精品解析：河南省新乡市第十中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

新乡十中2023-2024学年下学期八年级数学期末试卷 卷首语：同学们，请认真阅读试卷，积极思考，发挥出自己的最佳水平！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 1，2，3 C. 1，2， D. 1，1，2 3. 下列运算结果正确是（ ） A B. C. D. 4. 有7名同学参加学校的数学社团的面试，该社团只需录取3名人员，每人仅知道自己的成绩（每人的成绩均不相同），若想让他们知道是否被录取，该社团只需公布他们面试成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 若直线经过点，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 6. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（ ） A. 10 B. 20 C. D. 7. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 8. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 9. 下面的三个问题中都有两个变量： ①一个正方形的边长为，周长为； ②某蓄水池蓄水，用速度为的水泵向外抽水，设蓄水池的剩余水量为，抽水时间为； ③某电信公司手机的类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费元，另外通话费按元计费．若一个月的通话时间为，应缴费用为元． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A ① B. ② C. ③ D. ②③ 10. 已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 请写出一个过点且y随x的增大而减小的函数的解析式 _____． 13. 某学生平时考核成绩为95分，期末测试成绩为90分，该校规定平时考核成绩占20%，期末测试成绩占80%，则该生的综合成绩为______分． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米． （1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米？ 18. 为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是　　　　； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； （3）如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 19. 已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值． （3）在（2）的条件下，根据图象比较当x＞1时，kx+b的值与﹣4x+a的值的大小． 20. 如图，在中，．延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接，交于点F，试判断与有怎样的关系，并证明你的结论． 21. 杆秤是古代的一种度盘工具，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤锤、秤纽等组成（如图1）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂重物为，则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． 【探索发现】 （1）在如表的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2平面直角坐标系中，通过描点法，观察判断哪一对数据是错误的； （2）求与之间的函数关系式，并推测秤盘的质量； 【结论应用】 （3）已知秤杆上秤砣到秤纽的最大水平距离为，现有的重物，该秤是否能一次性称出此物体的重量？请说明理由． 22. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某生产厂家销售的甲、乙两种头盔，已知甲种头盔比乙种头盔的单价多元，购进甲种头盔个，乙种头盔个，共需元． （1）求甲、乙两种头盔的单价； （2）某商店欲购进两种头盔共个，正好赶上厂家进行促销活动，其方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每个降价元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？ 23 综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新乡十中2023-2024学年下学期八年级数学期末试卷 卷首语：同学们，请认真阅读试卷，积极思考，发挥出自己的最佳水平！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含能开得尽的因式以及小数，分母等，据此进行逐项分析，即可作答． 解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项是错误的； B、是最简二次根式，故该选项是正确的； C、含能开得尽的因式，不是最简二次根式，故该选项是错误的； D、含能开得尽的因式，不是最简二次根式，故该选项是错误的； 故选：B 2. 在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 1，2，3 C. 1，2， D. 1，1，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据题意利用 “即为直角三角形”知识点注意对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项不能构成三角形， ∵， ∴B选项不能构成三角形， ∵， ∴C选项能构成直角三角形， ∵， ∴D选项不能构成三角形， 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：C． 4. 有7名同学参加学校的数学社团的面试，该社团只需录取3名人员，每人仅知道自己的成绩（每人的成绩均不相同），若想让他们知道是否被录取，该社团只需公布他们面试成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】总共有7名大学生参加面试，只要确定每个人与成绩的第4名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断． 【详解】解：知道自己是否被录取，只需公布第4名的成绩，即中位数． 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 5. 若直线经过点，，则，的大小关系是（ ） A B. C. D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握：在一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．据此解答即可． 【详解】解：在直线中， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：B． 6. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（ ） A. 10 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形性质和判定，利用正方形性质和解直角三角形，得到，连接菱形中的，相交于点，证明为等边三角形，进而得到，利用菱形的性质得到，，利用解直角三角形得到，进而可得，即可解题． 【详解】解：正方形中对角线，， ， 连接菱形中的，相交于点， ， ， 为等边三角形，， ， ， ． 故选：D． 7. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 8. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． 9. 下面的三个问题中都有两个变量： ①一个正方形的边长为，周长为； ②某蓄水池蓄水，用速度为的水泵向外抽水，设蓄水池的剩余水量为，抽水时间为； ③某电信公司手机的类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费元，另外通话费按元计费．若一个月的通话时间为，应缴费用为元． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图像解决实际问题，函数图像的识别． ①根据正方形的周长公式判断即可； ②根据“蓄水池中的剩余水量蓄水池蓄水的水量”判断即可； ③根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可； 解题的关键是正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：①由题意得：， ∴变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故①不符合题意； ②由题意得：， ∴变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故②不符合题意； ③由题意得：， ∴变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图像表示，故③符合题意； ∴变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是③． 故选：C． 10. 已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标和正方形的性质，先根据正方形的性质证明，得出，，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，即可得出点的坐标．得出，是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∵轴轴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵一次函数与坐标轴交于点和点， 当时，则；当时，则，得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得出，求出结果即可．掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 请写出一个过点且y随x的增大而减小的函数的解析式 _____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出一个一次项系数为负数且经过点的一次函数即可． 【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为， 代入得：， ∴满足题意的一次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式，熟知一次函数的增减性是解题的关键．． 13. 某学生平时考核成绩为95分，期末测试成绩为90分，该校规定平时考核成绩占20%，期末测试成绩占80%，则该生的综合成绩为______分． 【答案】91 【解析】 【分析】该同学的学期总评数学成绩就是这组数的加权平均数，根据加权平均数的算法，得出结果． 【详解】解：该生的综合成绩=95×20%+90×80%=91（分）． 故答案为：91． 【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______． 【答案】48 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米． （1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米？ 【答案】（1）是，证明见解析；（2）千米． 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； (2)在△ACH中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵在中，， 又， 是以为直角的直角三角形， ， ∵点到直线垂线段的长度最短， 是村庄C到河边的最近路． （2）设， 千米， 千米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 千米， 比少千米． 【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． 18. 为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是　　　　； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； （3）如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1） （2）乙的体育成绩更好，理由见解析 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 【小问1详解】 由题意得：， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； 小问3详解】 ∵甲第六次模拟测试成绩为分， 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 19. 已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值． （3）在（2）的条件下，根据图象比较当x＞1时，kx+b的值与﹣4x+a的值的大小． 【答案】（1）y＝2x+4；（2）；a＝10；（3）当x＞1时，kx+b＞﹣4x+a． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求直线l的解析式； （2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求方程组的解，然后把B点坐标代入y=-4x+a可求出a的值； （3）结合函数图象写出直线y=kx+b在直线y=-4x+a上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：（1）把A（0，4）、C（﹣2，0）代入y＝kx+b得 ， 解得， ∴直线l的解析式为y＝2x+4； （2）当x＝1时，y＝2x+4＝6，则B（1，6）， ∵直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． ∴关于x、y的方程组的解为； 把B（1，6）代入y＝﹣4x+a得﹣4+a＝6，解得a＝10； （3）由图象得，当x＞1时，kx+b＞﹣4x+a． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 20. 如图，在中，．延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接，交于点F，试判断与有怎样的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）选小明或小红，证明见解析 （2），，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查中位线定理及性质，平行四边形判定及性质，矩形判定及性质等． （1）根据题意选小明或者小红，连接，证明四边形是平行四边形，继而证明四边形是矩形，即可得到本题答案； （2）连接，得到是的中位线，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：选小明，理由如下： 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 选小红，理由如下： 连接， ， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，． 21. 杆秤是古代的一种度盘工具，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤锤、秤纽等组成（如图1）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂重物为，则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． 【探索发现】 （1）在如表的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2平面直角坐标系中，通过描点法，观察判断哪一对数据是错误的； （2）求与之间的函数关系式，并推测秤盘的质量； 【结论应用】 （3）已知秤杆上秤砣到秤纽的最大水平距离为，现有的重物，该秤是否能一次性称出此物体的重量？请说明理由． 【答案】（1）作图见解析；根据图像可知，这对数据是错误的；（2），秤盘的质量是；（3）不能一次性称出此物体的重量． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）画出函数图像即可得出结论； （2）设与之间的函数关系式为，再把，和，代入解析式得到关于、的二元一次方程组，解方程组后得到、的值即可得到与之间的函数关系式，然后再令求出的值即可得到秤盘的质量； （3）把代入解析式求出的值，再与比较即可； 掌握待定系数法确定一次函数解析式是解题关键． 【详解】解：（1）图像如图2所示： 根据图像可知：，这对数据是错误的； （2）设与之间的函数关系式为， ∵，和，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ∴秤盘的质量是； （3）当时，， ∴可称物体的最大质量为， ∵， ∴不能一次性称出此物体的重量． 22. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某生产厂家销售的甲、乙两种头盔，已知甲种头盔比乙种头盔的单价多元，购进甲种头盔个，乙种头盔个，共需元． （1）求甲、乙两种头盔的单价； （2）某商店欲购进两种头盔共个，正好赶上厂家进行促销活动，其方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每个降价元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）甲种头盔的单价是元，乙种头盔的单价是元 （2）应购买个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少，最少费用是元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用、一元一次不等式的应用，根据题意列出方程、不等式、函数解析式是解题的关键． （1）设购买乙种头盔的单价为元，则甲种头盔的单价为元，根据题意列方程，求解即可； （2）设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，设总费用为元，则，求解得出，根据题意得出，根据一次函数增减性，时，取最小值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：设购买乙种头盔的单价为元，则甲种头盔的单价为元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：甲种头盔的单价是元，乙种头盔的单价是元； 【小问2详解】 解：设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，设总费用为元， 则， 解得：， ， ∵， ∴随增大而增大， ∴时，取最小值，最小值， 答：应购买个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少，最少费用是元． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$