矩形钢结构框架的周长，利用抛物线的增减性求出最值. （3）a.观察等量关系可知两三角形有公共边，则公共边上对应的高相等； b.面积最值连接PC.当点P在AC上方运动时，请求出S△PAC的最大值，并求出此时点P的坐标； （4）特殊三角形如图④，点P为抛物线对称轴上一点，连接BC，PC，PB. 图④ a.若△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，请求出点P的坐标； b.若△PBC是以BC为斜边的直角三角形，请求出点P的坐标； （5）抛物线的几何变化将抛物线W1关于点B对称后的抛物线记为W2，则W2的函数表达式为　 　； b.过点P作y轴的平行线，作AC的垂线，由（2）a.得出PF的最大值，利用特殊角得到相关线段的数量关系，再利用面积公式表示出S△PAC，即可求出面积的最大值，由（2）a.可求出此时点P的坐标. （4）a.等腰三角形的一条腰已知，利用分类讨论思想，分别令其等于其他边长，利用两点间距离公式求出对应边长，解方程即可； b.斜边已知，则另外两条边为直角边，利用两点间距离公式分别得到两条边的平方，利用勾股定理建立方程求解. （5）两条抛物线关于一点对称，则二次项系数互为相反数，两条抛物线的顶点关于这一点对称，根据以上性质可直接得到函数表达式. （6）图形的全等如图⑤，W2与x轴的另一个交点为K，连接AC，在抛物线W2上是否存在一点S，使得以点B，K，S围成的三角形与△ABC全等？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由； （7）图形的相似如图⑤，抛物线W2的对称轴与x轴交于点J，点H为抛物线W2的对称轴上一点，是否存在点H，使得△BJH与△BOC相似？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； （8）特殊四边形a.点P是x轴上一点，请问在W2上是否存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （6）利用抛物线W1与W2的对称关系及抛物线W2自身的对称性解决. 图⑤ （7）已知△BOC为直角三角形，分别讨论另一个三角形与Rt△BOC直角边的对应情况，利用相似三角形的对应边成比例计算. （8）a.已知平行四边形的一条边，利用对应边平行且相等得到对应点的纵坐标之间的数量关系，将其代入抛物线的函数表达式，得到相应点坐标；b.如图⑤，在平面直角坐标系内，是否存在一点R，使得以B，C，H，R为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由. b.已知矩形的一条边，分别讨论对称轴上的动点与已知边的顶点连线为矩形另一条边时的两种情况.结合矩形的四个角都为直角，可构造一线三等角，利用相似三角形的对应边成比例计算相关量. 解：（1）设抛物线W1的函数表达式为y＝a（x＋3）（x－1）. 将C（0，3）代入y＝a（x＋3）（x－1），解得a＝－1， ∴抛物线W1的函数表达式为y＝－（x＋3）（x－1）＝－（x＋1）2＋4， ∴顶点D（－1，4）. （2）a.由题意得P（t，－t2－2t＋3）. 由A（－3，0），C（0，3）得直线AC的函数表达式为y＝x＋3，∴Q（t，t＋3）， ∴PQ＝－t2－2t＋3－（t＋3）＝－t2－3t＝－＋. 当t＝－时，线段PQ取得最大值，最大值为. b.∵PQ＝2QH，∴－＋＝2（t＋3）， 解得t1＝－2，t2＝－3. ∵点P在直线AC上方的抛物线上运动， ∴－3＜t＜0，∴t＝－2，∴Q（－2，1）. c.如答图①，连接AM.由抛物线的对称性得AM＝BM， ∴CM＋BM＝CM＋AM≥AC. ∵A（－3，0），C（0，3），∴AO＝OC＝3，∴AC＝3， ∴CM＋BM的最小值为3. 答图① d.由（1）得拱门的函数表达式为y＝－（x＋1）2＋4， ∴拱门的对称轴为直线x＝－1. 设点P的横坐标为q，则PH＝NM＝－q2－2q＋3，PN＝HM＝2（－1－q）＝－2－2q， ∴矩形钢结构框架所需钢材的长度为 2PH＋2PN＝－2q2－8q＋2＝－2（q＋2）2＋10. ∵－2＜0，∴当q＝－2时，矩形框架所需钢材的长度取得最大值，∴所需钢材的最大长度为10 m. （3）a.∵S△PAB＝S△ABC，∴△PAB与△CAB是一对同底等高三角形，∴｜yP｜＝｜yC｜＝3. 当yP＝3时，－（x＋1）2＋4＝3，解得x1＝0（舍去）， x2＝－2，∴P（－2，3）； 当yP＝－3时，－（x＋1）2＋4＝－3， 解得x3＝－1，x4＝－－1， ∴点P的坐标为（－1，－3）或（－－1，－3）. 综上所述，点P的坐标为（－2，3），（－1，－3）或（－－1，－3）. b.如答图②，过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则∠PFC＝∠ACO＝45°. 由（2）a.得PF的最大值为. 过点P作PH⊥AC于点H，则PH＝PF. 当PH最大，即PF最大时，S△PAC最大， ∴S△PAC的最大值为AC·PF最大＝. 由（2）a.得此时点P的坐标为. 答图② （4）a.若点C为顶角的顶点，则CP＝CB＝， ∴（xP－xC）2＋（yP－yC）2＝10，解得yP＝0或6， ∴P1（－1，0）或P2（－1，6）. 若点B为顶角的顶点，则BP＝BC＝， ∴（xP－xB）2＋（yP－yB）2＝10，解得yP＝或－， ∴P3（－1，）或P4（－1，－）. 综上所述，点P的坐标为（－1，0），（－1，6），（－1，）或（－1，－）. b.∵BC为直角三角形的斜边，∴PB2＋PC2＝BC2，即 [（－1－1）2＋]＋[（－1）2＋（yP－3）2]＝10，解得yP＝1或2，∴点P的坐标为或. （5）y＝x2－6x＋5 （6）存在. ∵抛物线W2由抛物线W1关于点B对称得到， ∴点C关于点B的对称点（2，－3）在抛物线W2上，且这一点与点B，K构成的三角形与△ABC全等. 在抛物线W2中，点（2，－3）关于抛物线的对称轴对称的点也在抛物线W2上，且这一点与点B，K构成的三角形与△ABC全等. 综上所述，点S的坐标为（2，－3）或（4，－3）. （7）存在. 当△BOC∽△HJB时，＝＝，解得HJ＝， ∴点H的坐标为或. 当△BOC∽△BJH时，＝＝，解得JH＝6， ∴点H的坐标为（3，6）或（3，－6）. 作点H表示x轴的对称点H1，此时△BJH1与△BOC也相似，此时点H的坐标为. 综上所述，点H的坐标为，，（3，6）或（3，－6）. （8）a.存在. 由题意得点K的坐标为（5，0）. 如答图③，当点Q在x轴上方时，yQ＝3，则x2－6x＋5＝3， 解得x＝3＋或3－， ∴点Q的坐标为（3＋，3）或（3－，3）. 当点Q在x轴下方时，yQ＝－3，则x2－6x＋5＝－3， 解得x＝2（此时点Q在直线BC上，舍去）或4， ∴点Q的坐标为（4，－3）. 综上所述，点Q的坐标为（3＋，3），（3－，3）或（4，－3）. 答图③ b.存在. 由y＝x2－6x＋5得抛物线W2的对称轴为直线x＝3， ∴J（3，0），∴BJ＝3－1＝2. 如答图④，当BH1为矩形的边时，∠CBO＋∠JBH1＝∠BH1J＋∠JBH1＝90°，∴∠CBO＝∠BH1J. 又∵∠COB＝∠BJH1＝90°， ∴△COB∽△BJH1，∴＝＝3， ∴JH1＝BJ＝，∴H1，∴R1. 当CH2为矩形的边时，同理可得H2（3，4），∴R2（4，1）. 综上所述，点R的坐标为或（4，1）. 答图④ 学科网（北京）股份有限公司 $$