精品解析：河南省郑州市中牟县2023-2024学年高一下学期期末测评数学试题

绝密★启用前 2023—2024学年下学期期未测评试卷 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名､准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，设分别是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图形，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，所以是的中点， 则. 故选：A 2. 在中，角所对的边分别为，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，从而分析得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 则，即， 因为，所以，则， 又，所以， 则为直角三角形. 故选：C 3. 已知一个不透明的袋子中有个红球，个白球，小球除颜色不同外，形状大小等完全相同，采用不放回方式从中每次取出1个球，若第二次取到红球的概率为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】记第二次取到红球为事件，根据古典概型的概率公式得到方程，解得即可. 【详解】记第二次取到红球为事件， 则，即， 因为，解得，故的值为. 故选：A 4. 如图，在直角坐标系中，点，则四边形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面图形画出直观图，再求出直观图中相关线段的长度，再由面积公式计算可得. 【详解】依题意可得，，，由平面图形可得如下直观图， 则，，，， 所以四边形的直观图的面积. 故选：D 5. 某建筑的主体建筑集球､圆柱､棱柱､棱锥于一体，极具对称之美.如图，某人站在该建筑的正东方向一座居民楼的顶端，若在处观测到该建筑顶端的仰角为，地面上处的俯角为，若该建筑的高度，，估计居民楼的高度大约为（ ）（人的身高忽略不计，假设位于同一水平面） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中求出，再在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数求出. 【详解】在中，，所以， 所以， 在中，， 所以， 由正弦定理，即， 在中，所以. 故选：C 6. 已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到、，再由夹角公式计算可得. 【详解】，即①，即， ，可得， 即，代入①可得，即， 又，为非零向量，所以． 故选：B． 7. 某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲､乙､丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲､乙､丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出甲、乙、丙被录取的概率，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲被录取的概率，乙被录取的概率，丙被录取的概率， 所以三人中只有一人被录取的概率. 故选：D 8. 在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心，过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，从而得到点为该三棱锥外接球的球心，利用余弦定理求出，即可求出，再由勾股定理求出，即可求出外接球的体积. 【详解】在菱形中，，所以和均是边长为的等边三角形， 如图在三棱锥中，设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心， 过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，则点为该三棱锥外接球的球心， 连接、，则为外接球的半径， 依题意，且、， 由余弦定理， 所以， 由、分别为、外接圆的圆心， 所以，， 因为，，， 所以，所以，所以， 所以，即外接球的半径， 所以外接球的体积. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数学课上老师给出同学们一组数据：，则该组数据的（ ） A. 平均数5 B. 第60百分位数为 C. 中位数为4 D. 方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、百分位数、中位数和方差的定义依次计算即可求解. 【详解】该组数从小到大排序为. A：该组数的平均数为，故A正确； B：，所以第60百分位数为第五位，为7，故B错误； C：该组数的中位数为，故C正确； D：该组数的方差为，故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 方程在复数集中的两个解为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，直接求出对应的点，即可求解；选项B，设，根据条件得，即可求解；选项C，设，根据条件得到，而，即可求解；选项D，设方程在复数集中的解为，代入，利用复数相等，即可求解. 【详解】对于选项A，因为复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，所以选项A正确； 对于选项B，设， 所以，，因为， 所以，整理得到， 所以，由，得不出，故选项B错误； 对于选项C，由选项B知，， 由题有， 所以，所以选项C正确； 对于选项D，设方程在复数集中的解为， 所以，即， 得到，解得，所以或，故选项D正确， 故选：ACD. 11. 已知等腰直角的斜边是斜边上的一点，且满足，若将沿着翻折到位置，得到三棱锥，则（ ） A. B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时，二面角的大小为 D. 当时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理判断A；根据等体积法可判断B；确定二面角的平面角，解三角形可得其大小，判断C；确定三棱锥的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求得外接球表面积，判断D. 【详解】等腰直角的斜边，则， 又是斜边上的一点，且满足，所以是的中点，； 对于A：因为是的中点，所以， 则三棱锥中，，， 因为，平面， 故平面，平面，故，故A正确； 对于B，当时，， 由于平面，故，故B正确； 对于C，当时，, 则，而， 故， 由于平面，，，故为二面角的平面角， 故当时，二面角的大小为，故C错误； 对于D，当时，， 设的外接圆圆心为，半径为r，则，所以， 因为平面，所以三棱锥的外接球的球心位于过垂直于平面的直线上， 且在过的中点垂直于的平面上， 设球心为，由于平面，则， 故过作的垂线，垂足即为，即三棱锥的外接球的球心， 则四边形为矩形，故， 设棱锥的外接球的半径为，连接， 故，则， 故三棱锥的外接球的表面积为，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某学校共有高中生2100名，为了解学生的视力情况，按男生､女生比例用分层随机抽样的方法从该校高中生中抽取一个容量为45的样本，其中男生有15人，根据样本可以估计该校高中生中女生的人数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出样本中女生人数，由按比例分层抽样可估计女生总人数. 【详解】根据题意，样本中女生有人， 所以，解得， 故估计该校高中生中女生的人数为. 故答案为： 13. 已知复数，且，对应的向量分别为，则向量对应的复数是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可表示出、，从而算出，即可得解. 【详解】因为， 又，对应的向量分别为，所以， ， 所以， 所以向量对应的复数是. 故答案为： 14. 降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上､下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上､下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为___________. 【答案】小雨 【解析】 【分析】根据题意，由圆台的侧面积公式可求出圆台高，再计算其体积，即可得到结果. 【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为， 根据题意，且， 解得，则， 降水量的体积， 降水深度为，属于小雨等级. 故答案为：小雨． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角所对的边分别为，若的面积，. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合面积公式得，代入正弦定理把角化成边变形即可. （2）由可得，结合可得，由，结合向量加法法则变形分析得，继而可得答案. 【小问1详解】 ，得，则， ， 由正弦定理将角化成边得， 移项得，两边同时除以得， 又，. 【小问2详解】 因为，由（1）知，， ，， ，， 取中点为，连接，延长至点，使， ，，即， 可得，则. 16. 已知直三棱柱中，，. （1）求证：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先说明，再由得到，即可证明平面，从而得证； （2）首先证明平面，利用勾股定理求出，再证明平面，最后由锥体的体积公式计算可得. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，所以矩形为正方形， 所以，又，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面 【小问2详解】 由（1）可知，又，， 平面，所以平面， 又平面，所以，， 因为，，所以， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面，显然平面， 所以. 17. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率； （2）求样本数据的中位数的估计值； （3）已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男､女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，根据频率分布直方图中面积的和为1，即可得解； （2）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （3）算出样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为，从而求人数. 【小问1详解】 日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率为 ； 【小问2详解】 设中位数为，前两个矩形的面积之和为 ， 所以可设中位数为， 由中位数的定义可得，解得. 【小问3详解】 样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的频率为 ， 又男､女学生恰好各占一半， 所以中日平均阅读时间大于或等于70分钟的男生的频率为， 日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生的概率为， 故样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为， 则该学校高一男生的人数为人. 18. 在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，利用平行四边形的判断方法证明四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，利用面面、线面垂直的性质可得，设到平面的距离为，直线与平面的所成角为，结合等体积法和三棱锥的体积公式计算可得，即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由，得，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以. 由，得， 所以，， 得，则，所以. 又， 设到平面的距离为，直线与平面的所成角为， 则，所以，解得， 所以， 即直线与平面的所成角的正弦值为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： 已知的内角所对的边分别为，且为的费马点. （1）求角； （2）若，求的最大值； （3）设，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可得解； （2）利用等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值，即可得解； （3）设，，，则，再利用余弦定理得到，再利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为， ， 即， 由正弦定理得，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 的三个角都小于， 点为的费马点， ， 由得： ， 即， 整理得， 又， ，当且仅当时等号成立， ， 的最大值为． 【小问3详解】 由（2）知， 设，，，，，， 由得， ； ； ； ， ， 即， 即， ，当且仅当时等号成立， ，整理得， 解得或者（舍去）， 实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2023—2024学年下学期期未测评试卷 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名､准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，设分别是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角所对的边分别为，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知一个不透明的袋子中有个红球，个白球，小球除颜色不同外，形状大小等完全相同，采用不放回方式从中每次取出1个球，若第二次取到红球的概率为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 如图，在直角坐标系中，点，则四边形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某建筑的主体建筑集球､圆柱､棱柱､棱锥于一体，极具对称之美.如图，某人站在该建筑的正东方向一座居民楼的顶端，若在处观测到该建筑顶端的仰角为，地面上处的俯角为，若该建筑的高度，，估计居民楼的高度大约为（ ）（人的身高忽略不计，假设位于同一水平面） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. 某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲､乙､丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲､乙､丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数学课上老师给出同学们一组数据：，则该组数据的（ ） A. 平均数5 B. 第60百分位数为 C. 中位数为4 D. 方差为 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 方程在复数集中的两个解为 11. 已知等腰直角的斜边是斜边上的一点，且满足，若将沿着翻折到位置，得到三棱锥，则（ ） A. B. 当时，三棱锥体积为 C. 当时，二面角的大小为 D. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某学校共有高中生2100名，为了解学生的视力情况，按男生､女生比例用分层随机抽样的方法从该校高中生中抽取一个容量为45的样本，其中男生有15人，根据样本可以估计该校高中生中女生的人数为___________. 13. 已知复数，且，对应的向量分别为，则向量对应的复数是___________. 14. 降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上､下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上､下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角所对的边分别为，若的面积，. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 16. 已知直三棱柱中，，. （1）求证：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积. 17. 4月23日是联合国教科文组织确定“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟概率； （2）求样本数据的中位数的估计值； （3）已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男､女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数. 18. 在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： 已知的内角所对的边分别为，且为的费马点. （1）求角； （2）若，求的最大值； （3）设，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$